福建厦门市2025-2026学年第二学期高二年级期末阶段性练习数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 厦门市2025-2026学年第二学期高二年级期末 阶段性练习 数学试题参考答案及评分标准 2026.7 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 题号 1 2 U∫ 6 7 8 答案 B D B ◇ A 8. 答案：C 解析：设耳为椭圆的右焦点，由对称性可知，P=O,所以 「IPF|+|QF=2a 1QF|+|PF=PE|+|PF=2a,所以|PQ= 10a ，由 +OPT=(9可得， PP-Or卡48a,不妨设P(K,),由等面积可得， 49 PO%-IPFI-IOR,所 以%上= ,又所以学经 24 b224 -1解得25 所以C的离心率为1- a5 故选C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AB ABC ACD 11.答案：ACD 解析：a。=99-[V99]=99-9=90,选项A正确； am=100-[V100]=100-10=90=a4。,选项B错误： 要证a≥m-),即证[m≤”+2 3 3 当n∈[k,k+2kk∈N)时，[N]=k,，[Vn+1]≤k+l, 因为”号之：，所以只着正，号子，即证依--到0，显然发立， 3 3 所以a≥m-),选项c正确： S4_S=8。-01+10S=10-S_(a-4)+(a-a)++(a-a） n+1nn(n+1)n(n+1) nn+1) 因为a-a.=1+[Vm-[n+≥1+k-k+1)≥0，且4>a, 所以(a1-a)+(a1-a)+…+(a1-4)>0, 所以S>S,选项D正确：故选ACD, n+l n 答案第1页，共8页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13.2-2ln2 14. 3 14.解析：设球心为O,四面体ABCD的体积为V, 则兮×ABxS当且仅当AB上平面oCD时，等号成立： OC=OD=1,S≤)×0C×0D,当且仅当OCLOD时，等号成立： 所以V≤xAB×OCxOD,当四面体ABCD的体积取得最大值时，AB⊥平面OCD, 6 OC⊥OD,此时OC=OD=OB,且OB,OC,OD两两垂直， 直线AB与平面BCD所成角的正弦值为即为OB与平面BCD所成角的正弦值， 易得该正弦值为5 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知数列{a}满足4=2a.+1,4=3. (1)证明{a+1}为等比数列，并求4： (2)记{a}的前n项和为S,求满足S,.>2026的n的最小值 解：(1)令n=1,则4，=2g+1=3,解得4=1， …1分 因为41+1=2(@+1)，… …2分 所以{a,+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，…3分 所以g十1=(g十1）21=2，…5分 即g=2”-1…6分 (2)S=2+22+…+2”-n=2-n-2,…9分 因为S4-S=21-1≥22-1>0，所以{S}是递增数列， …10分 又因为S=20-11=1013<2026,S。=21-12=2036>2026,…12分 所以满足S>2026的n的最小值为10.…13分 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PAL平面ABCD,E,F分 别为棱PD,AB的中点， (1)证明：AE∥平面PFC; (2)若AB=2PA=2AD=2,AE⊥CD,求平面PFC与平面PAD夹角的余弦值. 答案第2页，共8页 D (1)如图，取PC的中点M,连接EM,FM,…1分 1 所以EM∥CD,EM=CD,又AF∥CD,AF=-CD, 所以EM∥AF,EM=AF, 所以四边形EMA为平行四边形， 所以AE川FM,… 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。 …3分 因为FMC平面PFC,AEL平面PFC, 所以AE∥平面PFC.…5分 (2)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以CD⊥PA, 又CD⊥AE,AE∩PA=A,AE,PAC平面PAD,所以CD⊥平面PAD,…7分 因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD,因为CD∥AB,所以AB⊥AD,·8分 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-z, 则B(2,0,0),F1,0,0),C(2,1,0),P0,0,1), 所以FC=1,1,0),FP=（-1,0,1）, … …10分 设平面PFC的一个法向量为n=(心，少，)，则 nC-0即+y0令x=l,则y=1,g=1, n.Fp=0,-x+z=0, 所以平面PFC的一个法向量n=A,-1,), 12分 由(1)可得，平面PAD的一个法向量为AB=(2,0,0),…13分 答案第3页，共8页 则cos(aB,m=4Bn-2=V5 |AB1n2√53， …14分 所以平面PC与平面PAD夹角的余弦值为S …15分 17.(15分) 己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x。,2)在C上，且|PF=2. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A,B两点，若P在以AB为直径的圆上，求△ABP的 面积. 解：(1)由点P(2)在C上可得，4=2px,即飞-2 .1分 P那号=2， 2分 所以PE达t号号+号2，解得p=2,4分 所以C的方程y2=4x..5分 (2)由(1)可得，F1,0),P(1,2), 设直线AB的方程为x=y+1,A(x,),B(化2，y): =4,得y-4m-4=0,△=16m+16>0, 由 x=y+1 故y+y2=4l,yy2=-4,.7分 依题意，PA.PB=0,所以(-1)（化2-1）+y,-2)y,-2)=0, 即4×4+0y-20y-2=0g-20,-2+20+2+1=0,…9分 4 4 16 因为y≠2，≠2，所以+2+2到+1=0， …10分 16 所以4+2y+y,)+yy,+16=0,带入化解得，81+16=0， 解得=-2，此时直线AB:x=-2y+1,…12分 所以AB=V1+m.y-y,=V+(←2yV16x5=20,…13分 点P到直线AB的距离d=4=4V5 V1+22 5, …14分 所以△MBP的面积为2×1AB1d=×20×4W5=8W5 .…15分 2 2 答案第4页，共8页 18.(17分) 某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点.点击“开 2 始”后，每个感应点被点亮的概率均为了，各感应点的显示结果相互独立。记被点亮的感应 点的个数为随机变量X,以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y. (1)求PY=1): (2)求P(X=4|Y≥4)： (3)求E(). 解法一：(1)圆周上6个点等距分布，故共有3组相对点，即3条直径 任取3个被点亮的点构成直角三角形时，当且仅当这3个点中含有一组相对点. 当X≥4时，4个点中至少含有一组相对点，所以Y≥2， .2分 所以Y=1时，恰有3个感应点被点亮，.3分 且这3个点中含有一组相对点，共有CC4种， 所以P=-C℃×= 32 5分 (2)当X=4时，若点亮的4个点恰为2组相对点，共有C种，此时Y=4, 若点亮的4个点恰有1组相对点，共有CCC种，此时Y=2,…6分 当X=5时，必有两组相对点都被点亮，共有C种，此时Y=6,…7分 当X=6时，共有C8种，此时Y=12,… …8分 所以P≥40=P0=40+Pg=0+PV=12)=C+C3+C孕，10分 所以PX=4Y)=Y=4到=C9, …11分 所以P(X=4r>4)=PX=4≥4 3× 3 PY>≥4) 19 …12分 3x+C孕9+孕 (3)当X=0,1,2,共有C%+C。+Cg种，此时Y=0,… …13分 当X=3时，若不含相对点时，共有CCC种，此时Y=0, 当X=3,若含一组相对点，共有CC4种，此时Y=1, 答案第5页，共8页 所以0=0=c9+c9+c99+ccc99-89 …15分 由(1)可知， ==cc99 ou3-ccc …16分 由2)可知，w==C=8 --C19 29 P=12=c= 64 729 所以E(=0x137 1x6 192 48 -+2× +4× 12×64-32 …17分 729 729 729 729 +6x12 729 7299 解法二：（1)同解法一：… …5分 (2)同方法一： …12分 (3)以三个感应点为顶点构成的直角三角形共有CC:个， 将这些直角三角形编号为1,2,3，，12， 设1= ，第k个直角三角形的3个顶点均被点亮， 0,第k个直角三角形至少有1个顶点未被点亮 k=1,2,3,…,12,…13分 易知，PU=)=C(= 7,则PL=0)=1-P4。=1)= P 所以E()=0×P(L=0)+1×PL.=1)= …15分 27 因为Y=1+13+…+1, 所以B四=8L,+以++)=B)+B)++E)=12×8-32 …17分 279 19.(17分) 己知函数f(x)=ae*-x3+bx. (1)当a=b=1时，求曲线y=(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若存在a∈R,使得f(x)有三个极值点1，x2,x(<x<x). (i)求b的取值范围： (ii)证明：f(x)>0. 解法一：(1)当a=b=1时，f(x)=e-x+x,f(0)=1,…1分 f"(x)=e-3x2+1,f"(0)=2,… …2分 所以曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x-0), 答案第6页，共8页 整理得：y=2x+1. 4分 (i)f'(x)=ae-3x2+b,设g(x)=ae-3x2+b， 6x、 则g'(x)=ae-6x=e(a-), 5分 e 依题意，g(x)至少有两个极值点，即8(x)至少有两个零点， 当≤0时，g'(x)单调递减，g'()至多一个零点，不合题意；…6分 设h)=a6,则M)6,所以h)在（∞，）单调递减，在Q,+0)单调递增 所以hx2h四=a二S,当x→+0时，h)→a) 当≥6时，h0≥0，h)≥h0≥0，所以g)≥0，不合题意：…7分 e 6 当0<a<二时，h)<0,h(0)>0, 易证e2ex,所以e≥e ,所以e2e文2，所以产0-M0 4 所以8'()恰有两个零点，设为m,m0m<m,且0<m<1<n,其中6-6 .=a e"e 所以当x∈(-n,m),x∈(，+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈，)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 则g(s)<a-s2+b-22≤0， 易证e>,所以ee,所以e≥ ,所以g6≥acx-4r++b 27 27 取=V,则g00, 所以g0m)>0,8(m<0,… …9分 所以g(0m=ae-3m+b=6l-3m2+b>0,g(0m=6-3m2+b<0, 即存在0<m<1<n,使得3m2-6l<b<3i-61,…10分 易知3m2-6=3(-1)2-3>-3, 当a→0时，n→+n,对于任意给定的实数b,总存在n,使得3t-61>b, 所以b的取值范围是(-3，十0)；… …11分 (i)由(i)可知，g(x)=ae-3x,2+b=0,…12分 因为m<x2<n,所以g(x)=a-6x2<0,即ae<6x2,x2>0,…14分 f)=ae-x+bx ae"x+3x-ae ae*(1x)+2x,, 当0<x,≤1时，f(x)>0: …15分 答案第7页，共8页 当>1时，f0,)>6x,1-)+2x-2x[-子+>0： 综上，f(x)>0. …17分 解法二：（1)同解法一；… …5分 (2)f=ae-3x+b=ea-30-么，令f)=0可得，a=3xb …6分 e 设F)3b,则F)=二3x+6x+b e e 若存在a∈R,使得f()有三个极值点， 则存在直线y=a与曲线y=F(x)有三个交点， …8分 所以F(x)至少有两个极值点，F(x)至少有两个零点，…9分 所以二次函数y=-3x2+6x+b有两个相异零点， 所以△=36+12b>0,解得b>-3, 又当b>-3时，设y=-3x2+6x+b的两个零点分别为p,qD<q), 所以当x∈（-o,p)和x∈(q,+o)时，F(x)单调递减，当x∈(p,q时，F(x)单调递增， 对于任意给定的b,设，=max{F(p),0}, 取t,<a<F(q), 所以关于x的方程a=3xb在心，9列和@，切)各有一个实数根， e 当x→-0时，F(x)→+0， 所以关于x的方程a=3b在(”，p)有一个实数根， ex 所以b的取值范围是(-3，+∞)；… …11分 (3)同方法三.… 。。。。。。。。。。 …17分 答案第8页，共8页 保密★启用前 准考证号__________________姓名________ （在此卷上答题无效） 2025—2026学年第二学期高二年级期末阶段性练习 数学 2026.7 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量X服从二项分布，则 A． B． C． D． 2．记等差数列的前n项和为，若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知随机变量X服从正态分布，若，则 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．已知展开式的各二项式系数的和为64，则该展开式中的常数项为 A．16 B．30 C．60 D．120 5．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为 A．16 B．32 C．36 D．64 6．某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则 A． B． C． D． 7．设函数，记的最小值为，则当取得最小值时， A． B．1 C．2 D．e 8．已知椭圆的左焦点为F，点P，Q在C上，轴，若，且的周长为，则C的离心率为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线，则 A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 10．某校为了解课后体育锻炼与体质测试达标是否有关，随机调查了80名学生，得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试未达标 合计 经常参加课后体育锻炼 30 10 40 不经常参加课后体育锻炼 20 20 40 合计 50 30 80 从参加调查的学生中随机抽取一人，记事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，事件B为“该学生体质测试达标”，则 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A． B． C．根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关 11．已知，其中表示不超过x的最大整数，记的前n项和为，则 A． B．， C． D．是递增数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记数列的前n项和为，若，则______． 13．函数的最小值为______． 14．已知四面体的各顶点均在半径为1的球面上，，当四面体的体积取得最大值时，直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列满足，． （1）证明为等比数列，并求； （2）记的前n项和为，求满足的n的最小值． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，E，F分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． （1）求C的方程； （2）过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 18．（17分） 某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y． （1）求； （2）求； （3）求． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使得有三个极值点，，（）． （i）求b的取值范围； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $