27.2（2） 二次函数y=a(x+m)2+h的图像与性质（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x+m)²+h的图像与性质，通过y=ax²→y=ax²+h（上下平移）→y=a(x+m)²（左右平移）→y=a(x+m)²+h（综合平移）的递进结构，搭建从基础到综合的学习支架，涵盖开口方向、对称轴、顶点坐标、平移规律及增减性。 该资料以“随学随练”即时巩固与分层题型设计为特色，通过图像绘制培养几何直观（数学眼光），平移法则口诀及待定系数法训练推理能力（数学思维），结合隧道限高、掷实心球等实际问题发展模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后通过基础通关与素养提升帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十七章 二次函数 27.2（2） 二次函数y=a（x+m)2+h的图像与性质 课标要点 1. 能画出y=a(x+m)²+h的图象，明确其为抛物线。 2. 掌握y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 3. 理解y=a(x+m)²+h与y=ax2的平移规律，会进行图像平移变换。 学习重难点 重点： 1. 掌握y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 难点： 1. 二次函数y=a(x+m)²+h 中系数m、h的几何意义及左右平移法则; 2. 理解二次函数y=a(x+m)²+h的增减性; 知识点 二次函数 y=ax²+h的图像与性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（h0）或向下（h）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，h）; 随学随练 1．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 知识点 二次函数 y=a(x+m)²的图像与性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=-m; (3)顶点坐标是 （-m，0） 特别提醒 二次函数，当x=-m时，=0得到函数的最值，所以函数图像的顶点坐标是（-m,0）.所以列表时必须将顶点坐标居中，画出的图像才能体现轴对称性。 随学随练 1. 在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ； ，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 知识点二次函数 y=a(x+m)²的图像与性质 1. 图像与性质 二次函数+h的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到，再向上（h>0）或向下（h<0）平移 |h|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 2. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +h 3. 增减性 从二次函数y=+h的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<-m时，y随x的增大而减小， 当x>-m时，y随x的增大而增大， 当x=-m时，y取最小值，最小值为h; （2）如果a<0,那么 当x<-m时，y随x的增大而增大， 当x>-m时，y随x的增大而减小， 当x=-m时，y取最大值，最大值为h. 特别提醒 平移方向：左加右减是针对（）而言，上加下减是对h而言。 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向结合对称轴才能决定增减趋势。 随学随练 1. 已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）解：根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点作出函数图象：    （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 题型 二次函数y=ax2+h的图像与性质 ▌例1已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． ▌对点练1. 在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. ▌对点练2. 抛物线经过，两点，若，写出一个符合条件的m的值______． 【详解】解：由抛物线解析式得， 点的纵坐标，点的纵坐标． ∵， ∴， ∴ 或 ， ∴符合条件的可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） ▌对点练3. 已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【详解】（1）解： 将代入得即解得：． 列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 描点画出函数的图像，如图所示． 此函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）根据图像分析可得，若，则当时，y取得最小值，且最小值为-2， 当时，y取得最大值，且最大值为2． 所以当时，y的取值范围是． 题型 二次函数y=a(x+m)2的图像与性质 解题贴士 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到. ▌例1 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． ▌对点练1. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． ▌对点练2. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与增减性，在抛物线开口向上的情况下，距离对称轴越远的点的函数值越大。 【详解】解：对于二次函数，对称轴为x=-2 当时，点距离对称轴x=-2的距离为1个单位； 当时，点距离对称轴x=-2的距离为2个单位； 当时，点距离对称轴x=-2的距离为3个单位； ． 故答案为：． 题型 二次函数y=a(x+m)2+h的图像与性质 解题贴士 二次函数+h的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到，再向上（h>0）或向下（h<0）平移 |h|个单位得到。 ▌例1 在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【分析】二次函数当x=-1时，=0，所以当x=-1时，函数y有最小值0，所以列表时要将（-1，0）居中。 【详解】（1）解：列表： 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 ▌对点练1. 已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． （3）解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． ▌对点练2. 对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 【详解】解：对于选项A，∵二次函数， ∴顶点坐标为，A选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，B选项正确； 将代入抛物线解析式得，；将代入得，，∵， ∴，故C选项错误； 抛物线向右平移1个单位，得平移后的解析式为，D选项正确； 故选：C． 题型 二次函数y=a(x+m)2+h图像的平移法则 解题贴士 平移法则： +h ▌例1 把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． ▌对点练1. 将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”， ∴将抛物线向右平移3个单位，得， 再向上移动1个单位，得． 故选：A． ▌对点练2. 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位， 平移后解析式为：， 故选：A． 题型 待定系数法和数形结合法 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． ▌例2根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． ▌对点练1. 如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． ▌对点练2. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设关于的函数表达式为： 把代入得：， 解得： ∴关于的函数表达式为：； （2）解：由题意得，当时， ， 解得，（舍去） ∴该女生在此项考试中的得分在分和分之间． （3）解：由题可设， 把代入得， ∴， ∴， 将代入得， ， 则当掷出点的高度至少达到时，可得满分100． ▌对点练3. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 基础通关 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式，即可求得对称轴，的对称轴为直线，据此求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 4．（25-26九年级上·上海金山·周测）抛物线在对称轴右侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”） 【答案】下降 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键． 根据，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 对称轴右侧的部分呈下降趋势． 故答案为：下降． 5．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是______用“”表示． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键． 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，则点A关于对称轴对称的点B坐标为． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点B坐标为， 故答案为：． 8．（2025九年级·全国·专题练习）已知函数，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求y的取值范围． （2）当时，y的取值范围是多少？ 【答案】函数的图象如图所示． （1）y的取值范围是． （2）y的取值范围是． 【分析】描点、连线作出图象即可； （1）根据图象即可求得； （2）根据图象即可求得． 【详解】解：由函数可知顶点为，对称轴为， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 将在坐标系内描出、连线， 图象如图所示， （1）由图象可知，当时，的取值范围是； （2）由图象可知，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定二次函数的顶点坐标以及对称轴是解决有关二次函数的题目的关键． 9．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质；熟知相关知识是正确解答此题的关键． （1）运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数开口向上，运用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 10．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令，即可求解； （2）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，再利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图2，令水柱最高点为点C，水柱落地处为点B， 由题意可知，，， 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，则， 水管的长度为； （2）解：设水管要升高h米，则扩建后抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， 水管要升高． 素养提升 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，得它的对称轴为，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 3．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 8. （25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴； （2）分别考虑抛物线过点D、C时a的值，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点， ∴， 即， ∴， ∵点A的坐标为，，且四边形为正方形， ∴，， 当抛物线经过点D时，则， 解得：； 当抛物线经过点C时，则， 解得：； ∴当抛物线与正方形的边有交点时，则a的取值范围为； 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图像时发现：该类型图像上任意一点P到对称轴上的定点的距离，始终等于它到定直线：的距离．他们称定点为图像的焦点，定直线为图像的准线．例如，抛物线，其焦点坐标为．准线方程为：．请写出抛物线的焦点坐标_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，新定义，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据题意可知，抛物线的焦点为，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 【答案】． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，根据题意，抛物线的顶点坐标为，把代入，求出的值即可，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线的顶点坐标为， 将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 迁移创新 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 2．（2026·河南洛阳·三模）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.2（2） 二次函数y=a（x+m)2+h的图像与性质 课标要点 1. 能画出y=a(x+m)²+h的图象，明确其为抛物线。 2. 掌握抛物线y=a(x+m)²+h的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 3. 理解抛物线y=a(x+m)²+h与y=ax2的平移规律，会进行图像平移变换。 学习重难点 重点： 1. 掌握抛物线y=a(x+m)²+h图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 难点： 1. 二次函数y=a(x+m)²+h 中系数m、h的几何意义及左右平移法则; 2. 理解二次函数y=a(x+m)²+h的增减性; 知识点 二次函数 y=ax²+h的图像与性质 二次函数 的图像可通过将二次函数 的图像向上（h0）或向下（h）平移 个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 y轴（直线x=0）; (3)顶点坐标是 （0，h）; 随学随练 1．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 知识点 二次函数 y=a(x+m)²的图像与性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=-m; (3)顶点坐标是 （-m，0） 特别提醒 二次函数，当x=-m时，=0为函数的最值，所以函数图像的顶点坐标是（-m,0）.画二次函数图像列表时必须将顶点坐标（-m,0）居中，画出的图像才能体现轴对称性。 随学随练 1. 在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 知识点二次函数 y=a(x+m)²的图像与性质 1. 图像与性质 二次函数+h的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到，再向上（h>0）或向下（h<0）平移 |h|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 2. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +h 3. 增减性 从二次函数y=+h的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<-m时，y随x的增大而减小， 当x>-m时，y随x的增大而增大， 当x=-m时，y取最小值，最小值为h; （2）如果a<0,那么 当x<-m时，y随x的增大而增大， 当x>-m时，y随x的增大而减小， 当x=-m时，y取最大值，最大值为h. 特别提醒 平移方向：左加右减是针对（）而言，上加下减是对h而言。 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向结合对称轴才能决定增减趋势。 随学随练 1. 已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 题型 二次函数y=ax2+h的图像与性质 ▌例1已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． ▌对点练1. 在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2. 抛物线经过，两点，若，写出一个符合条件的m的值______． ▌对点练3. 已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 题型 二次函数y=a(x+m)2的图像与性质 解题贴士 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到. ▌例1 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． ▌对点练1. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 题型 二次函数y=a(x+m)2+h的图像与性质 解题贴士 二次函数+h的图像可通过将二次函数的图像向右（）或向左（）平移个单位得到，再向上（h>0）或向下（h<0）平移 |h|个单位得到。 ▌例1 在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 ▌对点练1. 已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． ▌对点练2. 对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 题型 二次函数y=a(x+m)2+h图像的平移法则 解题贴士 平移法则： +h ▌例1 把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． ▌对点练1. 将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2. 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 题型 待定系数法和数形结合法 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． ▌例2根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． ▌对点练1. 如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． ▌对点练2. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． ▌对点练3. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 基础通关 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 4．（25-26九年级上·上海金山·周测）抛物线在对称轴右侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”） 5．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是______用“”表示． 6．（24-25九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点坐标是______． 7．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 8．（2025九年级·全国·专题练习）已知函数，请在下面的网格中画出函数图象，并根据图象回答下列问题： （1）当时，求y的取值范围． （2）当时，y的取值范围是多少？ 9．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 10．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 素养提升 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 3．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 6．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 8. （25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图像时发现：该类型图像上任意一点P到对称轴上的定点的距离，始终等于它到定直线：的距离．他们称定点为图像的焦点，定直线为图像的准线．例如，抛物线，其焦点坐标为．准线方程为：．请写出抛物线的焦点坐标_____． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 迁移创新 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 2．（2026·河南洛阳·三模）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $