1.3全等三角形的判定 专题训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形判定全方法，以题型为载体构建“基础判定-综合应用-拓展创新”三阶训练体系，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定方法|SAS/ASA/AAS/SSS/HL各4题|基础证明与实际应用（如测量距离）|从单一条件判定到多方法辨析，构建判定定理逻辑链| |综合应用|灵活选用/二次证明各4题|多方法选择与多步推理（如动态问题）|衔接判定方法与性质应用，培养逻辑推理能力| |拓展创新|动态问题/辅助线构造各4题|动态几何与构造全等（如含角平分线辅助线）|延伸至空间观念与创新意识，对接中考命题趋势|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形专题训练~1.3全等三角形的判定 【题型1 11 “边角边”(SAS) 证明三角形全等】 1.如图，在 △ABC 中， ∠B=∠C，BC=3 .将 △ABC 从点D处沿虚线剪开，若 BE=1，CF=2， 当线段BD 的长度为时，剪下的两个三角形全等. A F E 2 1 B C D 2.如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部 内径 CD 的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有 △ABO≅△DCO， ，因此量 出的4，B两点之间的距离即为 CD 的长，其中判定三角形全等的依据是() A B D 图1 图2 A.AS A B.SS C.SAS D.A AS BF=CE，∠B=∠E，AB=DE. △ABC≅△DEF. 3.如图， BF=CE， LB=∠E， AB=DE.求证； A ABCs DEF. D B F C E A、 AE=DF，AB=CD，AE∥DF. 4.如图， 点4、B、C、D在同一条直线上， AE=DF， AB=CD， A EDF.求证： △AEC≅△DFB. 试卷第1页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 A E B C F D 【题型2 “角边角”(AS A) 证明三角形全等) 5.如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃， 借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是. (填序号) ② ① ③ 6.如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C， 连接 AC并延长到 D， ，使 CD=CA； 连接 BC 并延长到E，使 CE=CB， ，连接DE并测量出 它的长度，DE的长度就是4，B间的距离.那么判定 △ABC 和△DEC 全等的依据是() A E C B D A.SSS B.SAS C.AS A D.A AS S 7.如图，已知 △ABC 和 △ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD 与 BC 交于 点P，点C在 DE 上. A E P B C D (1)求证： △ABC≅△ADE. (2)若 $$\angle B = 3 0 ^ { \circ } ， \angle A P C = 7 0 ^ { \circ } ，$$ 求 ∠BCD 的度数. 8.如图，要测量池塘两岸 M，N 两点间的距离，可以在直线 MN 上取4，B两点，再在池 试卷第2页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 塘外取AB的垂线 BF 上的两点C，D，使 BC=CD， ，过点D再画出 BF 的垂线 DE， ，使点E 与A，C在一条直线上，若此时测得 DE=15m，AM=0.5m，BN=1.5m， ，则池塘两岸 M，N两点间的距离为 m. A M D B C F E 【题型3 “角角边”(A AS) 证明三角形全等】 9.如图， AE∥BF，∠E=∠F，AD=BC. .求证： △ACE≅△BDF. E D A B C F 10.如图，已知：点E、C分别在线段 AB、AD 上， AE=AC，∠B=∠D. A E C B D (1)求证： △ADE≅△ABC； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：并给出证明 11.如图，已知 AE=CF，AD∥BC，∠D=∠B， ，求证： BE=DF. 试卷第3页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 A D E F B C 12.如图，以 △ABC 的顶点4为圆心，以 BC 长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点 连结 AD，CD. 由作法可得： △ABC≅△CDA 的根据是 () A D B C A.SSS B.SAS C.AS A D.A AS 【题型4 “边边边”(Ss)证明三角形全等】 13.已知，如图， AB=DE，AC=DF，BE=CF， A D B E C C F 求证： ∠A=∠D. 14.如图， AB=DF，AC=DE，BE=FC. A D B F E C (1)证明 △ABC≅△DFE. (2)若 EF=5，BE=3， ，求 EC. 15.油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结 构蕴含着丰富的几何智慧.如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知 试卷第4页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 AM=AN，DM=DN ，则 △ADM≅△ADN 的依据是() D B C M N A A.SAS B.AS A C.A AS D.SSS 16.如图，D是 BC 上一点， AB=AD，BC=DE，AC=AE. 求证： △ABC≅△ADE. E F B C D 【题型5三角形的稳定性】 17.如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构 成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形，这两个三角形可以使 射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是. 18.北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处.这座 宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是(). A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 试卷第5页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性 19.(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条： (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条： (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条 (4)n(n≥4) 边形不具有稳定性，要使 n 边形木架不变形，至少要再钉上根木 条. 20.小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加 固方案(). A. B. C. D. 【题型6斜边、直角边定理(HL)证明三角形全等】 21.如图，在四边形 ABCD 中， AB⊥AC，CD⊥AC， ，要根据 HL 证明 △ABC≅△CDA， ，则需 要添加的条件是() A D B C A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 22.如图，在 △ABE 与 △CBD 中， AE⊥BD 于点 E，AB=BC，BE=CD. 若 CD∥AE， ，求证： AE=BD. 试卷第6页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 C D E A B 23.如图， ∠A，∠D 为直角， AC 与 DB 相交于点E，BE与 EC 相等，请在图中找出两对 全等三角形. A D E B C 24.学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种 作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下 作图和填空： A E B 第一步：构造角平分线 小红在 ∠AOB 的边 OA 上任取一点E，并过点E作了 OA 的垂线(如图).请你利用尺规作 图，在 OB 边上截取 OF=OE， ，过点F作 OB 的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线 OP，OP 即为 ∠AOB 的平分线(不写作法，保留作图痕迹). 第二步：利用三角形全等证明她的猜想. 证明： ∵PE⊥OA，PF⊥OB， $$\therefore \angle O E P = \angle O F P = 9 0 ^ { \circ }$$ . Rt△OEP 在Rt△OEP和Rts OF P中， $$R t _ { \triangle O F P }$$ $$\frac { \textcircled 1 } { \textcircled { 2 } }$$ ① ， ∴Rt△OEP≅Rt△OFP(HL) ③ . 试卷第7页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 ∴OP 平分 ∠AOB 【题型7灵活选用方法证明三角形全等】 25.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电 话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为 △ABC， ，提供了下列各组 元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是() A.AB，BC，CA B.AB，BC，∠B C.AB，AC，∠B D.∠A，∠B，BC 26.如图，点A、E、F、C在同一直线上， BF⊥AC 于点 F，DE⊥AC 于点 E， ，连结 BD， 交 EF 于点 O， 且 O 为 EF 的中点，若 AE=CF， ，则下列结论： ①△EOD≅△FOB；② AO=CO；③AB=CD；④∠ABD=∠ACD， 其中正确的是(填序号). B F F A C E D 27.如图，已知 △ABC 各内角的度数和各边的长度.下面是同学们用不同的方法画出的三 角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与 △ABC 全等的是() A $$7 0 ^ { \circ }$$ c b 0° B $$\frac { 6 0 ^ { \circ } } { a }$$ $$5 0 ^ { \circ }$$ ^{∘}C a 试卷第8页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A 60° 50 6 50° a 70 D 60° 50 28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在CA的延长线上，BE⊥DF于点E, AB=DF,BC平分∠ABE· (I)求证：AC=CF: (②)若是BC 的中点， OA=OF SBOF=5 求4ABC 面积. 【题型8二次证明三角形全等】 29.如图，在四边形ACBD中，E是对角线AB上一点，AC=AD,BC=BD,求证： CE=DE 30.如图，D是△ABC的边BC的中点，E是AD边上一点，EB=EC,∠ABE=∠ACE, 试说明：∠BAE=∠CAE」 下面是小刘的解答过程： 试卷第9页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 EB=EC ∠ABE=∠ACE 解：在 和 中， ABE△ACE AE=AE 所以△ABE≌△ACE,所以∠BAE=∠CAE. 你能找出小刘的解法错在哪里吗？请改正过来. 31.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC>AD,∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 32.在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形 的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时， 在OW上截取OB=OA,连接BC,根据三角形全等判定(SAS),容易构造出全等三角形△ OBC和△OAC,参考上面的方法，解答下列问题，如图2，在非等边△ABC中，∠B=60°， AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE交于点F M y P 图1 图2 (1)求∠AFC的度数： (2)求证：ACAE+CD 试卷第10页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 第二课时 【题型1数全等三角形的对数】 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F为垂足， 则图中的全等三角形共有() A.2对 B.3对 C.4对 D.1对 2.如图，AC=AD,BC=BD,则图中全等的三角形共有() D A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 3.如图，已知OA=OB,OC=OD,AD和BC相交于点E,则图中共有全等三角形的对数 () D A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 4.如图1，己知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上一点，连接BD、CD;如图2，己知 AB=AC,D、E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE:如图3，己知 试卷第11页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 AB=AC,D、E、F为LBAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、 C℉；，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是() B 图1 图2 图3 n(n-1) n(n+1) A.2n-1 B.3(n+1) C.2 D 2 【题型2全等三角形的动态问题】 5.如图，在△ABC中，AB=BC=AC=16,点M从点A出发，沿折线A→B→C→A以 每秒4个单位长度的速度向终点A运动.点N从点B出发，沿折线B→C→A以每秒2个 单位长度的速度运动.M,N两点同时出发，点M停止时，点N也随之停止。设点M运动 的时间为t秒.当∠BMN=9O°时，t的值为() A.3.2 B.10 C.3.2或6 D.3.2或10 6.如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O,OB=AC=7,点F在射线BC上，且 CF=AO,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时 动点O从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为() 试卷第12页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 A E C B D $$A . \frac { 7 } { 4 }$$ $$B . \frac { 7 } { 6 }$$ $$C . \frac { 7 } { 4 }$$ $$\frac { 7 } { 4 } \pi$$ $$D . \frac { 7 } { 4 }$$ $$\frac { 7 } { 4 } 或$$ 7.如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A C = 6 ， B C = 8 ， P 、 Q$$ 是两个动点，点P从点 4出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 A-C-B 的路线向终点 运动，同时点Q从点 B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 B-C-A 的路线向终点4运动，点P和点Ω都 运动到各自的终点时停止，设运动时间为t(秒)，直线经过点C，且 l∥AB， 过点P，Q 分别作直线的垂线，垂足为 E，F， 当 △CPE与△QQF 全等时，t的值不可能是() B C A A.2 B.2.8 C.3 D.6 8.如图，在 Rt△ABC 中， AC=6，BC=8，AB=10. .点P从点4出发，以每秒2个单位 长度的速度沿折线 A-C-B 向终点B运动，同时点Ω从点B出发，以每秒3个单位长度的 速度沿折线 B-C-A 向终点4运动，点P，Ω都运动到各自的终点时停止.设运动时间为 (秒).直线经过点 C，且l∥AB， 过点P、Q分别作直线 l 的垂线段，垂足为 E，F， 当 s CPE △CPE.△CQF 与 全等时，t的值可能是() 试卷第13页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 B c A A.2 B.3 C.4 D.6 【题型3利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 9.题目：“如图，直线 AM⊥AN，AB 平分 ∠MAN， ，过点B作 BC⊥BA 交 AN 于点C， 且 BC=AB. 动点E从点A出发，沿射线AN运动，作 BD⊥BE， 交直线AM于点D.关 于BD和 BE 的关系，下列说法正确的是() M B D A E C N A.点 E 只有在线段4C上运动时， B BD和 BE才相等 B.点E只有在线段 AC 的延长线上时，BD和BE才相等 C.点E在运动过程中， BD 和 BE 一直相等 D.无法判断 10.如图，点 E、H、G、N 共线， ∠E=∠N，EF=NM， 添加一个条件，不能判断 △EFG≅△MMH 的是() E H M F N A.EH=NG B.∠F=∠M C.FG=MH D.FG∥HM 11.如图1，等腰直角 △ABC 中， $$A C = B C ， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点D是射线AB上的一动点， △DCE E $$\angle D C E = 9 0 ^ { \circ } ， C D = C E$$ BE 是等腰直角三角形， ，连接 试卷第14页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 E E C C A D B A B D 图 图 图2 (1)如图2，点D是AB的延长线上的一点，猜想 AD、BE 的关系，并证明你的结论； (2)探究 AB，BE，BD 的数量关系，直接写出你的结论. 12.问题背景如图 1，△ABC 是等边三角形，点 D 为 BC 边上的一动点(点D不与 C重 合)，以AD为边在AD 右侧作等边 △ADE， 连接CE直接写出线段BD与 CE 的数量关系是 ， ∠DCE= 。 E A A E E A B D C B D C B C D 图1 图2 图3 尝试应用如图2，在 △ABC 中， $$\angle B A C = 9 0 ^ { \circ } ， A C = A B ，$$ 点 D 为 BC 上的一动点(点D不与 B，C重合)，以AD为边作等腰直角三角形 $$A D E ， \angle D A E = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，连接CE ^{∘} 请求解下列 问题并说明理由： ①∠DCE 的度数； ②线段 BD，CD，DE 之间的数量关系； 拓展创新如图3，在(2)的条件下，若D点在 BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰直 角 $$\triangle A D E ， \angle D A E = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，连接 CE ，BE，若 BE=10，BC=6， ，请直接写出 DE 的值为 . 【题型4利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 13.已知 △ABC 和 △ADE 都是等腰三角形，且 AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC. 试卷第15页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 A A A D A D. D E D. E E M E B C B C B C B C 图 ① 图 图② 图③ 图④ (1)[初步感知]特殊情形：如图① ，当点D、E分别落在边 AB、AC 上时，那么 DB EC. (填<、>或=) (2)[发现证明]如图②，将图①中的 △ADE 绕点4旋转，当点D在 △ABC 外部，点 E 在 △ABC 内部时，求证： DB=EC； (3)[深入研究]如图④，如果 △ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， $$\angle B A C = \angle D A E = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 点C、D、E在同一直线上， AM为 △ADE 中 DE 边上的高，则 ∠CDB 的度数为，线段 AM，BD，CD 之间的数量关系为. 14.如图，点E，F分别在四边形 ABCD 的边 AB，CD 的延长线上，连接 EF 分别交AD， BC G $$G \quad H \quad \quad B B \parallel C D \quad A E = C F \quad E H = F G$$ FG 于点 D C F G H B E (1)△AEG 与 △CFH 全等吗?为什么? (2)判断线段AD与 BC 的位置关系，并说明理由. 15.如图，在 △ABC 中， $$A B = A C ， \angle B A C = \alpha \left( 0 ^ { \circ } < \alpha < 9 0 ^ { \circ } \right) ， D$$ 为射线 BC 上一动点 (不与点 B、C重合)，在AD的右侧作 △ADE， 使得 AE=AD，∠DAE=∠BAC， ，连接 CE. A A A E B D D C B C B C 备用图 备用图 试卷第16页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 (1) 若 $$\angle A B C = 4 5 ^ { \circ } ，$$ 则 ∠ADE= (2)当点D在线段 BC 上时，求证： △BAD≅△CAE； (3)若点D运动到线段 BC 上某一点时，恰好有 AB=CD+CE， ，问：线段CE与线段AB有什 么位置关系并说明理由； (4)在点D的运动过程中，当 DE 垂直于 △ABC 的某边时，则 ∠DEC= (用含 的代 数式表示). 16.在 Rt△ABC 中， $$B C = A C ， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， D$$ 为射线AB上一点，连接 CD， ，过点C作 线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点 C 的两侧截取与线段 CD 相等的线段 CE 和 CF， 连接 AE，BF. (1)当点 -1 D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图23(a). ①请你将图形补充完整； ②线段BF，AD所在直线的位置关系为，线段 BF， ，AD的数量关系为. (2)当点D在线段 AB 的延长线上时，如图(b) 在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由. F/ E C A D B D B (a) E (b) 【题型5结合尺规作图的全等问题】 17.如图，已知 △ABC 是锐角三角形 (AC<AB) 试卷第17页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (图1) (图2) (1)①请在图1中用圆规和无刻度的直尺作出点O,使O到△ABC三边距离相等；（不写作 法，保留作图痕迹) ②在①的条件下，若AB=15,AC=13,BC=14,则△ABC中BC边上的高=， 到△ABC三边距离= (2)在△ABC中，若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PB≤PA,请在图2中用圆规和 无刻度的直尺作出所有符合条件的点P组成的区域（用阴影表示），（不写作法，保留作 图痕迹) 18.在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC,使∠B=90°，它的两条边分 别等于两条已知线段.小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程 分别如图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是 M 小刘同学 小赵同学 19.在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片，然后要求同学们画 个RtaA'B'C',使得Rt△A'B'C'≌R△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MB'N=90°之后， 后续画图的主要过程分别如图所示. N12 C B M B M B M B 第一步 第二步 第一步 第二步 图1 小赵同学 小刘同学 试卷第18页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 对这两种画法的描述中正确的是() A.小赵同学作图判定R1△AB'C'≌Rt△ABC的依据是HL B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长 C.小刘同学作图判定RIA'B'C'≌RIAABC的依据是ASA D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 20.(1)如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD 上求作一点P,使得△ABC≌△APC,请保留清晰的作图痕迹. (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角 平分线，CF与BE相交于点O,请探究线段BC、BF、CE之间的关系，请证明你的结论， M B B 图1 图2 【题型6构造全等三角形的常规辅助线】 21.如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，则∠a+∠B=度. 22.如图，在五边形ABCDE中， B C FD C F D (I)已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,F是CD中点，求证：AF⊥CD (2)记知AB=AE,BC=ED,∠C=∠D,F是CD中点，求证：AF⊥CD 试卷第19页，共63页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (3)已知∠B=∠E,BC=ED,∠C=∠D,F是CD中点，求证：AF⊥CD. 23.如图，AB=AE,BC=ED,AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E B C FD 24.如图，已知：AB=AC,BD=CD,∠A=60°，∠D=140°，则∠B=() D B C A.50 B.40° C.40°或70° D.30 试卷第20页，共62页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形专题训练~1.3全等三角形的判定 · 第一课时 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 1．如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 2．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 3．如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 4．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】先根据线段和差关系证明，再根据平行线的性质证明，最后根据证明全等即可． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ， ． 【题型2   “角边角”（ASA）证明三角形全等】 5．如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是________．（填序号） 【答案】③ 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】显然第③中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题数学化石正确解答本题的关键． 6．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 7．如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为________m． 【答案】13 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， , , ． 故答案为：13． 【题型3   “角角边”（AAS）证明三角形全等】 9．如图，，，．求证：． 【答案】证明；， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质可得，再由，可得，即可求证． 【详解】略 10．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，已知，求证：． 【答案】证明：， ，即； ， ； 在和中， ； ． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】证明：略 12．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 【题型4   “边边边”（SSS）证明三角形全等】 13．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【知识点】全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 14．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【知识点】全等三角形的性质、用SSS间接证明三角形全等（SSS）、线段的和与差 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【详解】解：∵，， ∴． 16．如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 【题型5   三角形的稳定性】 17．如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 【答案】 三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 18．北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 19．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 20．小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 【题型6   斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 21．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 22．如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、用HL证全等（HL） 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 23．如图，，为直角，与相交于点，与相等，请在图中找出两对全等三角形． 【答案】，． 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据，，得出；利用得出，进一步利用“”得出． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 24．学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步： 作图如下： AI； 第二步：①；②；③ 【知识点】用HL证全等（HL）、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】略 【题型7   灵活选用方法证明三角形全等】 25．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 26．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、线段的和与差、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 27．如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 28．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【题型8   二次证明三角形全等】 29．如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 30．如图，D是的边的中点，E是边上一点，，，试说明：． 下面是小刘的解答过程： 解：在和中，， 所以，所以． 你能找出小刘的解法错在哪里吗？请改正过来． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定方法是解答案本题的关键．根据全等三角形的判定方法进行分析即可解答此题，全等三角形的判定方法有：． 【详解】解：小刘错在利用“”证明和全等，这种做法不存在． 正确的解答过程如下： D是的中点， ． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 31．如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 32．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构造出全等三角形OBC和OAC，参考上面的方法，解答下列问题，如图2，在非等边ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE交于点F． （1）求∠AFC的度数； （2）求证：AC=AE+CD． 【答案】（1）120°；（2）见详解. 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据题意在AC上截取AG=AE，连接FG，进而根据角平分线的性质和三角形内角和180°进行分析计算即可； （2）由题意在（1）基础上根据平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等，进而根据全等三角形对应边相等可得FG=FD，从而得证． 【详解】解：（1）如图，在AC上截取AG=AE，连接FG． ∵AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线， ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵∠B=60° ∴∠BAC+∠ACB=120°， ∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=60°， ∴∠AFC=180°-60°=120°； （2）∵∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°， ∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°， ∴∠CFD=∠CFG， 在△CFG和△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（ASA）， ∴CG=CD， ∴AC=AG+CG=AE+CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，根据所求角度正好等于60°得到角相等是解题的关键． · 第二课时 【题型1 数全等三角形的对数】 1．如图，在四边形中，，，，，为垂足，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．1对 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 全等三角形共有对， 故选：B． 2．如图，，则图中全等的三角形共有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】先利用证明，得到，进而证明，，，即可得到答案． 【详解】解；在和中， ， ∴， ∴， 又∵ ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴一共有6对全等三角形， 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 3．如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】由条件可证△AOD≌△BOC，可得∠A=∠B，则可证明△ACE≌△BDE，可得AE=BE，则可证明△AOE≌△BOE，可得∠COE=∠DOE，可证△COE≌△DOE，可求得答案． 【详解】解： 在△AOD和△BOC中 ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠A=∠B， ∵OC=OD，OA=OB， ∴AC=BD， 在△ACE和△BDE中 ∴△ACE≌△BDE（AAS）， ∴AE=BE， 在△AOE和△BOE中 ∴△AOE≌△BOE（SAS）， ∴∠COE=∠DOE， 在△COE和△DOE中 ∴△COE≌△DOE（SAS）， 故全等的三角形有4对， 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 4．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 【题型2   全等三角形的动态问题】 5．如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（    ） A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题 【分析】先可求出各节点的时间，由得出是等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出．分三种情况：当时，当时，当时，分别进行求解． 【详解】解：根据题意可得（秒），（秒），（秒），（秒），（秒）. 在中，， ∴是等边三角形， ∴． 当时， ∵，， ∴， ∴， 即 解得：． 当时，点，在边上，不符合题意； 当时， ∵， ∴点为边的中点， 即， 解得：． 综上所述，当时，的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、等边三角形的性质以及解直角三角形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、全等三角形的性质、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 7．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图-基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 8．如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒）．直线l经过点C，且，过点P、Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据题意可分类讨论①当P在AC，Q在BC上时、②当P在AC，Q在AC上时和③当P在BC，Q在AC上时，根据三角形全等的性质可列出关于t的等式，解出t，即可得出答案． 【详解】分类讨论，①当P在AC，Q在BC上时， 由题意可知，． ∵，与全等， ∴，即， 解得：； ②当P在AC，Q在AC上时， 由与全等，可知此时P、Q重合， ∴3t+2t=8+6 解得：． ③当P在BC，Q在AC上时， 此时，，且． 同理可得，即， 解得：(舍)． 综上可知t的值为2或． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 【题型3   利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 9．题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，点在线段上运动时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 点在线段的延长线上时， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上可知：点在运动过程中，和一直相等， 故选：． 10．如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】 解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 11．如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过“”证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）分两种情况：当点D是的延长线上的一点时，或当点D是线段上的一点时，由，则，由线段的和差即可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：或，理由如下： 当点D是的延长线上的一点时， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点D是线段上的一点时， 如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．问题背景如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接直接写出线段与的数量关系是______，______．    尝试应用如图2，在中，，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系； 拓展创新如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，，请直接写出的值为______． 【答案】（1）；120；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质及得，进而可求解． （2）①根据等腰直角三角形的性质及得，进而可求解；②由①得：，，再利用勾股定理即可求解． （3）同（2）得：，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；120． （2）①，理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． ②，理由如下： 由①得：，， 在中，由勾股定理得：， ． （3）同（2）得：， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【题型4   利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 13．已知和△都是等腰三角形，且． (1)[初步感知]特殊情形：如图①，当点分别落在边上时，那么　　．（填＜、＞或＝） (2)[发现证明]如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； (3)[深入研究]如图④，如果和都是等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，则∠CDB的度数为 ，线段之间的数量关系为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ， 即 故答案为：， （2）成立． 理由：由旋转性质可知， 在和中 ， ， ； （3）是等腰直角三角形， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ； 故答案为：，； 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解题的关键是掌握三角形全等的判定． 14．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据平行线的性质可知，根据可得：，利用可证； 由可知，根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等，两直线平行可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：， 理由如下： 由可知，， ， ． 15．如图，在中，，（），为射线上一动点（不与点、重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (4)在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 (4)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据三线合一证明 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （2）由得，利用SAS即可得出结论； （3）由（2）知，根据全等三角形的性质得，，则，易得为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，最后由平行线的判定求解； （4）分两种情形：当时，当时，利用全等三角形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴ ， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （3）解： ． 理由如下： 由（2）知， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，当时． ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当时． ∵， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 16．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF. （1）当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图23(a)． ①请你将图形补充完整； ②线段BF，AD所在直线的位置关系为________，线段BF，AD的数量关系为________． （2）当点D在线段AB的延长线上时，如图 (b)． 在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②垂直，相等；（2）成立，理由见解析. 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）①D在线段AB上时，在直线l上截取CE=CF=CD，即可画出图象．②在图1中证明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD． （2）在图2中证明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD． 【详解】解：（1）①见图1所示． ②证明：∵CD⊥EF， ∴∠DCF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCF， ∴∠ACD=∠BCF ∵BC=AC，CD=CF， ∴△ACD≌△BCF， ∴AD=BF，∠BAC=∠FBC， ∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°， 即BF⊥AD． 故答案为：垂直、相等． （2） ②成立．理由如下： 证明：∵CD⊥EF， ∴∠DCF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD， 即∠ACD=∠BCF， ∵BC=AC，CD=CF， ∴△ACD≌△BCF， ∴AD=BF，∠BAC=∠FBC， ∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°， 即BF⊥AD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质. 【题型5   结合尺规作图的全等问题】 17．如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB） (1)①请在图1中用圆规和无刻度的直尺作出点O，使O到△ABC三边距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，则△ABC中BC边上的高＝______，O到△ABC三边距离＝______． (2)在△ABC中，若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PB≤PA，请在图2中用圆规和无刻度的直尺作出所有符合条件的点P组成的区域（用阴影表示）．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)①见解析；②12，4 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）①作两内角的平分线，得交点O；②作边上的高，设，则，在中，，在中， 根据勾股定理建立方程，求得，进而勾股定理求得，根据等面积法求O到△ABC三边距离即可； （2）作的垂直平分线，根据满足PC≤PB≤PA，由PB≤PA，点点离点更近，在的垂直平分线靠进点部分，由PC≤PB，点点离点更近，在垂直平分线靠进点的部分，以及与围成部分，包括边界． 【详解】（1）①如图所示，即为所求； ②如图所示，作边上的高， AB＝15，AC＝13，BC＝14， 设，则 在中， 在中， 即 解得 由①可知到三边距离相等，设到三边距离为， 则 即 解得 故答案为： （2）满足PC≤PB≤PA的点P组成的区域（用阴影表示），如图所示． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，勾股定理，掌握角平分线的性质与垂直平分线的性质是解题的关键． 18．在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______ 【答案】 SAS HL 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、用SAS证明三角形全等（SAS）、用HL证全等（HL） 【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ． 由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ． 【详解】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理； 小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理． 故答案为：①SAS；②HL． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键． 19．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 20．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【知识点】三角形角平分线的定义、全等三角形综合问题、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型6   构造全等三角形的常规辅助线】 21．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【知识点】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 22．如图，在五边形中， (1)已知，，，F是中点，求证：． (2)已知，，，F是中点，求证：． (3)已知，，，F是中点，求证；． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形三线合一即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，，，结合图形得出，即可证明； （3）连接交于点G，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴； （2）如图所示，连接， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示，连接交于点G， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，线段中点的性质及等腰三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助性，综合运用这些知识点是解题关键． 23．如图，，，是的垂直平分线．求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等三角形综合问题、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定和垂直平分线的性质，解题的关键在于连接、构造三角形全等，再利用全等三角形性质即可解题． 【详解】证明：连接、，如图所示：   是的垂直平分线， ， 在与中， ， ． 24．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 试卷第62页，共62页 试卷第1页，共63页 学科网（北京）股份有限公司 $