11.1.1 平面直角坐标系及点的坐标 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系及点的坐标，通过北斗卫星导航视频、电影院座位等生活情境导入，从数轴单数据定位过渡到平面双数据，搭建一维到二维的认知支架，帮助学生理解坐标系概念及图形面积计算。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“座位描述 - 坐标表示”培养数学眼光，用补形法求面积发展数学思维，中考题结合地方特色强化数学语言应用。学生能提升数形结合能力，教师可借助分层作业和情境案例优化教学。

在茫茫人海中或戈壁草原上迷路了怎么办？北斗卫星导航定位系统可以让我们比任何时候都看清楚前方的路该往哪儿走。中国北斗是我国自主研制的全球卫星导航系统，自1994年开始部署，先后完成了三代的建设，包括为中国境内提供定位服务的北斗一号卫星导航系统、为亚太地区提供定位服务的北斗二号可以导航系统，以及为全球提供定位服务的北斗三号卫星导航系统。2020年6月23日，北斗三号系统最后一颗卫星发射成功，正式完成。北斗三号包括5颗静止轨道卫星和25颗非静止轨道卫星，是真正意义上的全球卫星导航系统，具有超高精度的导航、定位、授时，通过天机系统与地基系统相结合，可以在定位对象时速高达80公里时，将定位误差控制在2厘米，使得对交通物流的控制力度大幅增加。野生动物跟踪、精准农业、抢险救灾、工程辅助等更是不在话下。北斗系统还可以用于微小形变的监测，通过差分算法一部分将成千上万次测量取平均值，将静态检测精度提高到了毫米级。桥梁、大坝、山体、河道的毫厘变形都能被精准的捕捉，稍有异动即可提前报警。此外，北斗还具有独特的短报文功能，通过天地双向通信，可以让身处远洋荒漠、深山、极地的人都可以向家中报平安，遇到险情也可以通过发短信。作为卫星导航领域的后起之秀，北斗还采用了最新的星间链路系统，让卫星之间连成一张大网，相互通信，实时共享位置并自动保持队形，从而减少了对地面站的依赖，覆盖范围和服务效率都大幅增加。北斗卫星导航系统的出现，丰富了世界卫星导航事业的发展。同时，目前北斗的综合性能优异，国内有70%以上的智能手机都在使用。再来来北斗将秉持开放的理念，与其他的导航系统展开全面的竞争与协作，在商业方面进一步开拓进取。 幻灯片 1：封面 标题：11.1.1 平面直角坐标系及点的坐标 副标题：建立数形联系，探索坐标奥秘 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：情境导入 问题情境：在电影院看电影时，如何快速找到自己的座位？（需要知道排数和号数）；在教室里，如何描述一个同学的位置？（需要知道行数和列数）。 引入概念：生活中常通过两个数据确定平面内物体的位置，数学中如何用类似的方法确定平面内点的位置呢？这就需要用到平面直角坐标系。 学习目标： 理解平面直角坐标系的概念及构成要素。 掌握平面内点的坐标的确定方法。 了解不同象限及坐标轴上点的坐标特征。 幻灯片 3：平面直角坐标系的概念 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 构成要素： 横轴（x 轴）：水平放置的数轴，通常取向右为正方向。 纵轴（y 轴）：竖直放置的数轴，通常取向上为正方向。 原点：x 轴与 y 轴的公共交点，记作 O（0，0）。 坐标系的建立： 画两条互相垂直的数轴，标明正方向。 确定原点，使两条数轴交于原点。 规定单位长度（两条数轴的单位长度通常相同）。 图示：展示平面直角坐标系的标准图形，标注 x 轴、y 轴、原点及正方向。 幻灯片 4：点的坐标的确定 坐标的定义：对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a、b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的坐标，记作 P（a，b）。 确定步骤： 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足对应的数即为横坐标 a。 过点 P 作 y 轴的垂线，垂足对应的数即为纵坐标 b。 用有序数对（a，b）表示点 P 的坐标，横坐标在前，纵坐标在后。 实例：在平面直角坐标系中，点 A 向 x 轴作垂线垂足为 3，向 y 轴作垂线垂足为 2，则点 A 的坐标为（3，2）；点 B 的坐标为（-1，4），表示过点 B 向 x 轴作垂线垂足为 - 1，向 y 轴作垂线垂足为 4。 注意事项：坐标是有序数对，横坐标和纵坐标的顺序不能颠倒，如（2，3）与（3，2）表示不同的点。 幻灯片 5：象限的划分 象限定义：平面直角坐标系中，x 轴与 y 轴将平面分成四个部分，每个部分叫做一个象限。 象限编号： 第一象限：x 轴正方向，y 轴正方向所围成的区域（右上角）。 第二象限：x 轴负方向，y 轴正方向所围成的区域（左上角）。 第三象限：x 轴负方向，y 轴负方向所围成的区域（左下角）。 第四象限：x 轴正方向，y 轴负方向所围成的区域（右下角）。 坐标轴与象限的关系：x 轴和 y 轴不属于任何象限。 图示：展示平面直角坐标系的象限划分，标注第一至第四象限的位置。 幻灯片 6：各象限及坐标轴上点的坐标特征 各象限内点的坐标特征： 第一象限：横坐标为正，纵坐标为正（+，+）。 第二象限：横坐标为负，纵坐标为正（-，+）。 第三象限：横坐标为负，纵坐标为负（-，-）。 第四象限：横坐标为正，纵坐标为负（+，-）。 坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点：纵坐标为 0，即（a，0）（a 为任意实数）。 y 轴上的点：横坐标为 0，即（0，b）（b 为任意实数）。 原点：横坐标和纵坐标都为 0，即（0，0）。 实例：点（2，5）在第一象限；点（-3，4）在第二象限；点（-1，-2）在第三象限；点（5，-3）在第四象限；点（4，0）在 x 轴上；点（0，-6）在 y 轴上。 幻灯片 7：坐标平面内的点与有序数对的对应关系 对应关系：平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的一对有序数对（坐标）与它对应；反过来，每一对有序数对都有唯一的一个点与它对应。即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。 几何意义：这种对应关系建立了 “数” 与 “形” 的联系，是数形结合思想的重要体现，为用代数方法研究几何问题奠定了基础。 实例：有序数对（-2，3）对应平面内第二象限的一个点；平面内 x 轴上的点（5，0）对应有序数对（5，0）。 幻灯片 8：典型例题解析（基础巩固） 例题 1：写出下图中平面直角坐标系内各点的坐标： 点 A：（2，3）；点 B：（-1，2）；点 C：（-3，-1）；点 D：（4，-2）；点 E：（0，5）；点 F：（-4，0）。 例题 2：指出下列各点所在的象限或坐标轴： （1）（3，-4）：第四象限；（2）（-2，5）：第二象限；（3）（0，3）：y 轴；（4）（-1，-2）：第三象限；（5）（5，0）：x 轴；（6）（0，0）：原点。 例题 3：若点 P（m，n）在第二象限，则 m______0，n______0（填 “>”“<” 或 “=”）。 答案：<；> 幻灯片 9：典型例题解析（能力提升） 例题 4：已知点 A（a + 1，3 - b）在第一象限，求 a、b 的取值范围。 解：因为点 A 在第一象限，所以横坐标 a + 1 > 0，纵坐标 3 - b > 0，解得 a > -1，b < 3。 例题 5：若点 M（x，y）满足 x = 0，则点 M 在______上；若 y = 0，则点 M 在______上；若 x = 0 且 y = 0，则点 M 是______。 答案：y 轴；x 轴；原点。 例题 6：已知点 P（m，2m - 1）在 x 轴上，求点 P 的坐标。 解：因为点 P 在 x 轴上，所以纵坐标为 0，即 2m - 1 = 0，解得 m = \(\frac{1}{2}\)，则横坐标 m = \(\frac{1}{2}\)，所以点 P 的坐标为（\(\frac{1}{2}\)，0）。 幻灯片 10：典型例题解析（实际应用） 例题 7：如图是某学校的平面示意图，以教学楼为原点建立平面直角坐标系，规定向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向，单位长度为 10 米。 （1）写出图书馆、操场的坐标。 （2）已知实验楼的坐标为（3，2），在图中标出实验楼的位置。 解：（1）图书馆的坐标为（-2，3），表示在教学楼西 20 米，北 30 米处；操场的坐标为（4，-1），表示在教学楼东 40 米，南 10 米处。（2）根据坐标（3，2）在图中对应位置标注实验楼。 例题 8：在平面直角坐标系中，点 A（2，3）向右平移 3 个单位长度后得到点 A'，求点 A' 的坐标。 解：向右平移时横坐标变化，纵坐标不变，平移后横坐标为 2 + 3 = 5，所以点 A' 的坐标为（5，3）。 幻灯片 11：常见错误分析与规避 错误类型 1：混淆点的横坐标和纵坐标的顺序，如将点（a，b）写成（b，a）。 规避方法：牢记坐标是 “先横后纵” 的有序数对，确定坐标时先找横坐标（x 轴上的垂足），再找纵坐标（y 轴上的垂足）。 错误类型 2：对各象限内点的坐标符号记忆错误，如认为第三象限的点坐标为（+，-）。 规避方法：结合象限划分图记忆符号特征，第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），可简记为 “右上正，左上负正，左下负负，右下正负”。 错误类型 3：误认为坐标轴上的点属于某一象限。 规避方法：明确 x 轴和 y 轴是象限的分界线，不属于任何象限，坐标轴上点的坐标特征是其中一个坐标为 0。 错误类型 4：确定坐标时单位长度理解错误，导致坐标数值错误。 规避方法：在有实际背景的问题中，注意单位长度的规定，计算坐标时结合单位长度换算，确保数值准确。 幻灯片 12：课堂总结与作业布置 课堂总结： 平面直角坐标系由 x 轴、y 轴和原点组成，用于确定平面内点的位置。 点的坐标是有序数对（a，b），横坐标在前，纵坐标在后，与平面内的点一一对应。 四个象限的坐标符号特征不同，坐标轴上的点有特殊的坐标特征（x 轴上 y=0，y 轴上 x=0）。 作业布置： 基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，写出指定点的坐标，判断点所在的象限或坐标轴。 提升作业：已知点的坐标特征（如在第二象限、在 y 轴上等），求字母的取值范围或点的坐标。 拓展作业：在方格纸上建立平面直角坐标系，标出自己家、学校、公园等地点的大致坐标，描述它们的位置关系。 11.1.1平面直角坐标系及点的坐标 第11章 平面直角坐标系 学习目标 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系；（重点） 2.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出顺次连接所得图形的面积.（难点） 情景导入 点击视频播放 北斗卫星导航定位系统 情景导入 小明父子俩周末去电影院看大片，他们买了两张票，座位号分别是 3 排 6 号和 6 排 3 号.怎样才能既快又准确地找到座位？ 探究新知 问题1：在数轴上，如何确定一个点的位置呢？ A 点记作 -2，B 点记作 3. 例如： 在数轴上一般用一个实数就可以表示一个点的位置. -1 0 1 2 3 4 -2 -3 A B . . 平面直角坐标系中点的坐标表示 1 探究新知 问题2：如图是某教室学生座位的平面图，你能描述小明和小红同学座位的位置吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 小明 小红 行 列 讲台 探究新知 （1）在电影票上“6 排 3 号”与“3 排 6 号”中的“6”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？ （2）如果将“6 排 3 号”简记作(6 ，3)，那么“3 排 6 号”如何表示？(5 ，6)表示什么含义？ (6 ，5)呢？ (3) 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？ 答:两个数据，排数和号数. 问题3：根据导入新课中的情景回答下列问题： 思考：怎样确定一个点在平面内的位置呢？ 探究新知 可以参照数轴上表示点的方法. 优化 探究新知 平面直角坐标系： 水平的数轴叫作 x 轴或横轴，取向右为正方向 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 xOy . 这个平面叫作坐标平面. 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 竖直的数轴叫作 y 轴或纵轴，取向上为正方向 两轴的交点 O 为原点 探究新知 x O 练一练：1.下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ） -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y x x y （A） 3 2 1 -1 -2 -3 x y （B） 3 2 1 -1 -2 0 -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 （C） O 3 2 1 -1 -2 -3 -3 -2 -1 1 2 3 y （D） O D 探究新知 规定把横坐标写在前，纵坐标写在后，记作：P(-2，3). (-2，3) 就叫作点 P 在平面直角坐标系中的坐标，简称点 P 的坐标，P 表示为 (-2，3). -4 -3 -2 -1 O1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 x y 思考：如图的点 P 如何表示呢？ 后由 P 点向 y 轴作垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 3，称为 P 点的纵坐标. N M P 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一对有序实数来表示了. 先由 P 点向 x 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，称为 P 点的横坐标； 探究新知 点 横坐标 纵坐标 坐标 A 4 2 (4，2) B 2 4 (2，2) C D E F 1. 把图中 C，D，E，F 各点对应的坐标填入下表： C E A B F D -3 -2 3 -3 (-3,-2) -3 ( 3, -3) 0 (-3, 0) 0 1 ( 0, 1) 操作 探究新知 C E A B F D 点 A 的坐标是(4，2)， 点 B 的坐标是(2，4). 可见，(4，2)与(2，4)表示的两个点是不同的. 表示平面上点的坐标是一个有序实数对. 归纳总结 探究新知 2. 在平面直角坐标系中，描出下列各点： A( 3， 4)，B ( 3，-2)，C(-1，-4)，D (-2， 2)，E( 2， 0)，F ( 0，-2). A(3，4) D(-2，2) E(2，0) F(0，-2) B(3，-2) C(-1，-4) 操作 探究新知 知识要点 通过建立平面直角坐标系，我们把平面内的点与有序实数对一一对应起来，即对于坐标平面内任意一点 P，都有唯一的一个有序实数对 ( x，y) 和它对应；反之，对于任意一个有序实数对 ( x，y) ，在坐标平面内都有唯一的点 P 和它对应. 一般地，如果平面直角坐标系内点 P 的横坐标为 x，纵坐标为 y ，我们就说有序实数对 ( x，y) 是点 P 在平面直角坐标系中的坐标，记作 P (x，y). 探究新知 画一画：你能在直角坐标系里描出点 A(-4，-5)，B(-2，0)， C(4，0)吗？并连线． A B C ● ● ● O x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 坐标平面内图形面积的计算 2 探究新知 问题：你能求出△ABC 的面积吗？ 解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D. 因为 A (-4，-5)， 所以 D (-4，0) . 由点的坐标可得 AD = 5 ，BC = 6， 所以 S△ABC = . D 探究新知 例1 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图形，并计算它们的面积. (1) A ( 5，1)，B ( 2， 1)，C (2，-3) (2) A (-1，2)，B (-2，-1)，C (2，-1)，D (3，2) 典例精析 探究新知 (2)得到一个平行四边形， 如图所示. 所以 S = 3×4 = 12. (1)得到一个直角三角形， 如图所示. 所以 S = ×3×4 = 6. 探究新知 例2 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积． 解析：本题宜用补形法． 分别过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA 即可求出△ABC 的面积． D E F 探究新知 解：如图，作辅助线. 因为 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)， 所以 BD＝3，CD＝1，CE＝3， AE＝1，AF＝2，BF＝4， 所以 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA ＝BD·DE－ DC·DB－ CE·AE－ AF·BF ＝12－1.5－1.5－4 ＝5. D E F 中考考法 名师点金 1.平面直角坐标系的三要素：（1）两条数轴；（2）互相垂 直；（3）公共原点. 2.平面直角坐标系中两条数轴的特征：（1）互相垂直；（2） 原点重合；（3）通常取向上、向右为正方向；（4）单位长 度一般取相同的，在有些实际问题中，两条数轴上的单位长 度可以不同. 中考考法 知识点1 平面内位置的确定 1. 黄山位于安徽省黄山市，古称黟山，唐朝 时更名为黄山，取自“黄帝之山”之意.黄山是世界自然和文化 双遗产，世界地质公园，中国十大风景名胜区之一.下列表述 确定黄山位置的是( ) D 返回 中考考法 返回 2. 如图是小唯关于古诗《望洞庭》的书法展示，如果 “湖” 的位置用有序实数对(2,3)表示，那么 “螺” 的位置可以表示为__________. 中考考法 知识点2 平面直角坐标系及点的坐标 3. 下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 返回 [2025 合肥包河区期中] 如图，已知正方形ABCD在平面直角坐标系中的三个顶点的位置如图，则点D的坐标为__________. 中考考法 [2024 枣庄] 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2. 反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是 “冰雹猜想”. 在平面直角坐标系xOy中，将点(x,y)中的x，y分别按照 “冰雹猜想” 同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数。例如，点(6,3)经过 1 次运算后得到点(3,10)，经过 2 次运算后得到点(10,5)，以此类推。则点(1,4)经过 2024 次运算后得到点__________. 课堂小结 在坐标平面内描点作图 坐标平面内图形面积的计算 平面直角坐标系 构成：原点、坐标轴 作业 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 下 课 Lavf61.7.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $