精品解析：浙江省绍兴市越城区2025-2026学年第二学期期末学业质量诊断卷 七年级 数学卷

越城区2025学年第二学期期末学业质量诊断卷七年级数学卷 温馨提示： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分100分，考试时间90分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 篆体，为古汉字的一种书体，又称篆书．下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. 梅 B. 兰 C. 竹 D. 菊 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．“梅”字左右两部分形状不同，不能通过平移得到，故本选项不符合题意； B．“兰”字上下结构，且上部左右两部分虽相似但整体无法通过平移一部分得到整个字，故本选项不符合题意； C．“竹”字左右两部分形状、大小完全相同，方向一致，能用其中一部分平移得到，故本选项符合题意； D．“菊”字上下结构，形状不同，不能通过平移得到，故本选项不符合题意． 2. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意； B、方程是二元一次方程，符合题意； C、方程中只含有一个未知数，故不是二元一次方程，不符合题意； D、方程中含有三个未知数，故不是二元一次方程，不符合题意； 3. 如图，与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容，比较简单．先确定基本图形中的截线与被截线，进而确定这两个角的位置关系即可． 【详解】解：根据图象，与是两直线被第三条直线所截得到的两角，且在被截直线的上方，在截线的同一侧，因而与是同位角， 故选：A． 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市中学生每周课外阅读时长的情况 D. 调查全班学生的视力情况 【答案】D 【解析】 【分析】全面调查适合调查范围小，不具有破坏性，容易完成的调查，抽样调查适合范围大或调查具有破坏性的情况，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项调查柑橘甜度具有破坏性，调查范围较大，适合抽样调查． B选项调查汽车抗撞能力具有破坏性，适合抽样调查． C选项调查某市中学生课外阅读时长，调查范围大，适合抽样调查． D选项调查全班学生视力，范围小，易操作，无破坏性，适合全面调查． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别利用合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：D． 6. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解； B．右边含分式，不是整式，不属于因式分解； C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． D．右边是和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解． 7. 如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分子，分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．本题考查了分式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵把分式中的x，y都扩大为原来的3倍， ∴， 则此分式的值是原来的， 故选：C． 【点睛】 8. 晚托期间，某校七（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多2人；后来，篮球组有2人改报了羽毛球组，同时羽毛球组有4人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的2倍少7人．设起初报名篮球组的人数为人，报名羽毛球组的人数为人，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到正确方程组． 【详解】解：设起初报名篮球组的人数为人，报名羽毛球组的人数为人． ∵ 起初篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多2人 ∴ 第一个方程为 分析人数变动：篮球组有2人改出，4人改入，因此变动后篮球组人数为；羽毛球组有4人改出，2人改入，因此变动后羽毛球组人数为． ∵ 此时篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的2倍少7人 ∴ 第二个方程为 因此所求方程组为． 9. 一副三角板按图1的形式摆放，其中两个直角顶点重合在点处，，，．如图2，把含角的三角板固定，含角的三角板绕直角顶点旋转．在旋转过程中，越越发现：与一定互补；兴兴发现：当时，边一定与三角板的一边平行．请对这两位同学的发现作出评判（ ） A. 越越的说法错误，兴兴的说法正确 B. 越越的说法正确，兴兴的说法错误 C. 越越、兴兴的说法都正确 D. 越越、兴兴的说法都错误 【答案】B 【解析】 【详解】设， ， ，， ， 越越的说法正确， 如下图，设，则， 解得：， ， 作为的角平分线， ， ， ， 与相交， 不平行， ， 不平行， 边与三角板的边都不平行． 兴兴的说法错误， 越越的说法正确，兴兴的说法错误． 10. 如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ） A. 长方形 B. 长方形 C. 长方形 D. 长方形 【答案】A 【解析】 【分析】设大长方形的长和宽分别为，利用割补法表示出阴影部分面积，再结合选项中长方形的面积公式进行比对即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由图知：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵已知， ∴要得到阴影部分的面积，还需知道． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使分式有意义，则分母不为零，即 解得． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 13. 若一组数据的样本容量为60，把它分成四组，前三组数据的频数分别是8，25，12，则第四组数据的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第四组数据的频数，再根据频率频数样本容量计算即可． 【详解】解：由题意得：第四组数据的频数为 ． 第四组数据的频率为 ． 14. 如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结．若，则阴影部分的周长为______． 【答案】 24 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对阴影部分的周长进行等量代换即可得到结论． 【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处， ， ， 线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，  点的对应点为点，点的对应点为点，  ，，  阴影部分的周长为． 15. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分式方程无解分两种情况：去分母后得到的整式方程本身无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得． 当，即时，方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解； 当时，整式方程有解，若原分式方程无解，则整式方程的解是原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足分母，即， 把代入，得， 解得； 因此的值为或． 16. 已知，，且（，），则以下结论：①；②；③；④或．其中正确的为______（填入正确的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先将已知等式转化为以为底的幂的形式，利用幂的乘方法则求出和的值，再逐个验证四个结论的正确性，结合的条件判断的符号，舍去不符合题意的结果． 【详解】解：将已知等式化为以为底的幂： 由，得 根据幂的乘方法则，得 因此，解得，故①正确． 由，，得 ， 因此． 验证②：，代入，，得 ，故②正确． 验证③：，代入得 ，故③正确． 验证④： 因为，所以，又， 所以，因此 由， 得 因此，不符合结论，故④错误． 正确的结论为①②③． 三、解答题（本大题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验即可． 【小问1详解】 ， 由得：， 将代入中得：， 解得：， 原方程组的解为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为：． 19. 先化简代数式，再选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一，不能取） 【解析】 【详解】解：原式    ， 要使原代数式有意义，则，，， 取，代入得原式． 20. 为落实“阳光体育”一小时活动，促进学生体质健康，某校数学兴趣小组在全校范围内随机抽查部分学生，对最喜爱的一项体育运动（每人只选一项）进行了问卷调查．该小组将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列各题． （1） ，这次共抽取了 名学生进行调查； （2）补全条形统计图； （3）根据统计结果，若该校有200名学生选择类，请估计该校选择类学生人数． 【答案】（1）10；50 （2）补全条形统计图如图： （3）估计该校选择类学生人数约为140人． 【解析】 【分析】（1）计算可求得，根据即可求得这次共抽取了50名学生进行调查； （2）分别求得类和类学生数，即可补全条形统计图； （3）根据该校有200名学生选择类，占比为，可求得全校总人数，再计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， （人）， ∴这次共抽取了50名学生进行调查； 【小问2详解】 解：类学生数，（人）， 类学生数，（人）， 补全条形统计图：略 【小问3详解】 解：该校有200名学生选择类，占比为， 总人数（人）， 类占比为， （人）， 估计该校选择类学生人数约为140人． 21. 如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，平分，于点，求的度数． 【答案】（1），详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，进而可得，可证明，即可得出结果； （2）根据平分可得出，根据得出，即可求出的度数． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵.平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能够得出是解本题的关键． 22. 绍兴黄酒历史悠久，明清时期经浙东运河转运至沿海港口，进而依托海上丝绸之路远销南洋（东南亚）与日本．越越家在鲁迅故里景区内开设了一家绍兴黄酒专卖店，一天在店里发现进货单上的一个信息是：款黄酒每坛的进货单价比款黄酒每坛的进货单价多30元，花900元购进款黄酒的数量与花720元购进款黄酒的数量相同． （1）问，款黄酒每坛的进货单价分别是多少元？ （2）若越越家计划用2100元购进，两款黄酒若干坛销售，要求每款黄酒至少购进1坛且刚好用完2100元，则有哪几种进货方案？ 【答案】（1）A款黄酒每坛进货单价为150元，B款黄酒每坛进货单价为120元． （2）共有3种进货方案，分别为：方案1：购进A款黄酒2坛，B款黄酒15坛；方案2：购进A款黄酒6坛，B款黄酒10坛；方案3：购进A款黄酒10坛，B款黄酒5坛． 【解析】 【分析】（1）根据“花900元购进A款黄酒的数量与花720元购进B款黄酒的数量相同”这一等量关系，设未知数后列分式方程求解，检验后得到单价． （2）根据刚好用完2100元列出二元一次方程，结合两款都至少购进1坛、坛数为正整数的条件，求出所有符合要求的正整数解，即可得到所有进货方案． 【小问1详解】 解：设B款黄酒每坛进货单价为元，则A款黄酒每坛进货单价为元． 根据题意，得 ， ， ，  解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则，   答：A款黄酒每坛进货单价为150元，B款黄酒每坛进货单价为120元． 【小问2详解】 解：设购进A款黄酒坛，购进B款黄酒坛，均为正整数． 根据题意，得，  化简得，   变形得，  ，，且为正整数，和4互质， 是4的倍数， ∴或或， 解得，，， 因此共有3种进货方案：方案1：购进A款黄酒2坛，B款黄酒15坛；方案2：购进A款黄酒6坛，B款黄酒10坛；方案3：购进A款黄酒10坛，B款黄酒5坛． 23. 【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． （1）【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． （2）利用上面的规律计算：． （3）【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 【答案】（1）10；256 （2） （3）星期三． 【解析】 【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）由，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴展开式中的系数是10； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 根据规律可得展开式中所有项的系数和为； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵（a，b，c等为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期二，往后推1天就是星期三． 24. 综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，越越在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． （1）【问题解决】如图1，四边形纸片中，，点，分别在边，上，先将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为点，，交于点，若，则 度． （2）【初步探究】如图2，将纸片再沿折叠，记点，的对应点分别为点，，记，，求与满足的关系式． （3）【深入探究】如图3，在第（2）题的基础上，点在边上，点是边上的一个动点，将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为，，记．若直线与直线平行，请直接写出与满足的关系式． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合平行线的性质求解即可； （2）由折叠的性质结合平行线的性质求得，根据，列式计算即可求解； （3）由折叠的性质知，，求得，由平行线的性质得到，结合（2）的结论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质知， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由折叠的性质知， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∴， 由折叠的性质知， ∵，， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∵直线与直线平行， ∴，即， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 越城区2025学年第二学期期末学业质量诊断卷七年级数学卷 温馨提示： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分100分，考试时间90分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 篆体，为古汉字的一种书体，又称篆书．下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. 梅 B. 兰 C. 竹 D. 菊 2. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市中学生每周课外阅读时长的情况 D. 调查全班学生的视力情况 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的 D. 是原来的 8. 晚托期间，某校七（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多2人；后来，篮球组有2人改报了羽毛球组，同时羽毛球组有4人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的2倍少7人．设起初报名篮球组的人数为人，报名羽毛球组的人数为人，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一副三角板按图1的形式摆放，其中两个直角顶点重合在点处，，，．如图2，把含角的三角板固定，含角的三角板绕直角顶点旋转．在旋转过程中，越越发现：与一定互补；兴兴发现：当时，边一定与三角板的一边平行．请对这两位同学的发现作出评判（ ） A. 越越的说法错误，兴兴的说法正确 B. 越越的说法正确，兴兴的说法错误 C. 越越、兴兴的说法都正确 D. 越越、兴兴的说法都错误 10. 如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ） A. 长方形 B. 长方形 C. 长方形 D. 长方形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 12. 因式分解：______． 13. 若一组数据的样本容量为60，把它分成四组，前三组数据的频数分别是8，25，12，则第四组数据的频率是______． 14. 如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结．若，则阴影部分的周长为______． 15. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 16. 已知，，且（，），则以下结论：①；②；③；④或．其中正确的为______（填入正确的序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 19. 先化简代数式，再选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 20. 为落实“阳光体育”一小时活动，促进学生体质健康，某校数学兴趣小组在全校范围内随机抽查部分学生，对最喜爱的一项体育运动（每人只选一项）进行了问卷调查．该小组将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列各题． （1） ，这次共抽取了 名学生进行调查； （2）补全条形统计图； （3）根据统计结果，若该校有200名学生选择类，请估计该校选择类学生人数． 21. 如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，平分，于点，求的度数． 22. 绍兴黄酒历史悠久，明清时期经浙东运河转运至沿海港口，进而依托海上丝绸之路远销南洋（东南亚）与日本．越越家在鲁迅故里景区内开设了一家绍兴黄酒专卖店，一天在店里发现进货单上的一个信息是：款黄酒每坛的进货单价比款黄酒每坛的进货单价多30元，花900元购进款黄酒的数量与花720元购进款黄酒的数量相同． （1）问，款黄酒每坛的进货单价分别是多少元？ （2）若越越家计划用2100元购进，两款黄酒若干坛销售，要求每款黄酒至少购进1坛且刚好用完2100元，则有哪几种进货方案？ 23. 【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． （1）【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． （2）利用上面的规律计算：． （3）【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 24. 综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，越越在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． （1）【问题解决】如图1，四边形纸片中，，点，分别在边，上，先将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为点，，交于点，若，则 度． （2）【初步探究】如图2，将纸片再沿折叠，记点，的对应点分别为点，，记，，求与满足的关系式． （3）【深入探究】如图3，在第（2）题的基础上，点在边上，点是边上的一个动点，将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为，，记．若直线与直线平行，请直接写出与满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $