精品解析：重庆市綦江区2025-2026学年下学期期末考试八年级数学试题

綦江区2025—2026学年度（下）期末考试 初2027届数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列各组数不能构成直角三角形边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 6. 綦江木瓜(又称皱皮木瓜)是重庆市綦江区的特色农产品，也是国家地理标志产品，种植历史超百年，綦江也被命名为“中国优秀木瓜之乡”．綦江某木瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量(单位：)如下： 甲：，，，，， 乙：，，，，， 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的( ) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7. 估计的值应在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 8. 近年来，綦江区大力发展“横山大米”“赶水草蔸萝卜”等特色农产品电商，物流需求大增．某物流公司的货车从重庆主城出发，先行驶的城市普通道路后，进入兰海高速渝黔段，在高速路上匀速行驶一段时间后，驶出高速，再在通往綦江横山旅游度假区的乡村道路上行驶1小时，到达山上的农产品集散中心．汽车行驶的时间（单位：）与行驶的路程（单位：）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（） A. 汽车在高速路上行驶了 B. 汽车在高速路上行驶的路程是 C. 汽车在高速路上行驶的平均速度是 D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 9. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①当时，； ②当时，； ③． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 直线与轴的交点坐标是_________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 13. 中国现代民间绘画画乡綦江的农民版画是重庆市非物质文化遗产，2026年4月，在“巴渝印学版艺润心”重庆市首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是_________分． 14. 在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 15. 对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差大1，且百位数字与十位数字的差为非负数，则称这个四位数为“夜郎数”．将“夜郎数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到，并记．最小的“夜郎数”的值为_________；若为“夜郎数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值为_________． 16. 如图，在平行四边形中，为上一点，于点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接，若，，，，则点到直线的距离为_________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题，第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 20. 阅读材料，完成问题： 加密术（Cryptography）是通过特定算法和密钥，将可读的明文转换为不可读的密文，以防止未授权者窃取或篡改信息的技术，其核心目标是保障数据的机密性、完整性及身份认证．抗战时期，重庆就是全国情报核心，如今，重庆是国家密码管理局批准的西部地区首个商用密码应用安全性评估机构所在地．加密术让小明着迷，他决定自己设计一套以一次函数为算法的加密方法：某天，小明给好朋友小红发送了一条加密信息，上面写着三个数字：17，29，53．同时，小明通过安全渠道告诉小红：“当明文是时，加密后得到；当明文是时，加密后得．”小红需要根据这两个对应关系，确定密钥和，然后才能解密剩下的数字53． （1）请求出加密函数中和的值． （2）当密文为53时，请求出对应的明文． 21. 綦江某中学开展了“创建全国文明城区垃圾分类知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________，_________； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，那么选_________年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 22. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图1，在四边形中，，，，点是四边形边上的一个动点，点从出发，经过点到点停止．记点走过的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象；观察函数图象，请写出一条该函数的性质； （3）结合函数图象，请直接写出面积大于3时，的取值范围． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． （1）求的面积； （2）如图2，点在直线上，且在直线上方，点是轴上一动点，连接，，，当时，求点的坐标，以及此时的最小值； （3）在（2）问条件下，点是轴上一动点，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出此时点的坐标． 25. 如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． （1）求证：； （2）探究，的数量关系，并证明； （3）当面积最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 綦江区2025—2026学年度（下）期末考试 初2027届数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 考生注意： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列各组数不能构成直角三角形边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，只需验证两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项 ，能构成直角三角形，不符合题意； B选项 ，能构成直角三角形，不符合题意； C选项 ，，，不能构成直角三角形，符合题意； D选项 ，能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加减，乘方，乘除运算规则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵∴A错误． 选项B：∵∴B错误． 选项C：∵∴C错误． 选项D：∵∴D正确． 4. 如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及平行四边形面积的计算． 先根据平行四边形对边相等求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，  ，  ，  ， 在中，，，  ，  ． 6. 綦江木瓜(又称皱皮木瓜)是重庆市綦江区的特色农产品，也是国家地理标志产品，种植历史超百年，綦江也被命名为“中国优秀木瓜之乡”．綦江某木瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量(单位：)如下： 甲：，，，，， 乙：，，，，， 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的( ) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的意义，根据各统计量的作用即可判断． 【详解】解：若要判断哪块田的产量更稳定，即需要比较数据的波动大小， ∴应比较两组数据的方差． 7. 估计的值应在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式化简为最简结果，再通过比较被开方数的大小估算结果范围． 【详解】解：， 又∵， ∴， 即原式的值在3与4之间． 8. 近年来，綦江区大力发展“横山大米”“赶水草蔸萝卜”等特色农产品电商，物流需求大增．某物流公司的货车从重庆主城出发，先行驶的城市普通道路后，进入兰海高速渝黔段，在高速路上匀速行驶一段时间后，驶出高速，再在通往綦江横山旅游度假区的乡村道路上行驶1小时，到达山上的农产品集散中心．汽车行驶的时间（单位：）与行驶的路程（单位：）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（） A. 汽车在高速路上行驶了 B. 汽车在高速路上行驶的路程是 C. 汽车在高速路上行驶的平均速度是 D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象和题意，确定三段路程（城市道路、高速公路、乡村道路）对应的时间段和路程段，分别计算时间和路程，进而求出速度进行判断． 【详解】解：由图象及题意可知：第一段为城市普通道路，时间，路程； 第三段为乡村道路，行驶时间为，终点时刻为，则起始时刻为，对应路程为； 第二段为高速公路，时间段为，路程段为． 对于A，汽车在高速路上行驶的时间为，故A错误； 对于B，汽车在高速路上行驶的路程为，故B错误； 对于C，汽车在高速路上行驶的平均速度为，故C错误； 对于D，汽车在乡村道路上行驶的路程为，时间为，平均速度为，故D正确． 9. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而证得是等边三角形，利用勾股定理求出的长，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，  ∴，  ∵，点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴， 在中，，  ∴菱形的面积为．  10. 给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①当时，； ②当时，； ③． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据递推公式找出数列的循环周期，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：首先根据递推公式推导数列周期： ∵，， ∴， ， ， ， ∴这列数每个一循环， 验证①：当时，， ，①正确； 验证②：， 两边平方得， 展开得， 整理得，②正确； 验证③：计算一个周期的乘积： ，即每项乘积为， ， ，③正确； 综上，①②③都正确，正确个数为． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 直线与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为，因此令，计算得到对应的值，即可得到直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则． 因此直线与轴的交点坐标为． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 13. 中国现代民间绘画画乡綦江的农民版画是重庆市非物质文化遗产，2026年4月，在“巴渝印学版艺润心”重庆市首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是_________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题思路为根据各指标的权重与对应得分，利用加权平均数的计算方法求解总成绩即可． 【详解】解：． 14. 在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【解析】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 15. 对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差大1，且百位数字与十位数字的差为非负数，则称这个四位数为“夜郎数”．将“夜郎数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到，并记．最小的“夜郎数”的值为_________；若为“夜郎数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设四位数的千位为，百位为，十位为，个位为，根据“夜郎数”定义得到约束条件，化简的表达式，先根据四位数最小的要求求解最小夜郎数，再根据被整除的条件，结合数位性质求的最大值． 【详解】解：设四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数， 根据“夜郎数”的定义可得：， 整理第一个等式得：， ，交换后得到， ， 将代入化简得：， 要得到最小的四位“夜郎数”，先取最小的千位，再依次让最小， 代入，得， 由，取，可得，进而， 因此最小的“夜郎数”是； 因为能被整除， 设，则， 要使最大，需取最大值， 最大可能为，小于的最大符合条件的， 验证存在性：即，代入得， 由得，满足，且得， 故存在符合条件的四位数，因此成立，代入得． 16. 如图，在平行四边形中，为上一点，于点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接，若，，，，则点到直线的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长；利用折叠的性质可知，；过点作于点，交于点，设，，在和中利用勾股定理建立方程组求出的值；最后利用等面积法求出点到直线的距离 ． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，，   ， ，  ，， 在中，，  由折叠的性质可知：，，  如图，过点作于点，交于点， 设，，  ∵ ，， ∴， ，  四边形是矩形， ∴， ∴，  在中， ①， 在上，，在上，在上，， 点到直线的距离为，  ，  在中，，  ，  整理得：，  将①代入得：，  ， 即，  代入①得：，  ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去），  点到的距离为，  设点到直线的距离为，  ，  ，  ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题，第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值，化简二次根式，运用平方差公式展开，再计算加减即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式；再计算出x的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：原式   ， ，   将代入得，原式． 19. 如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． 20. 阅读材料，完成问题： 加密术（Cryptography）是通过特定算法和密钥，将可读的明文转换为不可读的密文，以防止未授权者窃取或篡改信息的技术，其核心目标是保障数据的机密性、完整性及身份认证．抗战时期，重庆就是全国情报核心，如今，重庆是国家密码管理局批准的西部地区首个商用密码应用安全性评估机构所在地．加密术让小明着迷，他决定自己设计一套以一次函数为算法的加密方法：某天，小明给好朋友小红发送了一条加密信息，上面写着三个数字：17，29，53．同时，小明通过安全渠道告诉小红：“当明文是时，加密后得到；当明文是时，加密后得．”小红需要根据这两个对应关系，确定密钥和，然后才能解密剩下的数字53． （1）请求出加密函数中和的值． （2）当密文为53时，请求出对应的明文． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）由（1）得，将代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入，得， 解得． 21. 綦江某中学开展了“创建全国文明城区垃圾分类知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________，_________； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，那么选_________年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】（1）85，71，84，30 （2）八 （3）该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图即可求出D组和C组的人数，结合B组的人数，求出A 组的人数，再利用中位数定义即可求出a和c的值，求出第一四分位数即可确定b，最后求得A组所占的百分数即可求得m的值； （2）根据方差进行分析即可解答； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组有（人）， 根据题意可得B组中有7人，故A组中有人， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是85，85， ∴， 八年级20名学生竞赛成绩从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数， 方法一：，第一四分位数为第和第个数的平均数， 方法二：八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即为第和第个数的平均数：． ∵八年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，85， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个， ∴，即． 【小问2详解】 解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人． 22. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：， ， ， ， 在和中， ． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可由角边角推出全等； （2）先根据勾股定理求出的长，再用求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ． 23. 如图1，在四边形中，，，，点是四边形边上的一个动点，点从出发，经过点到点停止．记点走过的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象；观察函数图象，请写出一条该函数的性质； （3）结合函数图象，请直接写出面积大于3时，的取值范围． 【答案】（1） （2）如图所示为的函数图象，当 时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）按点的位置分两种情况讨论：当在边上时，对应的范围是；当在边上时，对应的范围是  ， 对于每种情况，用四边形的面积减去其余2个小三角形的面积，或者直接用三角形面积公式，结合已知边长和表示的各段长度，推导与的函数关系式； （2）得到分段函数后，根据每段函数的类型和自变量范围，在坐标系中描点、连线画出图象，再从单调性、最值等角度总结函数性质； （3）分别在两段函数中令，解不等式，结合对应自变量范围得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵ ，，，， ∴梯形面积 ， ① 当点在上，即 时： ∴ ，， ∴ ， ② 当点在上，即  时： ∴， 且的高为， ∴， ∴函数关系式为：  【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图像可得，当面积大于3时，即函数图像中， ∴当时， ， ∴，解得， 当时， ， ∴ ，解得， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． （1）求的面积； （2）如图2，点在直线上，且在直线上方，点是轴上一动点，连接，，，当时，求点的坐标，以及此时的最小值； （3）在（2）问条件下，点是轴上一动点，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由直线的解析式求出，，的点坐标，根据即可求解； （2）根据，解得点的坐标，作点关于轴的对称点，当点，，三点共线时，有最小值，根据勾股定理即可求解； （3）在轴上可找到4个点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，利用菱形的性质、两点之间的距离公式、两点之间的中点公式、勾股定理可求解的坐标． 【小问1详解】 解：令，代入中， ，解得，∴， 令，代入中， ，解得，∴， ∴， 联立， 解得， ∴， ； 【小问2详解】 解： 令，代入中， 解得，∴， ∴，， ∴， 点在直线上，设， ∵点在直线上方， ∴， ∵， ， ∴，解得， ∴， 作点关于轴的对称点，， ， 当点，，三点共线时，有最小值， ， ∵， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：设的解析式为， 把，代入解析式中，得， 解得， ∴的解析式为， 令，代入中，解得，∴， ， 点是轴上一动点，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形， ①点为点关于的对称点，此时四边形是菱形， ， ∴， ②， 点在点右侧时，，四边形是菱形， 点在点左侧时，，四边形是菱形， ③，为菱形的对角线，，互相垂直平分且交于点， 则， ∴点是点和点、点和点的中点， ∵，， ∴，， ∴设， 则， ， 在中，， ∴ 解得， ∴， 综上所述，或或或． 25. 如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． （1）求证：； （2）探究，的数量关系，并证明； （3）当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：，理由如下： 如图所示，过点作交于点，连接， ， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ， ∴， 又， ∴， 由折叠知，所在直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，根据“等角减去相等的角仍相等”证明即可； （2）过点作交于点，利用正方形的性质证得与，从而证得，再根据折叠的性质证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）由（2）可知多边形的面积，根据，边上的高等于正方形的边长得到当时，最小，此时最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：见答案 【小问2详解】 证明：见答案 【小问3详解】 解：由（2）知，，， ∴，多边形的面积， 在中，，边上的高等于正方形的边长， ∴作的外接圆，连接，过点作， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，则， 欲最小，则需最小， 当过圆心时，最小，最小，此时， ∴当时，最小，此时最大， 如图所示， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由折叠的性质知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $