精品解析：山东省烟台龙口市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题（五四制）

2024—2025学年第二学期期末阶段性测试 初二数学试题（120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 2. 若，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，∴，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下面的四个命题中，真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且仅有一条直线和已知直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】由对顶角的性质判断C，由平行线的性质和平行公理判断B、A、D． 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项A错误； 没有说明点在直线外，故选项B错误； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项C错误； 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角及平行线的性质、平行公理，掌握对顶角和平行线性质是解决本题的关键． 4. 2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等可能事件的概率公式求解． 本题考查概率的基本计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：总共有6部影片，每部影片被选中的可能性相等，其中《哪吒之魔童闹海》是1部，因此所求概率为成功事件数（1）除以总事件数（6），即． 故选：A． 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的垂直平分线交于点D，垂足为点E，得到，继而得到，根据平分，，再根据三角形内角和定理解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为点E，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，两个完全一样的含有的三角板按照图示摆好，，点B和重合在一起，和在同一条直线上，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 7. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 【答案】B 【解析】 【分析】设该自行车最多能打x折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车最多能打x折， 由题意得， 解得：，即最多可打7折． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得 故选D． 9. 如图，两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，小明同学得出了下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作于点，根据角平分线的性质定理可得，，易得，即可判断结论①；根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可判断结论②；根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可证明，即可判断结论④；首先证明，再根据三角形内角和定理可得，结合，即可得，即可判断结论③． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，且点在内部， ∴点在的平分线上，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵，， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∴， 即，故结论③错误． 综上所述，结论正确的是①②④，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 10. 已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有6个整数解，分别为， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单地概率公式计算即可． 本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种， 故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为． 故答案为：． 12. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为_________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键； 利用平行线的性质，推出，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有___． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④ 能判定的有①④ 故答案为：①④． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点与一元一次不等式的解集，数形结合是解题的关键；原不等式变形为，即直线在直线上方时，自变量的取值范围，这观察图象即可求解． 【详解】解：原不等式变形为， 由图象知，不等式的解集为：， ∴关于x的不等式的解集为； 故答案为：． 15. 在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】79 【解析】 【分析】根据题意设小长方形的长为x，宽为y，按照大长方形的长和宽的等量关系列出二元一次方程组进行求解，进而求解阴影部分的面积即可. 【详解】设小长方形的长为x，宽为y， ， 解得：， 则， 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际问题，准确掌握大小长方形长与宽的等量关系列式求解是解决本题的关键. 16. 在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点作，且，连接，，根据得到，即可得到，然后得到当M、P、C三点共线时，最小为，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点作，且，连接，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即当M、P、C三点共线时，最小为， 这时， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查了解二元一次方程组； （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【小问1详解】 解： 代入得：， 解得： 把代入①得： ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得： ③ 得： 把代入②得， 解得： ∴方程组的解为 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 19. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； （2）试估算盒子里白球有_____________个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】（1） （2）5 （3）①④ 【解析】 【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【小问1详解】 解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：个)， 故答案为：5； 【小问3详解】 ①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，且点B，C，F，E在一条直线上．求证：． 【答案】 证明∶根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理与网格图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定．根据勾股定理可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】略 21. 如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴点D到的距离为 22. 如图所示，于点F，于点M，，．求证：．（写出每一步的推理依据） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 利用垂直的定义，推出，结合，推出，再由推出，从而有． 【详解】证明：(已知)， (垂直定义)， (同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等)， (已知)， (等量代换)， (内错角相等，两直线平行)， (已知)， (内错角相等，两直线平行)， (平行于同一直线的两直线互相平行)． 23. 在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： （1）如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； （2）如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果） （3）如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】（1），见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题是考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形及三角形全等的性质与判定，熟练掌握相关知识点，添加恰当的辅助线是解题的关键； （1）延长交于点M．利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换即可； （2）延长相交于点N，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换求的长； （3）延长与相交于点G，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 如图1，延长交于点M． ， ， ， ， ， 平分， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 由得． 【小问2详解】 如图2，延长相交于点N， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， 平分， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：6． 【小问3详解】 ，理由如下： 如图3，延长与相交于点G， ， ， ， ， 又， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末阶段性测试 初二数学试题（120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 2. 若，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的四个命题中，真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且仅有一条直线和已知直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 4. 2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个完全一样的含有的三角板按照图示摆好，，点B和重合在一起，和在同一条直线上，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，小明同学得出了下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______． 12. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为_________． 13. 如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有___． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为_________． 15. 在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； （2）试估算盒子里白球有_____________个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，且点B，C，F，E在一条直线上．求证：． 21. 如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 22. 如图所示，于点F，于点M，，．求证：．（写出每一步的推理依据） 23. 在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： （1）如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； （2）如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果） （3）如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $