第二周 第1天 充分条件与必要条件 暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第1天 充分条件与必要条件 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 充分条件与必要条件 ❓问题　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 💡知识梳理　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 _______________ p⇏q 条件 关系 p是q的______条件 q是p的______条件 p不是q的______条件 q不是p的______条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______ ⚠️ 注意点： (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p⇏q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件. (3)充分、必要条件可以不唯一. 🎯例1-1　(1)(课本例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2=1，则x=1； ⑤若a=b，则ac=bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数. (2)(课本例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x=1，则x2=1； ⑤若ac=bc，则a=b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数. 🎯例1-2　(1)下列各题中，p是不是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. (2)下列各题中，q是不是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：a>b，q：ac>bc. 判断p是q的充分、必要条件的方法 (1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件. 反思 归纳 📐跟踪训练　下列“若p，则q”形式的命题中，判断p是否为q的充分条件. (1)若a∈N，则a∈R； (2)若A⊆B，则A∩B=A； (3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3. 知识点2 充分条件与必要条件的应用 🎯例2　已知集合P={x|-2<x<4}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，求实数m的取值范围. 📐延伸探究　已知集合P={x|-2<x<1}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，求实数m的取值范围. 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 反思 归纳 自学小结 充分条件与必要条件 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件、必要条件的判断. (3)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：忽略充分条件、必要条件不唯一；忽略求参数范围时能否取到端点值. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 2.以下说法错误的是(　　) A.“x2=y2”是“x=y”的必要条件 B.“m是自然数”是“m是整数”的充分条件 C.“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件 D.“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的充分条件 3.(多选)下列不等式中，可以作为“-1<x<1”的充分条件的有(　　) A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.-1<x<1 4.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第1天 充分条件与必要条件 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 充分条件与必要条件 ❓问题　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 💬 提示　在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题. 💡知识梳理　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p⇒q p⇏q 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 ⚠️ 注意点： (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p⇏q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件. (3)充分、必要条件可以不唯一. 🎯例1-1　(1)(课本例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2=1，则x=1； ⑤若a=b，则ac=bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数. 解　①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ④由于(-1)2=1，但-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件. ⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件. ⑥=2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件. (2)(课本例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x=1，则x2=1； ⑤若ac=bc，则a=b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数. 解　①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. ④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ⑤由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. ⑥由于1×不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. 🎯例1-2　(1)下列各题中，p是不是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. ②由x=1⇒(x-1)(x-2)=0，故p是q的充分条件. ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A={x|x>1}，B={x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. (2)下列各题中，q是不是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：a>b，q：ac>bc. 解　①因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. ②因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 判断p是q的充分、必要条件的方法 (1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件. 反思 归纳 📐跟踪训练　下列“若p，则q”形式的命题中，判断p是否为q的充分条件. (1)若a∈N，则a∈R； (2)若A⊆B，则A∩B=A； (3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3. 解　(1)由于N为R的真子集，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (2)由A⊆B可以推出A∩B=A，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，因此p⇏q，所以p不是q的充分条件. 知识点2 充分条件与必要条件的应用 🎯例2　已知集合P={x|-2<x<4}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，求实数m的取值范围. 解　由已知，“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则Q是P的子集， 由题意得解得0<m< 所以实数m的取值范围是. 📐延伸探究　已知集合P={x|-2<x<1}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，求实数m的取值范围. 解　由题意得，P是Q的子集， 则解得-≤m≤0. 所以实数m的取值范围是. 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 反思 归纳 自学小结 充分条件与必要条件 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件、必要条件的判断. (3)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：忽略充分条件、必要条件不唯一；忽略求参数范围时能否取到端点值. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 答案　D 解析　四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；四边形有三个内角都为直角才是矩形，故C错误；四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确. 2.以下说法错误的是(　　) A.“x2=y2”是“x=y”的必要条件 B.“m是自然数”是“m是整数”的充分条件 C.“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件 D.“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的充分条件 答案　D 解析　由x=y，可得x2=y2，故“x2=y2”是“x=y”的必要条件，A正确；由m是自然数，可得m是整数，故“m是自然数”是“m是整数”的充分条件，B正确；由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件，C正确；由(a+b)(a-b)=0，得|a|=|b|，推不出a=b，D错误. 3.(多选)下列不等式中，可以作为“-1<x<1”的充分条件的有(　　) A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.-1<x<1 答案　BCD 解析　要求不等式-1<x<1成立的一个充分条件，则该条件所构成的集合为{x|-1<x<1}的子集，故BCD满足题意. 4.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以所以-1≤a≤5. 故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $