28.1(2) 平行线分线段成比例（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦“平行线分线段成比例”核心知识点，系统梳理定理及推论，通过A、X型模型构建知识支架，从定理理解到模型识别再到辅助线构造，形成递进式学习脉络，为相似三角形判定奠定基础。 资料以分层题型设计为亮点，结合例题与对点练，培养几何直观与推理能力，如尺规作图题强化模型意识，拓展应用关联角平分线定理。课中辅助教师系统教学，课后分层练习助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第二十七章 相似三角形 28.1（2） 平行线分线段成比例 课标要点 1. 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 2. 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），分清题设和结论； 3. 会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为相似三角形判定打基础 学习重难点 重点： 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 难点： 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），并能加以熟练运用； 知识点 平行线分线段成比例定理1 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 模型：图1 (A型图) 图2（X型图） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴ ∴ 特别提醒 1.“截其他两边所在的直线”包含两种情况：①截其他两边；②及其他两边的延长线或反向延长线； 2. “对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应 随学随练 1. 已知：△ABC，直线l与边AB、AC分别相交于点D、E且lBC． 求证：． 【详解】解：如图所示，连接CD，BE，设E到AB的距离为，到BC的距离为 ∴ ∴， 同理：， 又根据同底等高三角形面积相等的性质可知， ∴ 【点睛】根据合比的性质，我们还能得到,. 知识点 平行线分线段成比例定理2 定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 模型：图1 图2 符号语言： ∵ ∵ ∴ ∴ 推论（平行线等分线段定理）：两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 模型：图1 图2 符号语言： ∵，DF=FB ∵, DM=MB ∴EG=GC ∴EN=NC 特别提醒 1.平行线分线段成比例定理1是平行线分线段成比例定理2的特殊形式，其证明体现了从特殊到一般的过程。 2.平行线等分线段定理又是平行线分线段成比例定理2的特例，其证明体现了从一般到特殊的过程。 随学随练 1. 证明平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例.已知（如图）∥∥，求证：. 【答案】见解析. 【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证． 【详解】 证明：如果AC//DF，根据平行四边形的性质可知，AB=DE,BC=EF ∴ 如果，AC与DE不平行，过点E作直线MN∥AC，交、于点G、H， ∵∥∥，MN∥AC， ∴四边形ABEG、BCHE是平行四边形 ∴AB=GE,BC=EH, 根据平行线分线段成比例定理1，可知 ∴ 【点睛】当AB=BC时，我们就能得到DE=EF，于是就能证明平行线等分线段定理。 题型A型图的辨析 解题贴士 1. A型图平行与三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； 2. A型图的位置变化很多，特别是一些旋转变形过的A型图要能准确识别； 3. A型图中的结论变式较多，一定要注意对应。 ▌例1如图，中，点D在边上，，．求证：． 【详解】证明：， ， ， ， ． ▌例2如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． ▌例3如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到图形中的平行线． （1）由可得，代入数值计算即可； （2）由可得，计算出的值，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故； （2）∵， ∴， 即，解得， ∴． ▌对点练1. 如图，已知，且，求：线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形是平行四边形并求出的长，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． ▌对点练2. 如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 由得到，由得到，进而求解即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即， 是和的比例中项． ▌对点练3. （1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的______，截得的______成比例． 课本利用“面积法”证明了这个定理，我们现在回忆和完成下面的要求即可． （2）首先画图，学生画出除图1外符合上述定理其他所有可能情况图形． （3）已知，如图1，，求证：（用面积法证明）． 【答案】（1）延长线；对应线段；（2）见解析；（3）见解析； 【分析】本题考查了相似三角形平行线的性质定理，掌握其知识点是解题关键； （1）根据性质定理即可解答； （2）根据性质即可求解； （3）连接，可得，，再根据，可得，即可求解. 【详解】解：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的延长线，截得的对应线段成比例． 故答案为：延长线；对应线段； （2）如图： （3）如图：连接 则， ∵ ∴ ∴    ∴. 题型 X型图的辨析 解题贴士 X型图平行与三角形一边的直线与其他两边的反向延长线相交，截得的对应线段成比例。 ▌例1如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． ▌例2如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为5． 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由，得到，即，求出，即可解答． （2）先推导出，，求出，，则，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 答：的长为． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：的长为5． ▌对点练1.如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． ▌对点练2. 如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例）是解题关键． 由得到即可求解，则由求出，再由，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ，，， ∴， 解得：， 则． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型 平行线分线段成比例定理2的应用 解题贴士 平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 利用定理结合比例线段的各种性质这里常用以下类型的结论； ，，，， ▌例1如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，结合即可得解； （2）过作平行线分别交，于，，推出四边形、四边形、四边形是平行四边形，可得，，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，则． 【详解】（1）解：，， ， ， ，； （2）解：过作平行线分别交，于，， 即， 四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理、比例的性质、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． ▌对点练1. 如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． ▌对点练2. 如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴，，， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、D的比例式正确，不符合题意；选项C的比例式不正确，符合题意； 故选：C． ▌对点练3. 如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可； 【详解】解：， ，即， ． 题型 尺规作图按比例求作线段 ▌例1 如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使．解题贴士 已知三条线段a、b、c．求作第四条线段x，使．是依托平行线分线段成比例构造A字型或X字型图，避坑注意点是比例顺序不能混淆，一般情况下要求作的线段应置于第四比例项的位置。 【详解】解：如图，线段x即为所作． ▌对点练1. 如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【分析】本题主要考查了复杂作图、比例线段等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 如图：先作出射线，在射线上依次截取线段，连接，作交于C，点C即为所求． 【详解】解：如图所示：点C即为所求． ▌对点练2. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点P，则点P即为所求作的点； （2）取格点E，F，连接交于点H，则点H即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作的点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点P是的中点； （2）解：如图所示，点H即为所求作的点， ∵， ∴， ∴， ∵与同高， ∴． 题型 平行线分线段成比例拓展应用 ▌例1 角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则．解题贴士 1. 会添加辅助线构造平行线分线段成比例的模型，是解决线段比例的证明、计算的难点题型。 2. 经过已知线段的分点作三角形一边的平行线，构造A字型或X字型图把分散的线段转移到一、二条直线上形成比例线段是解决此类题型的关键。 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：图②，过C作，交的延长线于E． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，已知中，，，，平分，求的周长为______； (3)如图④，在中，E是的中点，是的平分线，交于点F，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)11 【分析】（1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得，再利用勾股定理求解的长，从而可得答案； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ，，， ， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. （3）解：是的平分线，，， 是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ▌对点练1. 如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． ▌对点练2.中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 基础通关 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 2．（2026·上海·一模）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故A、C、D正确，不符合题意； 而B选项结论不能证明，故错误，符合题意， 故选：B． 3．（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，即，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，即可求解． 【详解】解：如图， 当时， 则， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·上海·一模）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理直接解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2026·上海·一模）如图，已知，，，________． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 9．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 10．（第02讲三角形一边的平行线（一）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））如图，为对角线上任意一点．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 素养提升 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，，，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，然后代入求出，再通过线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2026·上海徐汇·一模）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， ， 即，， 故A不符合题意； 若，，与已知条件不符， 故不成立，C符合题意； B、， ，， 故B、D选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意； D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（2026·上海·一模）如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，那么线段AC的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理得到进而得到，利用比例的性质得到，从而可计算出的长． 【详解】解：， 故答案为： 6．（25-26八年级下·上海·开学考试）平行四边形中，，过对角线交点作，垂足为，，，则__________． 【答案】 【分析】先由题意作出图形，利用平行线分线段成比例得到，进而得到，在中，由勾股定理求出，最后代入平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， 在平行四边形中，， ∴， ， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， ． 7．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    【答案】16 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 8．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 迁移创新 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 2．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，得出，，推出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 相似三角形 28.1（2） 平行线分线段成比例 课标要点 1. 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 2. 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），分清题设和结论； 3. 会添加辅助线构造平行线模型，解决线段比例证明题，为相似三角形判定打基础 学习重难点 重点： 理解平行线分线段成比例定理及其推论； 难点： 掌握定理在三角形中的两个模型（A 型、X 型模型），并能加以熟练运用； 知识点 平行线分线段成比例定理1 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的线段成比例。 模型：图1 (A型图) 图2（X型图） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴ ∴ 特别提醒 1.“截其他两边所在的直线”包含两种情况：①截其他两边；②及其他两边的延长线或反向延长线； 2. “对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应 随学随练 1. 已知：△ABC，直线l与边AB、AC分别相交于点D、E且lBC． 求证：． 【点睛】根据合比的性质，我们还能得到,. 知识点 平行线分线段成比例定理2 定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 模型：图1 图2 符号语言： ∵ ∵ ∴ ∴ 推论（平行线等分线段定理）：两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 模型：图1 图2 符号语言： ∵，DF=FB ∵, DM=MB ∴EG=GC ∴EN=NC 特别提醒 1.平行线分线段成比例定理1是平行线分线段成比例定理2的特殊形式，其证明体现了从特殊到一般的过程。 2.平行线等分线段定理又是平行线分线段成比例定理2的特例，其证明体现了从一般到特殊的过程。 随学随练 1. 证明平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例.已知（如图）∥∥，求证：. 【点睛】当AB=BC时，我们就能得到DE=EF，于是就能证明平行线等分线段定理。 题型A型图的辨析 解题贴士 1. A型图平行与三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； 2. A型图的位置变化很多，特别是一些旋转变形过的A型图要能准确识别； 3. A型图中的结论变式较多，一定要注意对应。 ▌例1如图，中，点D在边上，，．求证：． ▌例2如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． ▌例3如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： (1)的值． (2)的值． ▌对点练1. 如图，已知，且，求：线段的长． ▌对点练2. 如图．在中，，．求证：是和的比例中项． ▌对点练3. （1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的______，截得的______成比例． 课本利用“面积法”证明了这个定理，我们现在回忆和完成下面的要求即可． （2）首先画图，学生画出除图1外符合上述定理其他所有可能情况图形． （3）已知，如图1，，求证：（用面积法证明）． 题型 X型图的辨析 解题贴士 X型图平行与三角形一边的直线与其他两边的反向延长线相交，截得的对应线段成比例。 ▌例1如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． ▌例2如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． ▌对点练1.如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． ▌对点练2. 如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长． 题型 平行线分线段成比例定理2的应用 解题贴士 平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 利用定理结合比例线段的各种性质这里常用以下类型的结论； ，，，， ▌例1如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． ▌对点练1. 如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2. 如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3. 如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 题型 尺规作图按比例求作线段 ▌例1 如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使．解题贴士 已知三条线段a、b、c．求作第四条线段x，使．是依托平行线分线段成比例构造A字型或X字型图，避坑注意点是比例顺序不能混淆，一般情况下要求作的线段应置于第四比例项的位置。 ▌对点练1. 如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． ▌对点练2. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： (1)在图1中作出的中点P； (2)在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 题型 平行线分线段成比例拓展应用 ▌例1 角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分，则．解题贴士 1. 会添加辅助线构造平行线分线段成比例的模型，是解决线段比例的证明、计算的难点题型。 2. 经过已知线段的分点作三角形一边的平行线，构造A字型或X字型图把分散的线段转移到一、二条直线上形成比例线段是解决此类题型的关键。 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：图②，过C作，交的延长线于E． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，已知中，，，，平分，求的周长为______； (3)如图④，在中，E是的中点，是的平分线，交于点F，，，求的长． ▌对点练1. 如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． ▌对点练2.中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 基础通关 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2026·上海·一模）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，，则__________． 6．（2026·上海·一模）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 7．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 8．（2026·上海·一模）如图，已知，，，________． 9．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    10．（第02讲三角形一边的平行线（一）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））如图，为对角线上任意一点．求证：．    素养提升 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，，，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．6 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海徐汇·一模）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·一模）如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，那么线段AC的长是_______． 6．（25-26八年级下·上海·开学考试）平行四边形中，，过对角线交点作，垂足为，，，则__________． 7．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    8．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 9．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 10．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 迁移创新 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 2．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $