精品解析：重庆市忠县2026年春季八年级期末学业水平监测数学试题

忠县2026年春季八年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平行四边形中，已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，过点的直线一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 用的绳子围成矩形，若矩形一边长，面积是x的函数，则绳子的长度是（ ） A. 常量 B. 变量 C. 自变量 D. 函数值 5. 在下列给定的解析式中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某公司A，B两个团队的产品收益率箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. A团队的收益率中位数明显高于B团队 B. 在两团队中，B团队的收益率更对称 C. 在两团队中，A团队的收益率更稳定 D. B约有的产品收益率低于A的最低收益率 7. 张华从教室到寝室花了少许时间取书，20分钟后返回教室，设离开教室时间为x（分钟），张华与教室的距离为y（米），则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的正方形中，延长线段至E，延长线段至F，若，则图中与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______． 12. 已知一次函数，若y的值随x取值增大而减小，则常数m的取值范围是________． 13. 八年级小忠同学收集到一组数据为2，2，3，3，3，4，4，5，6，则该组数据的下四分位数为________． 14. 边长为5且对角线长为2的菱形的面积为________． 15. 正方形如图所示，点E在边上且满足，设点P，Q分别为线段，上的动点，如果的最小值为，那么正方形的边长为_______． 16. 各数位数字分别为a，b，c，d的四位自然数，如果A满足，则称A为“均衡数”，则最小的“均衡数”的各数位数字之和为______；现在将“均衡数”A拆分成两个两位数和，若对于两个一次函数和的图像有且只有一个交点坐标，则使得且为偶数的A共有________个． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余各题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 17. 求值或化简： （1）； （2）． 18. 已知一次函数的图象经过，． （1）求该一次函数的解析式； （2）若该函数图象与x，y轴分别交于A，B两点，求的长． 19. 如图，四边形是平行四边形，作出边的中点E，连接，延长与线段的延长线交于点F，设，．证明：点C是线段的中点． （1）请用尺规作图在答题卡图上作出图形（只保留作图痕迹），标上字母和数字，不写作法，不另外添加字母和符号； （2）请把证明过程补充完整（在答题卡上对应序号旁填写）． 证明：四边形是平行四边形， ， _①_，_②_， 又点E是边的中点， ， _③_， ，而由平行四边形得， _④_， 点C是线段的中点． 20. 某教共体开展了八年级数学建模大赛，A、B两成员校八年级数学兴趣小组同学都积极参加．现从A校中选取了前15名学生的比赛成绩（百分制）为：83，77，85，81，91，79，88，89，78，86，82，80，90，87，84． （1）写出A校这组数据的中位数和众数（若众数不止一个，请全部列出），并求这组数据的平均数； （2）B校也选取了前15名学生的比赛成绩，对比A校数据发现，除把77和91两个分数都变成了84外，其余数据相同．写出B校数据的中位数和众数，并求出平均数； （3）A校和B校的成绩哪个更好，说明理由（写出一条理由即可）． 21. 李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． （1）以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； （2）若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 22. 如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线． （1）证明：； （2）若，，求矩形的周长． 23. 【综合与实践】将五线谱中的一段旋律置于平面直角坐标系中，则旋律可以用“音高y－时间x”的坐标系直观表示．一般地，用横轴x表示时间（以节拍为单位），纵轴y表示音高（以半音为单位，数值越大音越高）．已知一段旋律的四个关键音符对应的点依次为，，，，连接线段、、，则把形成的折线叫这段旋律的旋律线，并记为旋律线． （1）在答题卡上画出已知旋律的旋律线； （2）求线段的解析式，判断外来音点是否在线段上？ （3）将该段旋律的节奏移位，即将原旋律线沿x轴正方向平移个单位，得到新旋律线（对应点平移）．判断节奏移位后的新旋律线与原旋律线的交点个数． 24. 如图，设是边长为6的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点F沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一动点到达点B时运动停止．设运动时间为秒，E、F两点间距离的倍为． （1）求自变量x的取值范围，直接判断是否成立？ （2）求y关于x的函数解析式； （3）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质． 25. 如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点． （1）证明：四边形为正方形； （2）求的大小； （3）如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忠县2026年春季八年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平行四边形中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形的对角相等， ∴． 2. 在平面直角坐标系中，过点的直线一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴点在第二象限． ∵直线过点， ∴直线一定经过第二象限． 3. 在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2. 4. 用的绳子围成矩形，若矩形一边长，面积是x的函数，则绳子的长度是（ ） A. 常量 B. 变量 C. 自变量 D. 函数值 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵绳子长度固定为，数值不发生改变，根据定义，数值始终不变的量是常量， ∴绳子长度是常量． 5. 在下列给定的解析式中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于自变量x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则不是，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A、B、C中，对于定义域内任意一个x，都只有唯一确定的y值与之对应， ∴这三个选项都能表示y是x的函数； 对于选项D，，当x取任意一个正数时，比如取，可得和两个值， ∴此时一个x对应两个y值，不满足函数定义，不能表示y是x的函数． 6. 如图是某公司A，B两个团队的产品收益率箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. A团队的收益率中位数明显高于B团队 B. 在两团队中，B团队的收益率更对称 C. 在两团队中，A团队的收益率更稳定 D. B约有的产品收益率低于A的最低收益率 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，中位数由箱体中间的横线表示，数据的稳定性由箱体的长度（四分位距）和极差反映，数据的对称性由中位数在箱体中的位置及上下须的长度差异反映，据此逐项判断即可． 【详解】解：观察图形可知，、两团队收益率的中位数均在左右，无明显差异，选项A错误； 团队箱线图的中位数偏向箱体上方，且下须长度远大于上须长度，分布明显不对称，而团队中位数位于箱体中部附近，上下须长度差异较小，团队的收益率更对称，选项B正确； 团队的箱体高度（四分位距）和极差均大于团队，说明团队数据波动较大，团队的收益率更稳定，选项C错误； 团队的最低收益率（下须下端）约为，团队的最低收益率约为，团队的所有产品收益率均高于团队的最低收益率，选项D错误． 7. 张华从教室到寝室花了少许时间取书，20分钟后返回教室，设离开教室时间为x（分钟），张华与教室的距离为y（米），则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据张华的运动过程分析随的变化情况：从教室出发距离增加，在寝室取书距离不变，返回教室距离减小，且总时间为20分钟，进行判断即可. 【详解】解：由题意，y关于x的函数图像大致为 8. 如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴的周长为， 同理可得：的周长为， 的周长为， 归纳类推得：的周长为（为正整数）， ∴的周长为 ． 9. 在如图所示的正方形中，延长线段至E，延长线段至F，若，则图中与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质，证明，从而得出与的关系． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，， 四边形是正方形， ，， ， ，即三点共线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 10. 已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式、一次函数的定义，逐个判断四个命题，利用判别式判断二次多项式能否分解为一次因式乘积，最终统计正确命题个数． 【详解】解：已知，逐个判断： 若是二次三项式，需满足二次项系数不为，且一次项、常数项均不为， ∴一次项系数为，由二次项系数得，常数项得， ∴满足二次三项式要求， ∴正确． 若为单项式，需二次项系数为且常数项为， ∴ 得，得， ∴当时是单项式， 当时是二项式， ∴错误． 若是一次函数，需二次项系数为，一次项系数不为， ∴ 得， ∴均满足一次函数要求，与命题不符， ∴错误． 当时，，是二次多项式，计算判别式： 当时，，， ∵， ∴，得， 当时，，， ∵， ∴，得， ∴，二次多项式无实根，不能分解为两个一次因式的乘积， ∴正确． 综上所述，正确的命题个数是． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得， 2x－2≥0，解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的意义是解题的关键． 12. 已知一次函数，若y的值随x取值增大而减小，则常数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，的值随取值增大而减小， ∴一次项系数， ∴. 13. 八年级小忠同学收集到一组数据为2，2，3，3，3，4，4，5，6，则该组数据的下四分位数为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：法一：已知数据已经按从小到大排列，可得数据个数， 计算位置， 因为不是整数，将向上取整，可知第个数据就是该组数据的下四分位数， 该组数据的第个数据为，故下四分位数为3； 法二：将数据从小到大排序后，前5个数为2，2，3，3， 中间两位是2和3， 故下四分位数为. 14. 边长为5且对角线长为2的菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：如图，菱形中，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 15. 正方形如图所示，点E在边上且满足，设点P，Q分别为线段，上的动点，如果的最小值为，那么正方形的边长为_______． 【答案】 2 【解析】 【分析】因为求折线段的最小值，属于两动点的最短路径问题，所以利用对称思想转化折线，作点B关于的对称点，可得，将转化为．因为两点之间线段最短、垂线段最短，所以的最小值为点到线段的垂线段长度，该长度等于已知的​．因为，可得，建立边长与最小值的关系，求解正方形边长． 【详解】解：作点关于直线的对称点， 根据对称性质，对任意在上，都有， ． 根据“垂线段最短”，当共线，且时，取得最小值，最小值即为到的垂线段长度， 由题知​． 设正方形边长， 由对称性质得：，， ． ， 在中： ， ， ， 解得， 因此正方形的边长为． 16. 各数位数字分别为a，b，c，d的四位自然数，如果A满足，则称A为“均衡数”，则最小的“均衡数”的各数位数字之和为______；现在将“均衡数”A拆分成两个两位数和，若对于两个一次函数和的图像有且只有一个交点坐标，则使得且为偶数的A共有________个． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空要得到最小的四位“均衡数”，需从高位到低位依次取最小数字，再计算各数位数字和；第二空先根据一次函数交点性质和已知条件推导得，，再结合为偶数的条件得与同奇偶且，分类计数得到总个数． 【详解】解：第一空：四位自然数中，千位数字，要使最小，依次令最小取，最小取，由得，再令最小取，得， 因此最小的均衡数为，各数位数字和为． 第二空：联立两个一次函数， 两图像有且只有一个交点， ， 令，解得， 是均衡数， ，即， 代入得， ， ， 将代入得，即， 又， ，即． ，， ， 为偶数， 为偶数，即与同奇偶，且． ，， ， 又， ，且为整数，其中奇数共个，偶数共个， ，， ， 又， ，且为整数，其中奇数共个，偶数共个． 当为奇数时，每个对应符合条件的有个，共个； 当为偶数时，每个对应符合条件的有个，共个； 总个数为． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余各题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 17. 求值或化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）任何非零数的零次幂都等于，根据二次根式的性质． （2）利用平方差公式、完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解: ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知一次函数的图象经过，． （1）求该一次函数的解析式； （2）若该函数图象与x，y轴分别交于A，B两点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数与x轴y轴的交点坐标，再利用勾股定理计算线段的长度． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 已知函数图象过，， 代入得， 解得， 因此该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ∵是直角三角形，，， ∴由勾股定理得． 19. 如图，四边形是平行四边形，作出边的中点E，连接，延长与线段的延长线交于点F，设，．证明：点C是线段的中点． （1）请用尺规作图在答题卡图上作出图形（只保留作图痕迹），标上字母和数字，不写作法，不另外添加字母和符号； （2）请把证明过程补充完整（在答题卡上对应序号旁填写）． 证明：四边形是平行四边形， ， _①_，_②_， 又点E是边的中点， ， _③_， ，而由平行四边形得， _④_， 点C是线段的中点． 【答案】（1）如图，点E即为所求； （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一条线段的垂直平分线的方法，进行作图即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，从而得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ，， 又点E是边的中点， ， ， ，而由平行四边形得， ， 点C是线段的中点． 20. 某教共体开展了八年级数学建模大赛，A、B两成员校八年级数学兴趣小组同学都积极参加．现从A校中选取了前15名学生的比赛成绩（百分制）为：83，77，85，81，91，79，88，89，78，86，82，80，90，87，84． （1）写出A校这组数据的中位数和众数（若众数不止一个，请全部列出），并求这组数据的平均数； （2）B校也选取了前15名学生的比赛成绩，对比A校数据发现，除把77和91两个分数都变成了84外，其余数据相同．写出B校数据的中位数和众数，并求出平均数； （3）A校和B校的成绩哪个更好，说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1） 中位数为，没有众数，平均数为 （2） 中位数为，众数为，平均数为 （3） 示例1：B校更好，理由：两校平均数相同，B校成绩更集中，整体成绩更稳定整齐． 示例2：A校更好，理由：A校有更高的最高分，尖子生更突出． 【解析】 【分析】（1）求解A校的中位数：因为数据共15个，所以先将A校成绩从小到大排序，取排序后第8个数据即为中位数；统计每个数据出现的次数，出现次数最多的即为众数；使用算术平均数公式计算平均数． （2）求解B校的中位数：因为B校仅修改了两个数据，所以先判断修改后数据排序的变化，确定排序后第8个数据得到中位数；统计修改后各数据的出现次数得到众数；如果使用平均数性质，可对比A校两个修改数据的和与替换后两个数据的和的差异，直接计算B校平均数，也可重新用算术平均数公式计算． （3）比较两校成绩：因为要判断哪个学校更好，所以可选取平均数、中位数、方差等统计量中的一个，结合统计量的实际意义进行分析． 【小问1详解】 解：首先将A校15个成绩从小到大排序： 77，78，79，80，81，82，83，84，85，86，87，88，89，90，91， 15个数据的中位数为排序后第个数据， 中位数为84； 所有数据都只出现1次，因此没有众数； 平均数， 因此平均数为84． 【小问2详解】 B校将A校的77、91替换为两个84，其余数据不变，重新排序得： 78，79，80，81，82，83，84，84，84，85，86，87，88，89，90， 15个数据的中位数仍为排序后第8个数据，因此中位数为84； 84出现次数最多（共3次），因此众数为84； 原77+91=168，替换后，总和不变， 因此平均数，平均数为84． 【小问3详解】 略 21. 李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． （1）以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； （2）若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 【答案】（1）函数解析式为，自变量的取值范围是； （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围； （2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． 22. 如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线． （1）证明：； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：如图所示，设交于点O， ∵对角线恰为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，证明，即可证明； （2）由矩形的性质得到，，可证明，则可得到，，由线段垂直平分线的性质和（1）的结论可求出的长，进而求出的长，再根据矩形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵对角线恰为线段的垂直平分线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴矩形的周长． 23. 【综合与实践】将五线谱中的一段旋律置于平面直角坐标系中，则旋律可以用“音高y－时间x”的坐标系直观表示．一般地，用横轴x表示时间（以节拍为单位），纵轴y表示音高（以半音为单位，数值越大音越高）．已知一段旋律的四个关键音符对应的点依次为，，，，连接线段、、，则把形成的折线叫这段旋律的旋律线，并记为旋律线． （1）在答题卡上画出已知旋律的旋律线； （2）求线段的解析式，判断外来音点是否在线段上？ （3）将该段旋律的节奏移位，即将原旋律线沿x轴正方向平移个单位，得到新旋律线（对应点平移）．判断节奏移位后的新旋律线与原旋律线的交点个数． 【答案】（1）； （2），不在； （3）当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点． 【解析】 【分析】（1）在坐标系中描出点、、、，依次连接线段、、，即得到旋律线； （2）设线段的解析式为，根据待定系数法求解即可；根据的横坐标判断即可； （3）结合平移的性质及图象作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设线段的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为； ∵， ∴不在线段上； 【小问3详解】 解：根据平移的性质可知原折线各段与平移后的折线互相平行，无重合，仅不同线段可能相交，分情况讨论得： 如图，当时， 可知新旋律线与原旋律线有个交点； 如图，当时， 可知新旋律线与原旋律线有个交点； 如图，当时， 可知新旋律线与原旋律线有2个交点； 如图，当时， 可知新旋律线与原旋律线有个交点； 如图，当时， 可知新旋律线与原旋律线有个交点． 综上所述，当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点；当时，新旋律线与原旋律线有个交点． 24. 如图，设是边长为6的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点F沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一动点到达点B时运动停止．设运动时间为秒，E、F两点间距离的倍为． （1）求自变量x的取值范围，直接判断是否成立？ （2）求y关于x的函数解析式； （3）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质． 【答案】（1）自变量x的取值范围为，成立 （2） （3）函数的图象为： 由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）求出点E，点F从点A运动到点B所需时间，即可得到自变量x的取值范围．当点F运动到点C，可求出点E运动到的中点，根据等腰三角形的“三线合一”得到； （2）当点F在上，即时，，，根据勾股定理求出，即可得到y关于x的函数解析式，同理求出当点F在上，即时，y关于x的函数解析式，综合即可解答； （3）画出函数的图象，根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：自变量x的取值范围为，成立，理由如下： ∵是边长为6的等边三角形， ∴， 点E从点A运动到点B需要时间， 点F从点A运动到点C需要时间，从点C运动到点B需要时间，即点F从点A运动到点B共需时间， ∴点E，F的运动时间都为，即自变量x的取值范围为． 当点F运动到点C，即运动了时，点E运动的距离， ∵， ∴， ∴点E是的中点， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：当点F在上，即时，，， ∵， ∴在中，， ∴． 当点F在上，即时，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 综上所述，y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 略 25. 如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点． （1）证明：四边形为正方形； （2）求的大小； （3）如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积． 【答案】（1）证明：四边形为正方形， ，． ，，， ， ∴四边形是矩形． ，， ， 在和中： ， ∴， ． 四边形为正方形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形得，．由垂直条件得，四边形为矩形，证，得，故四边形为正方形． （2）连接，由正方形中心性质得为中点，，．由及为直角三角形斜边中点得分别为中点，连接，由等腰三角形三线合一得平分，平分，故． （3）由（2）得，，由勾股定理求，故．过作，由得，为等腰直角三角形，．证，得．设正方形边长为，由勾股定理，解得，则，即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 点O是正方形的中心， 三点共线，且为中点， ， ， ， 为等腰三角形， M、N分别为线段、的中点， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，过作，交延长线于， 由（2）得为等腰三角形，，， M、N分别为线段、的中点， ， ， ， 为等腰直角三角形， 点O到直线的距离为，即， 正方形的边长为5， ， ， ． 在中，，且， ，可得， ，， ， 在和中： ， ∴， ． 设正方形的边长为， 在中，，即， 解得，则， 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $