26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（讲义，2大知识15大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质这一核心知识点，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等性质，衔接待定系数法求解析式（分已知三点、顶点、交点等情况），构建从基础性质到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例精析”“变式巩固”设计，涵盖图象判断、最值、几何综合等15类题型，结合落地灯抛物线等实例培养模型意识与推理能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 知识点一 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 即学即练 1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数，那么它的图像大致为（    ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有唯一交点 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级下·四川自贡·月考）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 知识点二 利用待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 即学即练 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 8 0 3 8 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象经过第一、二、三象限 B． C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象的对称轴为 2．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（   ） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为 A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 题型01 将一般式转化为顶点式 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·全国·专题练习）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2．（25-26九年级上·河北沧州·月考）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西朔州·期中）若抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则点A，B之间的距离是__________． 题型02 待定系数法求函数解析式 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）表中与满足某种函数关系，其函数表达式为_____． … … … … 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线的开口大小与开口方向均与抛物线相同，且与轴相交于点，，则该抛物线的表达式为______． 4．（山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 题型03 根据解析式判断二次函数的性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．开口向下 C．当时，随的增大而增大 D．与轴没有交点 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象过点 B．不论a取何值，函数图象都经过点 C．函数图象与x轴必有两个交点 D．当时，y随x的增大而减小 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y m n 有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（） A．① B．② C．③ D．②③ 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 题型04 根据二次函数的图像判断式子符号 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，y随着x的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④ 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________． 题型05 函数图象的综合判断 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A．B．C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）二次函数上有两点，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）若，是抛物线上两点，若，，则与的大小关系是_________． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知二次函数（为常数且），若该函数图象上有三点，，则、、的大小关系为_____．（用“”连接） 题型07 二次函数代数最值问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A．5或1 B．5或 C．或1 D．或 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________． 题型08 二次函数与将军饮马综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽蚌埠·月考）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为_____． 3．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________． 题型09 二次函数平移问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若二次函数有最大值为，则的最小值为______． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则_______． 题型10 利用二次函数对称性求解 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知二次函数，当时， 取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（   ） A． B．4 C． D．6 2．（24-25九年级下·广东广州·月考）若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______． 题型11 线段、周长存在性最值 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 题型12 二次函数面积问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为________； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为______． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当______时，四边形的面积最大，最大面积为______． 3．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 题型13 二次函数与特殊三角形综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 题型14 二次三角形与特殊四边形综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 2．（23-24九年级上·吉林松原·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的平行线，交抛物线于另一点，点线段上，分别过点作轴的垂线交抛物线于两点．当四边形为正方形时，线段的长为________． 题型15 二次函数与特殊角度问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 知识点一 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 即学即练 1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数，那么它的图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴，抛物线开口向上，顶点坐标是． 2．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合系数和图象，正确判断各结论是解题的关键． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】解：根据函数图象得：，，与x轴交于，两点，对称轴为直线； ， ①，正确； ②当或时，函数的值等于，正确 ∵图象过点， ， ， ，③错误； ④∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ，故④错误； 所以正确结论有个． 4．（24-25九年级下·四川自贡·月考）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧； 反比例函数的图象在第一、三象限， ， 二次函数的图象与轴交点在轴上方，． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 知识点二 利用待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 即学即练 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 8 0 3 8 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象经过第一、二、三象限 B． C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象的对称轴为 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将，，代入得： ， 解得， ∴二次函数解析式为， 由此可得函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线. A，顶点在第四象限，图象经过第四象限，原选项结论错误，不符合题意； B，，，，得，不满足，原选项结论错误，不符合题意； C，开口向上，对称轴为，则时随增大而增大，时随增大而减小，原选项结论错误，不符合题意； D，图象对称轴为直线，结论正确，符合题意． 2．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过解方程组求解参数是解题的关键． 将三个点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，解方程组求a． 【详解】解：二次函数 的图象经过点，，， 则 解得 因此a的值为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（   ） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为 A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，待定系数法求解析式，求函数值．由题意可得，，点D横坐标为．设落地灯抛物线部分的解析式为，将点代入求出a的值，即可得到抛物线解析式，从而判断嘉嘉的说法．把代入抛物线，得到点D的坐标，从而判断淇淇的说法． 【详解】解：由题意可得，，点D横坐标为， ∵点是抛物线的最高点， ∴设落地灯抛物线部分的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴落地灯抛物线部分的解析式为．故嘉嘉的说法正确． 把代入抛物线，得 ， ∴点D的坐标为， ∴灯罩D距地面的高度为．故淇淇的说法正确． 综上所述，两人都对． 故选：C． 题型01 将一般式转化为顶点式 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·全国·专题练习）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法． 观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为， 所以错误的只有甲和丁． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·月考）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，根据平面直角坐标系中，二次函数关于原点对称的特点，先得出抛物线的顶点坐标，从而得出抛物线的顶点坐标，整理成一般式即可得出答案． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为：， 关于原点对称的抛物线的顶点坐标为：， 抛物线， ，，， 故选：． 3．（25-26九年级上·山西朔州·期中）若抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则点A，B之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，先利用二次函数顶点公式求出顶点A的坐标，再令求出与y轴交点B的坐标，最后利用两点间距离公式计算的距离。 【详解】解：由题知，因为抛物线解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 将代入得，， 所以点B坐标为， 则A，B之间得距离是． 故答案为：． 题型02 待定系数法求函数解析式 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键．根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）表中与满足某种函数关系，其函数表达式为_____． … … … … 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够从表格中选取合适的点代入求解是解题的关键． 先观察表格内，根据表中与的数据设函数关系式为：，将表中、、代入函数关系式求解即可． 【详解】解：根据表中与的数据设函数关系式为：， 将表中、、代入函数关系式，得： ， 解得：， ∴这个函数的表达式为． 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线的开口大小与开口方向均与抛物线相同，且与轴相交于点，，则该抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键．首先根据题意得到，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线的开口大小与开口方向均与抛物线相同, ， 抛物线化为：， 又抛物线与轴相交于点，， 故抛物线表达式为： 故答案为：． 4．（山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求二次函数解析式，利用点求出常数项，由点B和点C纵坐标相同得出对称轴为，从而得到一次项系数与二次项系数的关系，再代入点坐标求出a和b的值，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， 将点代入，得，即， ∴该函数解析式为， 由于点和点的纵坐标相同，故点B与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为， 又∵抛物线的对称轴公式为， ∴， 将点代入解析式，得，即， 将代入，可得，即， 解得， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 题型03 根据解析式判断二次函数的性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．开口向下 C．当时，随的增大而增大 D．与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数解析式，可得图象的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，可判断A、B选项结论；根据二次函数的增减性可判断C选项；令，利用根的判别式，可判断D选项． 【详解】解：， 图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，A、B选项结论错误； 当时，随的增大而增大，C选项结论错误； 令，则， 此时， 图象与轴没有交点，D选项结论正确， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象过点 B．不论a取何值，函数图象都经过点 C．函数图象与x轴必有两个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数， 当时，， ∴ 不论取何值（），函数图象都经过点，故选项B正确． 当时，函数为， 代入，得， ∴ 图象不过点 ，故A错误． ∵， ∴， ∵ ，可能为正、负或零（例如时 ）， ∴ 图象与轴不一定有两个交点，故C错误． 抛物线的对称轴为， 若，当时，随的增大而减小； 若，当时，随增大而增大，故D错误； 故选B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y m n 有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（） A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的相关性质，通过待定系数法求二次函数解析式，再判断各结论的正确性． 【详解】∵由表可知，当时，当时，当时， 即该函数图像经过点, 代入得，解得， ∴该二次函数解析式为， ∴，故①错误， ∵， ∴该函数图像开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴左侧y随x的增大而增大， 又∵该函数图像的对称轴为，包含对称轴右侧， ∴y不是始终随x的增大而减小，故②错误； 当时，，即， 当时，，即， ∴，故③正确． 故选：C． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴的两个交点为， 故函数有最大值，故A选项正确，不符合题意； 二次函数的对称轴为直线， ∴当时，；故B选项正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小；故C选项错误，符合题意； 由图象可知：当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选C． 题型04 根据二次函数的图像判断式子符号 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，因为抛物线开口向下，所以，因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知，因为抛物线的对称轴为，即，所以；根据函数图象可知，当时，，当时，；二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根；结合，，可求得． 【详解】因为抛物线开口向下，所以． 因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知． 因为抛物线的对称轴为，即，所以． 所以． 结论①错误． 根据函数图象可知，当时，，即． 结论②错误． 根据函数图象可知，当时，，可得，即． 结论③正确． 二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根，即根的判别式． 结论④正确． 由上述证明可知，，可得 ，即 ． 变形，得 ． 结论⑤正确． 综上所述，结论正确的为③④⑤，共个． 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考查二次函数的图像和性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，则可对③进行判断；由抛物线开口向下得，当时，，当x为任意实数时，，比较即可得结论． 【详解】解：①抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 即，所以①错误； ②抛物线的对称轴为直线，即， ， ， ，所以②正确； ③抛物线的顶点坐标为， ， ，所以③正确； ④抛物线开口向下， 当时，，当x为任意实数时，， ， ， ，所以④错误； 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，y随着x的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴可得的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据，，时，结合图形分别判断③④⑤． 【详解】解：此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ，故结论①正确， 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确， 图象过点，二次函数图象对称轴为直线， 抛物线经过， 当时，，故结论③错误； 当时，，故结论④错误； 二次函数图象对称轴为直线， 是最大值， ， ，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数图象确定二次函数参数的取值范围即可； ②根据点的坐标求出对称轴，然后得出，最后取特殊值确定代数式的取值范围即可； ③根据函数图象确定一元二次方程根的情况即可； ④根据特殊值以及各参数的取值范围，确定代数式的正负即可； ⑤利用特殊值确定，得出，根据的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵与轴交于负半轴， ∴； ∴， 故①错误，不符合题意； ②由点、可得， 对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， 即， ∴， 则， 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根， 故③错误，不符合题意； ④当时，， 即； 由②得， ∴， 由①得， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时，， ∴， 由②得， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，其中， ∴， 即， 解得， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 题型05 函数图象的综合判断 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象和性质，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同，分两种情况讨论： 和． 【详解】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同． （Ⅰ）当时 直线经过第一、第三象限，随的增大而增大． 抛物线开口向上，把抛物线函数向下平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，没有符合题意选项． （Ⅱ）当时 直线经过第二、第四象限，随的增大而减小． 抛物线开口向下，把抛物线函数向上平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，选项D符合题意． 故选：D． 2．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 3（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）二次函数上有两点，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，并利用开口向下的性质，比较两点到对称轴的距离，距离越近y值越大，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下，距离对称轴越近的点y值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴点更接近对称轴， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入解析式，然后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、 在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． ∴； 故选B． 2．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）若，是抛物线上两点，若，，则与的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过计算与的差值，并利用已知条件判断其符号，从而比较大小，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，是抛物线上两点， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知二次函数（为常数且），若该函数图象上有三点，，则、、的大小关系为_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求对称轴，计算各点到对称轴的距离，结合开口方向比较函数值大小即可． 【详解】解：由可知：对称轴为直线，且开口向上， ∵，是该函数图象上的三个点，且它们到对称轴的距离分别为， ∴根据开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∴； 故答案为． 题型07 二次函数代数最值问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A．5或1 B．5或 C．或1 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，得到二次函数的顶点坐标，以及当或时，，结合二次函数的图象，得到结果． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵当时， 即， ∴， ∴或， 即当或时，， ∴二次函数的图象如下： ∵当时，二次函数的最小值为， ∴或， 即实数a的值为或． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数解析式配方，确定抛物线的开口方向与顶点坐标，再结合给定的x的取值范围，分析顶点及取值范围的端点对应的函数值，进而确定y的取值范围． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】C 【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 若对称轴在区间左侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而增大， ∴最小值在处，代入得，此情况不成立； 若对称轴在区间内，即，得， ∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得： ， 令，得，整理得，解得， ∵， ∴，符合条件； 若对称轴在区间右侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而减小， ∴最小值在处，代入得，解得， ∵，不符合的前提，故舍去． 综上，只有符合条件，因此选C． 【详解】解：二次函数解析式为 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． ∵ ∴当时，取得最小值． 当时，；当时，． 又∵取不到， ∴；顶点在的取值范围内， ∴． ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或2． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，分类讨论是解题的关键． 二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，根据参数的取值范围分类讨论顶点是否在区间内，利用二次函数的性质求最值，由最值差为4建立方程求解． 【详解】解：二次函数可化为，开口向下，顶点为， ∵，， （1）当时，顶点在内，最大值， 最小值在端点处：当时，， 当时，， ①当时，，最小值， 差为， 解得：，（舍去）； ②当时，，最小值， 差为，无解； （2）当时，顶点不在内，函数y在上随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 差为， 故无解， 综上，满足条件， 故答案为：． 题型08 二次函数与将军饮马综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽蚌埠·月考）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线，得对称轴是直线，得出点坐标为，将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长，可得，，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键． 先求出点A、B坐标，再根据抛物线的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P， 则点就是使的周长最小时的位置． ∵抛物线的对称轴是y轴，B、关于y轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上，且， ∴， ∴此时的周长最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴=6，点H的坐标是， ∵， ∴点A到的距离为， 设直线的直线方程为，把点A和点的坐标代入后得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点的坐标为 ∴， 此时， 即的面积为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与特殊四边形，二次函数的性质，先求出点，点，则抛物线的对称轴为，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，由且，则四边形为平行四边形，所以，由抛物线的对称性知，，故有四边形周长，则当三点共线时四边形周长最小为，然后通过两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴点， 令，则或， ∴点，点， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由抛物线的对称性知，， ∴， ∴四边形周长， ∵、为定值，， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为， 即四边形周长的最小值， ∵，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型09 二次函数平移问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，将平移后的抛物线逆向平移即可得到原抛物线表达式，可先将平移后的抛物线化为顶点式再计算． 【详解】解：， 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为， 原抛物线是平移后的抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位得到的， 原抛物线的表达式为， 整理得：， 原抛物线表达式为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先将原二次函数化为顶点式求出原顶点坐标，再根据点的平移规律计算平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵将图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若二次函数有最大值为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，求得抛物线关于轴对称后的函数解析式为，然后将函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求得函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数有最大值为， ∴二次函数关于轴对称的函数有最小值为，即函数有最小值，将函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则此时函数的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，和图像平移变化的规律是解题的关键． 将二次函数图像向下平移个单位后得到新函数，令解方程可得其与轴的交点横坐标，再计算两点间的距离即可． 【详解】解：将函数的图像向下平移个单位， 得新函数，令，则， 解得或，则． 故答案为：． 题型10 利用二次函数对称性求解 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知二次函数，当时， 取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式解集形式可知二次函数开口向下，对称轴为直线；再根据点M和N的纵坐标关系，结合开口方向，得出点N更靠近对称轴，从而建立关于d的不等式并求解范围，最后验证选项即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴二次函数开口向下，且对称轴为直线， ∵点在函数图象上，且， ∴点N的纵坐标大于点M的纵坐标， 又∵抛物线开口向下， ∴点N到对称轴的距离小于点M到对称轴的距离， 即， 解得：， ∴d的值可能为（选项A），而4、、6均不在范围内， 故选A． 2．（24-25九年级下·广东广州·月考）若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______． 【答案】 直线 【分析】根据已知等式可确定一元二次方程的两个根. 再利用二次函数图象的对称性即可计算出对称轴．也可联立等式得到与的关系，代入对称轴公式求解． 【详解】解： 当时，， 是一元二次方程的一个根． 当时，， 是一元二次方程的另一个根． 二次函数的图象与轴交于，两点， 根据二次函数的对称性，对称轴为 ， 即对称轴为直线． 题型11 线段、周长存在性最值 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标． 【详解】解：直线与抛物线交于A、B两点， 联立，得或， ，， ． 过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示． ． 不变， 当三点共线时，最小，即的周长最小． ， ． 设直线的函数表达式为，将，代入得， ，解得， ， 当时，． ． 故填：． 题型12 二次函数面积问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为________； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，解题的关键是准确求出二次函数的解析式和直线的解析式． 利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据抛物线的性质可知有最大值，最大值为． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析为， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析为； （2）如下图所示，过点作轴交直线于点， 当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标为， ， 点到的距离是，点到的距离是， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点A的坐标，进而求出，再根据三角形面积计算公式得到，据此求出点P的横坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时， 解得或， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得； 在中，当时，解得； ∴点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当______时，四边形的面积最大，最大面积为______． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了矩形的面积公式以及直角三角形30°定理，得出矩形面积与x的函数关系式是解题关键. 利用30°定理和勾股定理表示出的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最值求法得出即可. 【详解】解：在中，， ． ， 四边形为矩形，为直角三角形． 设，则 ． ， 当，即时，矩形的面积最大，最大面积为． 3．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 【答案】4 【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可． 【详解】解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点D， ∴可令，可得， 解得，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线解析式和直线解析式， 可得，解得， ∴， 如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 题型13 二次函数与特殊三角形综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，注意分类讨论是解题关键． 先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值，然后由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把，代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 题型14 二次三角形与特殊四边形综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，两点距离计算公式，先求出点A，点B和点C的坐标，进而可得对称轴为直线；设，分当为对角线时，则，当为对角线时，则，当为对角线时，则三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或，则， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或或； 故答案为：或或或或． 2．（23-24九年级上·吉林松原·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的平行线，交抛物线于另一点，点线段上，分别过点作轴的垂线交抛物线于两点．当四边形为正方形时，线段的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．点代入抛物线中求出解析式为，再设，进而求得F点坐标为，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为， 设、分别与对称轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴F点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 题型15 二次函数与特殊角度问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线上存在点，点的坐标为或 【分析】（1）将点，点代入抛物线，用待定系数法求解即可； （2）作，求出的解析式，设PE的解析式为，联立得，化简，得，得，解得，得直线PE的解析式为，可得； (3）求出，得，，将绕点顺时针方向旋转，至，则，，得，求出直线的解析式为，联立二次函数解析式，解方程组可得，此时使，过作轴，过作轴，与交于点，四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，作直线，得，，，得，与点重合，得点在抛物线上． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：作，如图所示： 设的解析式为， 将代入，得， 的解析式为， 设的解析式为 联立直线与抛物线解析式有 ∴， 化简，得， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或．理由： 对，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 将绕点顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ， 由题意知直线过点，设直线的解析式为， 将，，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， 此时使， 如图2所示，过作轴，过作轴，与交于点， 则四边形为正方形， 作关于的对称点， 由对称性知，点在上， 作直线， 则直线与抛物线的交点满足条件， ，，， ，与点重合， 点在抛物线上， ． 抛物线上存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，正确构造辅助线，是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，求三角形的面积，等腰三角形的性质与判定． （1）令，进而解方程，即可求解； （2）令得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，，，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ 解得： ∴， （2）解：∵图象与轴负半轴交于点 当时， ∴，则 ∵， ∴ ∵面积为8， ∴ 解得： （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，则 ∴ 解得： 当时，如图，过点，作于点 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵ ∴, ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题． （1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $