精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷

2026年春期期末八年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的） 1. 如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是（ ） A. 甲是分式，乙不是 B. 乙是分式，甲不是 C. 甲和乙都是分式 D. 甲和乙都不是分式 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义：“如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母” 即可求解． 【详解】解：是分式，不是分式， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2. 在正方形网格中，点、、的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如下： 可知点的坐标为． 3. 古语有云：“滴水穿石”．若水珠不断滴在一块石头上，经过450年，石头上会形成一个深的小洞，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等且平行、对角相等、平行于同一条直线的两条直线平行，逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 由已知条件不能证明，故选项D符合题意． 5. 在一次体育测试中，某班25名女生一分钟的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 3 10 8 4 根据以上数据信息，下列说法中，正确的是（ ） A. 方差为0 B. 众数在的范围内 C. 中位数在的范围内 D. 该组数据的离差平方和能准确计算 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差、众数、中位数的定义，结合分组数据的特点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 所有女生的跳绳成绩不全相等，因此方差不能为， ∴ A错误； ∵ 人数最多的分组是，共人，因此众数在范围内， ∴ B错误； ∵ 个数据从小到大排列后，中位数为第个数据， 又∵ 第一组共人，即第~个数据在该组，第二组共人，包含第~第个数据， ∴ 第个数据在范围内，即中位数在该范围，C正确； ∵ 题目仅给出分组区间，没有每个数据的具体值，无法准确计算离差平方和， ∴ D错误． 6. 小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5， ∴， ∴D为中点， ∵直角三角板， ∴． 7. 《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为天，则慢马用时天，快马用时天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可. 【详解】解：慢马速度，快马速度，且快马速度慢马速度， ∴ ， 故选：A. 8. 如图，在中，，，对角线与相交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点、，作直线交于点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，直线是的垂直平分线，进而得到，在中，利用三角形内角和定理求出，根据平行四边形的性质得到，，利用勾股定理求出和长，从而求出长． 【详解】由作图方法可知，直线是的垂直平分线， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 9. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 10. 如图1，菱形中，，点从点出发，沿直线运动到菱形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化的关系图像，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设交于点，首先证明为等边三角形，垂直平分，设，则，由勾股定理可得，进而可得，分析函数图像，可得当时，点在直线上运动，且当时，点运动到点，据此计算的值，进而求得该菱形的边长，然后计算菱形的周长． 【详解】解：如下图，连接，设交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，且，即垂直平分， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由函数图像可知，点从点出发，沿直线运动到菱形内部一点， 当时，，此阶段点在线段的垂直平分线上运动，即点在直线上运动， 假设点首先运动到点，然后再由点运动到点， 则，解得， ∴，， 由图像可知运动到点时，点移动的总路程为，假设成立， ∴， ∴菱形的周长． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个的值随着值的增大而增大的正比例函数的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，因为在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，所以，于是得到结论． 【详解】解：在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴函数表达式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某班为了解同学们一周内参加家务劳动的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 家务劳动时间/h 3 4 5 6 7 人数 2 1 4 2 1 则这10名同学一周内参加劳动时间的上四分位数是__________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：方法一：将这个数据从小到大排列为：，， 可得上四分位数是第个数据，即； 方法二：将这个数据从小到大排列为：， ，后5个数为， ，可得上四分位数是． 13. 如图，直线与直线互相垂直，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与坐标轴交点得、，故为等腰直角三角形，．由两直线垂直得，从而，为等腰直角三角形，得，故．代入解得． 【详解】解：如图， 直线， 令，则， ， 令，则， ， ，且， 为等腰直角三角形， ， 直线与直线互相垂直，即， ，且， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为， 将代入直线，得，解得． 14. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点、、分别是点、、的对应点），点恰好落在边上，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质、等边对等角、平行四边形的性质、平行线的性质，以及三角形内角和定理，进行解答即可． 【详解】解：由旋转得，，，， 又点恰好落在边上， 为等腰三角形， ， ． 四边形为平行四边形， ， ， ． 15. 如图，正方形中，，为边上一动点，延长到点，使，连接，，作于点，交于点．当点为边的三等分点时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，分两种情况：或，由正方形性质、三角形全等的判定与性质及等腰三角形三线合一性质得出，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：当点为边的三等分点时，分两种情况： 当时，如图所示： 在正方形中，，，则， 在和中， ， ，， ， ， 则是等腰直角三角形， ， 由三线合一性质可得垂直平分， ， 设，则，，，， 在中，由勾股定理可得，则， 解得； 当时，如图所示： 在正方形中，，，则， 在和中， ， ，， ， ， 则是等腰直角三角形， ， 由三线合一性质可得垂直平分， ， 设，则，，，， 在中，由勾股定理可得，则， 解得； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取40名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据统计图表提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 方差 七年级 8.5 1.41 八年级 8.7 1.11 （1）________，________； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）8.7，9 （2）八年级的成绩更好，理由：七、八年级的平均分相同，但八年级中位数大于七年级中位数，说明八年级一半以上人不低于9分；八年级方差小于七年级方差，说明八年级的波动较小，所以八年级成绩更好 （3）350人 【解析】 【分析】（1）用各等级的得分乘以对应的百分比，相加即可求出a的值；根据中位数的定义即可求出b的值； （2）根据统计图表提供的信息判断即可； （3）用总数乘以成绩为优秀的学生的比例即可． 【小问1详解】 解：， 由箱线图可知； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有350人． 18. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； （3）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得点C平移后的坐标为，再根据待定系数法把该点坐标代入即可求解； （2）由（1）知反比例函数的表达式得到反比例函数图象上的四个格点的坐标，然后，顺次描点并画反比例函数图象即可； （3）过点作于点E，由，得，再把点D的纵坐标代入反比例函数的表达式即可求得点D的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为， 画出的反比例函数的图象见答案； 【小问3详解】 解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，代入，得， ∴． 19. 在中，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使，连接、、． 请从下面两个条件中任选一个作为补充条件，判断四边形的形状，并说明理由． ①；②． 【答案】解：若选①，四边形为矩形，理由如下： ∵D、E分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形为矩形； 若选②，四边形为菱形，理由如下： ∵D、E分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】若选①，证明是的中位线，得到，进而求出，证明四边形是平行四边形，求出，可知平行四边形为矩形； 若选②，证明是的中位线，得到，，进而求出，证明四边形是平行四边形，根据，得到，可知平行四边形为菱形． 【详解】略． 20. 【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进30个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高10%； 素材二：用17600元购买A种书架的数量比用10000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】（1）A，B两种书架的单价分别为1100元，1000元 （2）w与a的函数关系式为，费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个 【解析】 【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．根据购买书架所花费用÷书架单价=购买书架的数量，建立分式方程，解方程并检验，最后得出答案； （2）根据购买的书架单价×购买数量=购买书架所花费用，并将两种书架的费用相加，即可得到w与a之间的函数关系式，整理后，根据一次函数的增减性得到w随着a的增大而增大，结合“A种书架数量不少于B种书架数量的”，得到，最后求得费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：A，B两种书架的单价分别为1100元，1000元． 【小问2详解】 解：当购买a个A种书架时， 购买总费用， 由题意得，， 解得， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w的值最小，此时w的值为：， 此时， 答：w与a的函数关系式为，费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个． 21. 矩形中，，点在边上，且，连接、，作交的延长线于点，交于点，连接． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，求矩形的面积； 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴ （2）20 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，证明，进而可证四边形是平行四边形，从而可得； （2）证明四边形是菱形得，在中，根据勾股定理求出，然后根据矩形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是平行四边形 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵矩形中，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴矩形的面积为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； （3）直接写出不等式（）的解集； （4）点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： （2） （3） （4）或2 【解析】 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入，得． 已知，， 因此． 【小问3详解】 解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． 【小问4详解】 解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 23. 综合与实践 定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为“双垂直四边形”，记作“双垂直四边形”． 【概念理解】 （1）用分别含有和角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的是__________（填序号）． （2）【性质探究】如图3，在“双垂直四边形”中，已知，，为线段上一点，且，判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，双垂直四边形在平面直角坐标系中的位置如图，点在轴上，点在轴上，，，为边上一动点，且，连接．将沿翻折，得到，若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）③ （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据“双垂直四边形”的定义逐一分析判断即可； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得； （3）由（2）可知，，再结合折叠的性质证明四边形为正方形，易得；然后分点在直线左侧时和点在直线右侧两种情况，作出辅助线，然后求解即可． 【小问1详解】 解：图2四种直角三角形纸板摆放中， 图①②④，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，均为双垂直四边形； 图③，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中没有直角，不是双垂直四边形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：类比（2）的全等证明方法，可证得， ∵沿翻折，得到， ∴， ∴四边形为菱形， 又∵，即， ∴四边形为正方形， ∴， 当点在直线左侧时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图， 则， ∵， ∴是含的直角三角形， ， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴点的坐标为； 当点在直线右侧时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图， 同理可得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期期末八年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的） 1. 如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是（ ） A. 甲是分式，乙不是 B. 乙是分式，甲不是 C. 甲和乙都是分式 D. 甲和乙都不是分式 2. 在正方形网格中，点、、的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 古语有云：“滴水穿石”．若水珠不断滴在一块石头上，经过450年，石头上会形成一个深的小洞，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次体育测试中，某班25名女生一分钟的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 3 10 8 4 根据以上数据信息，下列说法中，正确的是（ ） A. 方差为0 B. 众数在的范围内 C. 中位数在的范围内 D. 该组数据的离差平方和能准确计算 6. 小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 无法确定 7. 《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，对角线与相交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点、，作直线交于点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，菱形中，，点从点出发，沿直线运动到菱形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化的关系图像，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个的值随着值的增大而增大的正比例函数的表达式：______． 12. 某班为了解同学们一周内参加家务劳动的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 家务劳动时间/h 3 4 5 6 7 人数 2 1 4 2 1 则这10名同学一周内参加劳动时间的上四分位数是__________． 13. 如图，直线与直线互相垂直，则的值为_________． 14. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点、、分别是点、、的对应点），点恰好落在边上，则的度数为_________． 15. 如图，正方形中，，为边上一动点，延长到点，使，连接，，作于点，交于点．当点为边的三等分点时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取40名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据统计图表提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 方差 七年级 8.5 1.41 八年级 8.7 1.11 （1）________，________； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 18. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； （3）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 19. 在中，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使，连接、、． 请从下面两个条件中任选一个作为补充条件，判断四边形的形状，并说明理由． ①；②． 20. 【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进30个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高10%； 素材二：用17600元购买A种书架的数量比用10000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 21. 矩形中，，点在边上，且，连接、，作交的延长线于点，交于点，连接． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，求矩形的面积； 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； （3）直接写出不等式（）的解集； （4）点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 23. 综合与实践 定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为“双垂直四边形”，记作“双垂直四边形”． 【概念理解】 （1）用分别含有和角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的是__________（填序号）． （2）【性质探究】如图3，在“双垂直四边形”中，已知，，为线段上一点，且，判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，双垂直四边形在平面直角坐标系中的位置如图，点在轴上，点在轴上，，，为边上一动点，且，连接．将沿翻折，得到，若，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $