精品解析：山东省烟台龙口市（五四制）2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末阶段性测试 初二数学试题 120分钟 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分）书写规范，卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 4. 函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 图是第七届国际数学教育大会（）会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图）演化而成的．如果图中的，那么的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 12. 如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 13. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板不重叠地拼成的动物图案，并将其中一部分涂色、有一只蚊子（大小可看作一个点）随机停留在图案上，则停留在涂色部分的概率是___． 14. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 15. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 16. 如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为________． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 计算： （1）解二元一次方程组； （2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （3）解不等式组：． 18. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．请说明的理由． 理由：如图2，延长交于点． （已知）， （______）． 又（______）， ______（等量代换）． （______）． ______（两直线平行，同旁内角互补）． 又______（已知）， （______）． （______）． 19. 【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】如图，在中，， （1）请用尺规作边上的高，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：若，，求的长． 20. 一次函数与的图象如图所示． （1）点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）当____________时，； （3）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 21. 课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 22. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 23. 如图，于E，于F，若，平分； （1）求证：； （2）已知，求四边形的面积． 24. 根据如下素材，完成探索任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同． 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件 B：200元/件 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 任务一 求A、B充电器每件进价 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末阶段性测试 初二数学试题 120分钟 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分）书写规范，卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ，选项错误； ，选项错误； 不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，选项错误； 不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，选项正确． 2. 将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用概率求解随机事件的概率，根据题意可得有四组插孔，又两组可插上，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是： ， 故选：A 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵函数y=有意义， ∴分母必须满足， 解得：， ∴x＞1； 故选B． 【点睛】在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角尺的应用，平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 先作图将顶点标注字母，延长交于点，由三角尺的度数可证明，则．根据长方形的性质，，可推断出，作差计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 7. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 8. 课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 9. 图是第七届国际数学教育大会（）会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图）演化而成的．如果图中的，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2＝，OA3＝，找到OAn＝的规律，即可计算OA8的长． 【详解】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2＝， OA3＝ …， ∴OAn＝， ∴OA8＝， 故选择：D 【点睛】本题考查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得OAn＝是解题的关键． 10. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 12. 如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，先根据证明，从而得，即可得直线的函数关系式为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 又，即， ， 在与中， ， ， ，， 又，， ，， ， ， 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得：， 直线的函数关系式为． 13. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板不重叠地拼成的动物图案，并将其中一部分涂色、有一只蚊子（大小可看作一个点）随机停留在图案上，则停留在涂色部分的概率是___． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的面积为“1”，再求出涂色部分的面积，最后用除法即可求出停留在涂色部分的概率． 【详解】解：设大正方形的面积为“1”， 涂色部分的面积为：， 则停留在涂色部分的概率是． 【点睛】掌握七巧板中七个图形之间的倍数关系． 14. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 15. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，延长交于点，可证，得到分别为的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直于的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∵，， ∴． 16. 如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】先根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，进一步求出后，即可求解． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质和角平分线定义，解题关键是正确进行角的和差转化． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 计算： （1）解二元一次方程组； （2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2）；解集在数轴上表示如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先去分母、去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为，即可得出答案； （3）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共解集即可得出答案． 【小问1详解】 解： 得，， 得，， 把代入①得，； ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得：． 解集在数轴上表示：略 【小问3详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 18. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．请说明的理由． 理由：如图2，延长交于点． （已知）， （______）． 又（______）， ______（等量代换）． （______）． ______（两直线平行，同旁内角互补）． 又______（已知）， （______）． （______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，同角的补角相等，掌握平行线的判定和性质是解题关键．延长交于点，根据平行线的性质和已知条件，得出，推出，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】理由：如图2，延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 19. 【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】如图，在中，， （1）请用尺规作边上的高，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为边上的高： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作图—作垂线，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作的垂线即可得解； （2）由勾股定理可得，再由等面积法计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 即， ． 20. 一次函数与的图象如图所示． （1）点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）当____________时，； （3）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）, （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）联立两个一次函数解析式求解交点坐标，再令求解点坐标； （2）通过交点坐标确定不等式的解集； （3）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由图形可知，当时，； 【小问3详解】 解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 21. 课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 【答案】小丽，证明见解析 【解析】 【详解】解：支持小丽的观点，证明如下： ∵，，， ∴ ∴． 22. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 【答案】（1）③ （2）或 【解析】 【分析】（1）分别将代入三个不等式并判断能否成立即可得解； （2）先解二元一次方程组，根据“梦想解”的定义将方程组的解代入不等式组求得得取值范围即可得到得整数解；利用加减消元法求出，再结合不等式组推出即可得解． 【小问1详解】 解：当时，①， 即不是不等式①的解，不符合题意； 当时，②， 即不是不等式②的解，不符合题意； 当时，③， 即是不等式③的解，符合题意． 【小问2详解】 解：， 得， ， 将代入得， ， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解不等式组得， 为整数， 或； 法二：由已知得，， 又， ， 解得， 为整数， 或． 23. 如图，于E，于F，若，平分； （1）求证：； （2）已知，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：平分，于E，于F， ， 在和中 ， ， （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用证明得出结论； （2）根据全等三角形的判定得出，得出，利用三角形面积公式得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ． 四边形的面积． 24. 根据如下素材，完成探索任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同． 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件 B：200元/件 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 任务一 求A、B充电器每件进价 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润 【答案】任务一：A种充电器每件的进价为20元，B种充电器每件的进价为80元；任务二：当购进800件A种充电器，200件B种充电器时，获利最大，最大利润为32000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：①找准等量关系，列出二元一次方程组一元一次不等式；②根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式． 任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】解：任务一：设、充电器每件进价分别为元、元， 由题意得：， 解得：． 答：、充电器每件进价分别为元、元； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $