第04讲 充分条件与必要条件—【从0到1的暑假自学手册】2026年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

从0到1的暑假自学手册 第04讲 充分条件与必要条件 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 命题 考向1：命题的概念；考向2：命题的真假 考点2 充分条件、必要条件及充要条件的判定 考点3 充分、必要条件中的参数问题 考向1：由充分条件、必要条件求参数；考向2：根据充要条件求参数 考点4 充要条件的证明 04 过关检测 知识点1：充分条件与必要条件 1．命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件. （3）充分条件与必要条件的关系是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同. 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系. 3．充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价. 4．充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件. 5．条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但q⇏p 是的充分不必要条件 ，但p⇏q 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 p⇏q且q⇏p 是的既不充分也不必要条件 知识点2：从不同角度理解充分必要性 1．从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题，则是的既不充分也不必要条件. 2．从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件. 【方法技巧】 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系 知识点3：充分、必要、充要条件的证明 1．证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立. 2．证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 【注意】 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点1：命题 考向1：命题的概念 【例1】下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 考向2：命题的真假 【例2】下列命题为真命题的是（    ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程有两个不相等的实数根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4 D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据各个选项中的命题，假命题举出反例或者说明错在哪，真命题说明理由，即可求解. 【详解】有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项A中的一角不一定是对应相等两边的夹角，故选项A错误； 因为，所以，所以方程没有实数根，故选项B错误； 面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是，故选项C错误； 在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形. 故选：D. 【变式1】下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 【变式2】（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 【变式3】（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【答案】ABC 【分析】由几何，代数知识判断相应选项正误即可. 【详解】A 选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误; B选项，当，时，，则B错误. C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误. D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确. 故选：ABC 【变式4】（多选）（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 【答案】AD 【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A的正误；代入特殊值，可判断B的正误；根据集合的确定性及互异性，可判断C的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形； 若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形， 所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确； 选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误； 选项C：若，则或， 若，则，不满足互异性，故舍去； 若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误； 选项D：由题意，有两个元素， 则的子集个数有个，故D正确. 考点2：充分条件、必要条件及充要条件的判定 【例3】（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 【例4】（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 【变式1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，满足，但不满足，充分性不成立， 若，则成立，但，所以不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式2】现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 【变式3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 【变式4】（多选）（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式5】（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 考点3：充分、必要条件中的参数问题 考向1：由充分条件、必要条件求参数 【例5】（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 【例6】设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据必要条件的性质可得两个集合的包含关系，进而可得所求值的范围. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. 所以的取值范围. 考向2：根据充要条件求参数 【例7】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 【变式1】（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）把代入集合得，求出，计算，即可. （2）由是的充分条件得出，然后建立不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）解不等式可化简集合B，即可得，然后由集合子集个数相关结论可得答案； （2）由题可得，然后分，为单元素集，为双元素集三种情况讨论可得答案. 【详解】（1）当时， ，， 其子集个数为个； （2）由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式3】（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式4】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 【变式5】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. （1）当时，求，； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； （3）若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式6】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. （1）若是的必要条件，求实数m的取值范围; （2）是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 考点4：充要条件的证明 【例7】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【变式1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 【变式3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 考点1 命题 1．下列语句中是命题的个数为（    ） ①请起立！    ② ③明天天晴     ④91是质数 ⑤中国是世界上人口最多的国家    ⑥这道数学题有趣吗？ ⑦若，则 ⑧任何无限小数都是无理数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据命题的定义依次判断即可得到答案. 【详解】对①，不是陈述句，故①不是命题； 对②，，为真命题，故②是命题； 对③，明天天晴，是可以判断真假的陈述句，故③是命题； 对④，91是质数，为假命题，故④为命题. 对⑤，中国是世界上人口最多的国家，是可以判断真假的陈述句，故⑤为命题； 对⑥，这道数学题有趣吗？是疑问句，故⑥不是命题； 对⑦，若，则，为假命题，故⑦为命题； 对⑧，任何无限小数都是无理数，是可以判断真假的陈述句，故⑧为命题 故选：D 考点2 充分条件、必要条件及充要条件的判定 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．（2025高二下·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【分析】通过分别判断条件间的充分性与必要性，结合等腰三角形和等边三角形的定义，确定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 6．（25-26高一上·安徽·期中）“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且，则且成立，故充分性成立． 若“”，则且或且． 而且时，． 所以由且可以推出且，故必要性成立． 因此“且”是“且”的充要条件． 故选：C． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. 考点3 充分、必要条件中的参数问题 8．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 9．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 10．（25-26高一上·江西景德镇·期中）若集合 （1）若，求； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 11．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 考点4 充要条件的证明 12．（1.4充分条件与必要条件）证明： （1）“”是“”的充分不必要条件； （2）“”是“”的充要条件． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论； （2）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论． 【详解】（1）充分性：当时，，充分性成立． 必要性：由，得，即，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． （2）充分性：若，则，充分性成立． 必要性：若，则，必要性成立． 故“”是“”的充要条件． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 14．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    15．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【详解】解：先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 1．证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立. 【详解】证明：（1）必要性. 在等腰梯形中，，， 又∵，∴，∴ . （2）充分性. 如图，过点作，交的延长线于点E. ∵，，∴四边形是平行四边形.∴ . ∵，∴，∴. 又∵，∴，∴ . 在和中， ∴.∴. ∴梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型. 2．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集运算即可； （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可. 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 3．（21-22高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知，． （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）略 （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 4． （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 1 学科网（北京）股份有限公司 $从0到1的暑假自学手册 第04讲 充分条件与必要条件 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 命题 考向1：命题的概念；考向2：命题的真假 考点2 充分条件、必要条件及充要条件的判定 考点3 充分、必要条件中的参数问题 考向1：由充分条件、必要条件求参数；考向2：根据充要条件求参数 考点4 充要条件的证明 04 过关检测 知识点1：充分条件与必要条件 1．命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用 、 表达的，可以判断 的陈述句叫命题。判断为真的语句是 命题，判断为假的语句是 命题。 （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的 ，q称为命题的 . 2．充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的 条件，是的 条件. （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件. （3）充分条件与必要条件的关系是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同. 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系. 3．充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为 命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的 ，简称充要条件. （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价. 4．充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件. 5．条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但q⇏p 是的充分不必要条件 ，但p⇏q 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 p⇏q且q⇏p 是的既不充分也不必要条件 知识点2：从不同角度理解充分必要性 1．从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题，则是的既不充分也不必要条件. 2．从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件. 【方法技巧】 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系 知识点3：充分、必要、充要条件的证明 1．证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立. 2．证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 【注意】 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点1：命题 考向1：命题的概念 【例1】下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 考向2：命题的真假 【例2】下列命题为真命题的是（    ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程有两个不相等的实数根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4 D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【变式1】下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式2】（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【变式3】（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【变式4】（多选）（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 考点2：充分条件、必要条件及充要条件的判定 【例3】（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【变式4】（多选）（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【变式5】（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点3：充分、必要条件中的参数问题 考向1：由充分条件、必要条件求参数 【例5】（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【例6】设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 考向2：根据充要条件求参数 【例7】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【变式1】（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式2】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【变式4】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式5】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. （1）当时，求，； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； （3）若，求m的取值范围. 【变式6】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. （1）若是的必要条件，求实数m的取值范围; （2）是否存在实数m，使是的充要条件. 考点4：充要条件的证明 【例7】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【变式3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 考点1 命题 1．下列语句中是命题的个数为（    ） ①请起立！    ② ③明天天晴     ④91是质数 ⑤中国是世界上人口最多的国家    ⑥这道数学题有趣吗？ ⑦若，则 ⑧任何无限小数都是无理数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点2 充分条件、必要条件及充要条件的判定 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2025高二下·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·安徽·期中）“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点3 充分、必要条件中的参数问题 8．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 9．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 10．（25-26高一上·江西景德镇·期中）若集合 （1）若，求； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 11．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 考点4 充要条件的证明 12．证明： （1）“”是“”的充分不必要条件； （2）“”是“”的充要条件． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 14．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 15．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 1．证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 2．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3．（21-22高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知，． （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 4． （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $