精品解析：河南省南阳市镇平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷

河南省南阳市镇平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的） 1. 当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（ ） A. B. C. x D. 2. 人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（    ） A. 的度数 B. 的面积 C. 的长度 D. 的长度 4. 学校广播站要新招1名广播员，复试环节有口语表达、写作能力两项测试，其中学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，小强顺利进入复试并在这两项测试中分别取得90分和85分的成绩，则小强的最终成绩是（ ） A. 89 B. 88 C. 87 D. 86 5. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 6. 某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为的中点，，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 18 9. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（ ） A. 4 B. C. D. 16 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 若不是最简分式，则（ ）里的整式可以是__________．（写出1个即可） 12. 某学校82班的数学兴趣小组有6名成员，身高（单位：）分别是162、165、170、170、168、172，现增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数__________，中位数__________，众数__________（从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）． 13. 如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是__________． 14. 如图，平面直角坐标系中正方形的顶点，过D作轴交于点，连接，则的值为 _______ ． 15. 在矩形中，，点为的中点，连接，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为__________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 【问题情境】生活中，有些鱼类长的比较相像，经常会被认错．数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往附近的水产市场购买鱼并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们在水产市场上观察将要购买的A，B两种鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如下图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 平均数 中位数 众数 A种鱼的重长比 4.6 4.6 种鱼的重长比 3.12 3.0 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______． （2）若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在种鱼与种鱼中，体型差异较大的是________种鱼．（填“”或“”） （3）食堂采购员在该水产市场购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是种鱼还是种鱼，并说明理由． 18. 如图，点为格点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）请先描出这个反比例函数图象上的格点，再画出反比例函数的图象． （3）正比例函数的图象与此反比例函数图象交于点，点，请画出此正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集为________． 19. 如图，为等腰三角形，．将沿直线向右平移到的位置． （1）连接，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）连接，求的长． 20. 踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知品牌毽子的单价比品牌贵2元，且用150元购买品牌毽子的数量是用85元购买品牌毽子数量的两倍． （1）这两种品牌毽子的单价各是多少？ （2）已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共200个，且购买品牌毽子的数量不低于品牌的，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 21. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数(m为常数，的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式； （2）直接写出的面积； （3）点分别是一次函数和反比例函数的图象上的点，请直接写出_________（填“”、“”或“”）． （4）点是轴上方一点，且以A、O、B、E的为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 23. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点，连接． 发现一：是_______________三角形； 发现二：的位置关系是：_______________． 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点在射线上运动，分别过点，点作的平行线，交点为点，将沿着所在直线折叠，点的对应点为点，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市镇平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的） 1. 当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（ ） A. B. C. x D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：当，，， ∴括号里的代数式可能是． 故选：B． 2. 人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（    ） A. 的度数 B. 的面积 C. 的长度 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是常量与变量，掌握它们的概念是解决此题关键． 根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【详解】解：在转动过程中，的度数，的面积，的长度都在变化，属于变量， ∴常量为的长度， 故选：D． 4. 学校广播站要新招1名广播员，复试环节有口语表达、写作能力两项测试，其中学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，小强顺利进入复试并在这两项测试中分别取得90分和85分的成绩，则小强的最终成绩是（ ） A. 89 B. 88 C. 87 D. 86 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．掌握求加权平均数的计算方法是解题关键． 【详解】小强的最终成绩是：（分）。 故选：A． 5. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理以及折叠的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 利用菱形的判定定理即可判定丝巾的形状． 【详解】解：由题意可知，这块丝巾的两组对角分别相等，且邻边相等，故这块丝巾的形状一定是菱形． 故选：B． 6. 某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及图象可设该函数解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】解：由题意及图象可设该函数解析式为，则把代入得： ，解得：， ∴该函数解析式为； 故选C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的实际应用，熟练掌握正比例函数的实际应用是解题的关键． 7. 如图，在中，为的中点，，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边和角之间的关系，再利用边、角之间的关系求解．根据，为的中点，，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，，从而可得，根据平行四边形的性质可知，求出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，， ∴， ． 故选：D． 8. 如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例系数k的几何意义，正方形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．根据正方形的性质得出，证明四边形为矩形，四边形为矩形，根据k的几何意义得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点B、C在轴上， ∴、O、C三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∵点A、D分别在函数的图象上， ∴，， ∴． 故选：C． 9. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、勾股定理，由题意得出，，，，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴正方形中，，， ∴， 由题意得：，，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D． 10. 如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（ ） A. 4 B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理等，正确理解题意，从函数图象获取相关信息是解题的关键； 由图象可知，当点P与A重合时，，当点P与C重合时，， 连接，过点C作交延长线于F，利用平行四边形的性质和勾股定理求出和的长，再利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】由图2可知，当点P与A重合时，即时，， 当点P与C重合时，， 如图3，连接，过点C作交延长线于F，则， 四边形是平行四边形，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积， 故选：B． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 若不是最简分式，则（ ）里的整式可以是__________．（写出1个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式的特点（分式的分子与分母均为整式且分子和分母中不含1以外的公因数或公因式）是解题关键．根据最简分式的概念进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故答案为：（答案不唯一） ． 12. 某学校82班的数学兴趣小组有6名成员，身高（单位：）分别是162、165、170、170、168、172，现增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数__________，中位数__________，众数__________（从“变小”、“变大”、“不变”中选择一项填空）． 【答案】 ①. 变大 ②. 变大 ③. 不变 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数和算术平均数，根据平均数、中位数的意义、众数的定义，可得答案． 【详解】解：， 原来的中位数是， 现在的身高从小到大排列为：、、、、、、， 现在的中位数是最中间的， 众数不变，依然是， 故增加一名身高为的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相比，平均数变大，中位数变大，众数不变． 故答案为：变大，变大，不变． 13. 如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题．对于，令，可求出点A的坐标，然后联立两函数解析式可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，平面直角坐标系中正方形的顶点，过D作轴交于点，连接，则的值为 _______ ． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．先证明，得，如图所示，过点作轴于点，再证，得出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 如图所示，过点作轴于点， ， ， ， ， 点坐标分别为 ， ， ∴点D坐标为， ∵轴， ∴， ， ， 故答案为：17． 15. 在矩形中，，点为的中点，连接，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．先证明，可得，，，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，，， 当时，如图，则， ∴和都为等腰直角三角形， ∴； ②当时，如图，则， ∵点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，零指数幂，，负整数指数幂，分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂以及实数的运算法则进行计算即可； （2）根据先计算括号内的，再计算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 【问题情境】生活中，有些鱼类长的比较相像，经常会被认错．数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往附近的水产市场购买鱼并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们在水产市场上观察将要购买的A，B两种鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如下图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 平均数 中位数 众数 A种鱼的重长比 4.6 4.6 种鱼的重长比 3.12 3.0 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______． （2）若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在种鱼与种鱼中，体型差异较大的是________种鱼．（填“”或“”） （3）食堂采购员在该水产市场购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是种鱼还是种鱼，并说明理由． 【答案】（1）3.1，5.0 （2）A （3）种鱼，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、众数和方差，解题的关键是掌握中位数、众数的定义和方差的意义． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义求解即可； （3）计算出重长比即可得出答案． 【小问1详解】 解：B种鱼的重长比从小到大排列为：2.8，3.0，3.0，3.0，3.1，3.1，3.2，3.3，3.3，3.4， 所以，； A种鱼的重长比出现最多的是5.0，共出现2次， 所以，； 故答案为：3.1；5.0； 【小问2详解】 解：由折线统计图知，B种鱼的重长比比A种鱼的重长比波动幅度小， 所以在A种鱼与B种鱼中，体型差异较大的是A种鱼， 故答案为：A； 【小问3详解】 解：A种鱼，理由如下： 因为， 即该鱼的重长比为4.5，更接近A种鱼的重长比的平均数，故推测这条鱼更可能是A种鱼． 18. 如图，点为格点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）请先描出这个反比例函数图象上的格点，再画出反比例函数的图象． （3）正比例函数的图象与此反比例函数图象交于点，点，请画出此正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集为________． 【答案】（1） （2） 描点，连线，则反比例函数图象如图： （3） 如上图所示，或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）列表描点画出反比例函数图象即可； （3）数形结合直接写出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：列表得： x ⋯ 1 2 4 ⋯ y ⋯ 1 2 4 ⋯ 【小问3详解】解：如图，根据正比例函数图象与反比例函数图象关于原点成中心对称图形， ∴，， 由函数图象可知：不等式的解集为或． 故答案为：或． 19. 如图，为等腰三角形，．将沿直线向右平移到的位置． （1）连接，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）连接，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平移的性质等知识，熟练掌握勾股定理和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设交于点O，由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由平移的性质可知， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：平移可知， ． 由（1）知四边形是菱形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 的长为8． 20. 踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知品牌毽子的单价比品牌贵2元，且用150元购买品牌毽子的数量是用85元购买品牌毽子数量的两倍． （1）这两种品牌毽子的单价各是多少？ （2）已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共200个，且购买品牌毽子的数量不低于品牌的，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）A品牌毽子的单价是17元，B品牌毽子的单价是15元 （2）购买品牌毽子50个，品牌毽子150个才能使购买费用最低，最低费用为3100元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设B品牌毽子的单价为x元，则A品牌毽子的单价为元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买费用为元，购买品牌毽子个，则购买品牌毽子个，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设购买费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w值最小，求出其最小值即可． 【小问1详解】 解：设品牌毽子的单价是元，则品牌毽子的单价是元． 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且均符合题意， 答：A品牌毽子的单价是17元，B品牌毽子的单价是15元； 【小问2详解】 解：设购买费用为元，购买品牌毽子个，则购买品牌毽子个． 则， 解得， ， ， 随的增大而增大． 当时，有最小值，最小值为． 此时． 答：购买品牌毽子50个，品牌毽子150个才能使购买费用最低，最低费用为3100元． 21. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数(m为常数，的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式； （2）直接写出的面积； （3）点分别是一次函数和反比例函数的图象上的点，请直接写出_________（填“”、“”或“”）． （4）点是轴上方一点，且以A、O、B、E的为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）5 （3） （4）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点代入可求出反比例函数解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点D的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）分别代入解析式，求出，即可解答； （4）设点E的坐标为，分两种情况：若以，为对角线；若以，为对角线，结合平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴点， 设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∴． 故答案为： 【小问4详解】 解：设点E的坐标为， 若以，为对角线， ，解得：， 此时点E的坐标为； 若以，为对角线， ，解得：， 此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 23. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点，连接． 发现一：是_______________三角形； 发现二：的位置关系是：_______________． 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点在射线上运动，分别过点，点作的平行线，交点为点，将沿着所在直线折叠，点的对应点为点，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 【答案】（1）等腰，；（2）（1）中的发现一和发现二成立；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了四边形的综合，掌握平行四边形性质、轴对称的性质、三角形全等及等腰三角形的存在性等知识点的应用是本题的解题关键． （1）由矩形得出，由折叠得出，即，，即可证明等腰三角形，由两个三角形的内角和定理可得，即可证明平行； （2）（1）中的发现一和发现二成立，同（1）的证明过程即可证明； （3）当为等腰三角形，且时，如图，设交于点F，证明出，得出，在中，利用内角和定理求出的度数即可解答；当为等腰三角形，且时，如图，设、交于点F，同上一情况的解答过程即可解答；当为等腰三角形，且时，证明出四边形为菱形，由菱形的对称性得，折叠后的点E与点D重合，故不符合题意． 【详解】解：（1）如图， 发现一：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故答案为：等腰； 发现二：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的发现一和发现二成立，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故发现一成立； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故发现二成立； （3）当为等腰三角形，且时，如图，设交于点F， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当为等腰三角形，且时，如图，设交于点F， 同理可证：， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当为等腰三角形，且时， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 由菱形的对称性得，折叠后的点E与点D重合， 如图，故不符合题意； 综上，当为或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $