2.5 有理数的混合运算 预习 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 5 节 有理数的混合运算 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时28分钟） ✅ 完成目标：掌握有理数混合运算顺序、运算律简便计算 1.通读课本 P64-P65 混合运算与 24 点内容，自主完成知识点 1-3、概念 1-2 的挖空填写 2.背诵三级运算顺序口诀，熟练掌握先乘方、再乘除、后加减的规则 3.完成基础训练题相关题目，对照答案订正 打卡自检：能按正确顺序完成三步以内的混合运算，不出现运算顺序错误 【Day2 预习任务】（建议用时 27 分钟） ✅ 完成目标：掌握计算器使用、近似数与复杂混合运算 1.通读课本 P66-P69 计算器、近似数与习题部分，自主完成知识点 4-5、概念 3-5 的挖空填写 2.背诵四舍五入取近似数的方法，理解精确度的含义 3.完成基础训练相关题目，对照答案订正 打卡自检：能正确取不同精确度的近似数，完成含乘方、括号的复杂混合运算 一、核心知识点梳理 知识点 1：有理数混合运算的顺序 有理数混合运算的三级优先级：先算______，再算______，最后算______； 如果算式中有括号，先算______里面的；多层括号时，按照从内到外的顺序依次计算。 同级运算（只有加减，或只有乘除），严格按照从____往____的顺序计算。 ⚠️ 易错点标注：乘方是最高级运算，优先级高于乘除！很多同学会先算乘除后算乘方，这是最常见的顺序错误。 知识点 2：运算律的简便应用 小学学过的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，在有理数混合运算中仍然成立。 常用简便技巧：互为相反数的项先结合、凑整数先结合、同分母分数先结合、逆用乘法分配律。 ⚠️ 易错点标注：使用乘法分配律时，括号外的因数必须乘遍括号内的每一项，尤其注意负号不要漏乘、错乘。 知识点 3：“24 点” 游戏规则 从扑克牌中抽取 4 张，每张牌必须用且只能用一次，通过加、减、乘、除和添加括号进行混合运算，使结果为______或______。 红色牌代表负数，黑色牌代表正数；A 代表 1，J 代表 11，Q 代表 12，K 代表 13。 常用凑数思路：凑(3×8)、(4×6)、(12×2)、(24×1)，或通过加减逐步凑出 24。 知识点 4：科学计算器的使用 科学计算器可完成有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算；按键顺序遵循运算顺序规则， 计算结果可以在分数形式和小数形式之间切换。 知识点 5：近似数与精确度 生活中通过测量得到的数据大多是近似数，常用______法取近似数。 精确度：指近似数与准确数的接近程度，精确到某一位时，就对这一位的下一位进行四舍五入判断。 ⚠️ 易错点标注：精确到 0.1 = 精确到十分位，精确到 1 = 精确到个位，精确到 0.01 = 精确到百分位，不要混淆数位名称。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 运算顺序颠倒 优先级：乘方 > 乘除 > 加减，有括号先算括号内 分配律漏乘项 括号外因数要乘遍括号内所有项，符号一起带 乘方符号算错 负数偶次幂正，奇次幂负 同级乱换顺序 同级运算从左往右，不能随意调换先后 近似数数位错 精确到哪一位，就看下一位四舍五入 二、基本概念定义 有理数混合运算：同时包含加、减、乘、除、______中两种及以上运算的有理数算式，叫作有理数混合运算。 运算顺序：进行混合运算时统一规定的计算先后______，保证运算结果唯一确定。 近似数：与准确数相近、存在微小偏差的数，生活中测量类数据大多是______。 四舍五入法：取近似数的常用方法，精确到某一位时，对它的______一位数字判断：小于 5 舍去，大于等于 5 向前一位进 1。 精确度：描述近似数与准确数______的程度，通常表述为 “精确到某一位”。 三、数学思想方法 1. 转化思想 将复杂的混合运算逐步拆解、转化为单一的加减乘除乘方运算；将除法转化为乘法、减法转化为加法，用统一规则解决问题。 2. 优化思想 灵活运用运算律调整运算顺序，选择最简便的计算路径，减少计算步骤，降低出错概率，提升运算效率。 3. 整体思想 把括号内的算式、相同的因式看作一个整体处理，比如逆用乘法分配律、整体代换求值，简化复杂运算。 4. 建模思想 用有理数混合运算建立数学模型，解决 24 点游戏、测量计算、生活实际问题等不同场景的计算需求。 5. 分类讨论思想 在 24 点凑数时，分类尝试不同运算组合；取近似数时，分类判断数字是 “舍” 还是 “入”，确保结果准确。 四、预习训练 一、选择题 1.按照运算顺序，计算第一步应算（        ） A. B. C.同时计算 D.无法确定 2.要使算式□的计算结果最大，则在“□”里填入的运算符号应是（       ） A. B. C. D. 3.已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求（       ） A.9 B. C.7 D. 4.定义一种新运算：，则的结果为（       ） A.6 B.-6 C. D. 5.下列近似数的叙述不正确的是（       ） A.0.013精确到千分位 B.1008精确到个位 C.2.7万精确到万位 D.精确到千位 6.2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（       ） A.十分位 B.十位 C.千位 D.万位 7.若用科学计算器进行计算，按键顺序如下： 则输出的结果应为（       ） A. B. C. D. 8.“算点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是，例如，给出，，，这四个数， 可以列式．以下的个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为的是（       ） A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 二、 填空题   9.从，，，这五个数中任取两个数相乘．若所得积中的最大值为，最小值为，则的值为______________． 10.计算：____________________． 11.对于有理数a、b，定义一种新运算：，如，则的值为______．  12.你会玩“24点”游戏吗？请将3，4，5，9这四个数（每一个数只能用一次）用仅含有加、减、乘、除及括号进行运算，使其结果等于24．写出你的算式（只写一个即可）________． 13.数精确到________位． 14.2025年11月11日清晨，承载着南昌地理溯源、文化传承与城市精神的新地标——城市原点在八一广场正式揭幕．其核心标志是一块镶嵌在地面，直径为2.7米的圆形铜铸浮雕，面积约为5.72平方米．近似数5.72精确到_______位． 15.现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案_______． 三、 解答题   16.计算： （1）； （2）． 17.计算： （1） （2） （3） （4） 18.小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题： （1）若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ （2）从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可） 19.“点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下张，任意抽取张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“点”游戏时，小明抽到以下张牌表示： 请你帮他写出运算结果为的算式：（写出个） __________________________；_________________________； （2）善于思考的小明发现这张牌还能计算得出至（包括和）中的整数，则以下结论正确的是（       ） ①能计算出至（包括和）中的所有整数； ②只能计算出，，，，； ③除外的其它整数都能计算出；④除和外的其它整数都能计算出；⑤以上选项均不正确 20.下表是某校年龄都是13岁的5位同学的体重（单位：kg）情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．已知编号5的同学的体重是．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄． 编号 1 2 3 4 5 体重情况 0 m （1）①写出表格中m的值； ②体重是标准体重的同学的编号是_________； （2）求这5位同学的体重的平均值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 5 节 有理数的混合运算 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时28分钟） ✅ 完成目标：掌握有理数混合运算顺序、运算律简便计算 1.通读课本 P64-P65 混合运算与 24 点内容，自主完成知识点 1-3、概念 1-2 的挖空填写 2.背诵三级运算顺序口诀，熟练掌握先乘方、再乘除、后加减的规则 3.完成基础训练题相关题目，对照答案订正 打卡自检：能按正确顺序完成三步以内的混合运算，不出现运算顺序错误 【Day2 预习任务】（建议用时 27 分钟） ✅ 完成目标：掌握计算器使用、近似数与复杂混合运算 1.通读课本 P66-P69 计算器、近似数与习题部分，自主完成知识点 4-5、概念 3-5 的挖空填写 2.背诵四舍五入取近似数的方法，理解精确度的含义 3.完成基础训练相关题目，对照答案订正 打卡自检：能正确取不同精确度的近似数，完成含乘方、括号的复杂混合运算 一、核心知识点梳理 知识点 1：有理数混合运算的顺序 有理数混合运算的三级优先级：先算___乘方___，再算___乘除___，最后算___加减___； 如果算式中有括号，先算___括号___里面的；多层括号时，按照从内到外的顺序依次计算。 同级运算（只有加减，或只有乘除），严格按照从__左__往__右__的顺序计算。 ⚠️ 易错点标注：乘方是最高级运算，优先级高于乘除！很多同学会先算乘除后算乘方，这是最常见的顺序错误。 知识点 2：运算律的简便应用 小学学过的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，在有理数混合运算中仍然成立。 常用简便技巧：互为相反数的项先结合、凑整数先结合、同分母分数先结合、逆用乘法分配律。 ⚠️ 易错点标注：使用乘法分配律时，括号外的因数必须乘遍括号内的每一项，尤其注意负号不要漏乘、错乘。 知识点 3：“24 点” 游戏规则 从扑克牌中抽取 4 张，每张牌必须用且只能用一次，通过加、减、乘、除和添加括号进行混合运算，使结果为___24___或___-24___。 红色牌代表负数，黑色牌代表正数；A 代表 1，J 代表 11，Q 代表 12，K 代表 13。 常用凑数思路：凑(3×8)、(4×6)、(12×2)、(24×1)，或通过加减逐步凑出 24。 知识点 4：科学计算器的使用 科学计算器可完成有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算；按键顺序遵循运算顺序规则， 计算结果可以在分数形式和小数形式之间切换。 知识点 5：近似数与精确度 生活中通过测量得到的数据大多是近似数，常用__四舍五入____法取近似数。 精确度：指近似数与准确数的接近程度，精确到某一位时，就对这一位的下一位进行四舍五入判断。 ⚠️ 易错点标注：精确到 0.1 = 精确到十分位，精确到 1 = 精确到个位，精确到 0.01 = 精确到百分位，不要混淆数位名称。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 运算顺序颠倒 优先级：乘方 > 乘除 > 加减，有括号先算括号内 分配律漏乘项 括号外因数要乘遍括号内所有项，符号一起带 乘方符号算错 负数偶次幂正，奇次幂负 同级乱换顺序 同级运算从左往右，不能随意调换先后 近似数数位错 精确到哪一位，就看下一位四舍五入 二、基本概念定义 有理数混合运算：同时包含加、减、乘、除、___乘方___中两种及以上运算的有理数算式，叫作有理数混合运算。 运算顺序：进行混合运算时统一规定的计算先后___乘方后乘除 ，再乘除，最后加减___，保证运算结果唯一确定。 近似数：与准确数相近、存在微小偏差的数，生活中测量类数据大多是__近似数____。 四舍五入法：取近似数的常用方法，精确到某一位时，对它的__下____一位数字判断：小于 5 舍去，大于等于 5 向前一位进 1。 精确度：描述近似数与准确数___接近___的程度，通常表述为 “精确到某一位”。 三、数学思想方法 1. 转化思想 将复杂的混合运算逐步拆解、转化为单一的加减乘除乘方运算；将除法转化为乘法、减法转化为加法，用统一规则解决问题。 2. 优化思想 灵活运用运算律调整运算顺序，选择最简便的计算路径，减少计算步骤，降低出错概率，提升运算效率。 3. 整体思想 把括号内的算式、相同的因式看作一个整体处理，比如逆用乘法分配律、整体代换求值，简化复杂运算。 4. 建模思想 用有理数混合运算建立数学模型，解决 24 点游戏、测量计算、生活实际问题等不同场景的计算需求。 5. 分类讨论思想 在 24 点凑数时，分类尝试不同运算组合；取近似数时，分类判断数字是 “舍” 还是 “入”，确保结果准确。 四、预习训练 一、选择题 1.按照运算顺序，计算第一步应算（        ） A. B. C.同时计算 D.无法确定 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算4÷（-2）. 故选：B.  2.要使算式□的计算结果最大，则在“□”里填入的运算符号应是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了乘方运算，有理数的四则运算及有理数大小比较．先计算 和 的值，再分别代入四种运算，比较结果大小，最大结果对应的运算符号即为答案. 【解答】 解： （-2） 分别计算： 计算结果最大为7，对应运算符号为+， 故选：A. 3.已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求（       ） A.9 B. C.7 D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查相反数、倒数、最大负整数、代数式的值等知识，利用相反数、倒数和最大负整数的性质，直接代入计算. 【解答】 解： 互为相反数， 互为倒数， 是最大的负整数， 故选：B. 4.定义一种新运算：，则的结果为（       ） A.6 B.-6 C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查新定义运算。根据新运算的定义，直接代入数值计算即可. 【解答】 故选：D. 5.下列近似数的叙述不正确的是（       ） A.0.013精确到千分位 B.1008精确到个位 C.2.7万精确到万位 D.精确到千位 【答案】 C 【解析】 本题考查了近似数的精确度“精确度表示一个近似数与准确数的接近程度。一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的精确度的定义是解题关键。根据近似数的精确度的定义逐项判断即可得. 【解答】 解：A、0.013的最后一位数字3在千分位，则0.013精确到千分位，则此项正确，不符合题意； B、1008的最后一位数字8在个位，则1008精确到个位，则此项正确，不符合题意； C、2.7万=27000，数字7在千位，则2.7万精确到千位，则此项错误，符合题意； D、 ，数字4在千位，则 精确到千位，则此项正确，不符合题意； 故选：C.  6.2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（       ） A.十分位 B.十位 C.千位 D.万位 【答案】 C 【解析】 本题考查近似数的精确度，解题的关键是理解近似数精确到哪一位的判断方法. 先将54.9万还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的位数. 【解答】 ， 在近似数54.9万中，数字9在千位上，所以近似数“54.9万”精确到千位， 故选：C. 7.若用科学计算器进行计算，按键顺序如下： 则输出的结果应为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了计算器的使用，解题的关键是理解计算器的按键顺序，写出计算的式子．根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【解答】 解：， 故选：． 8.“算点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是，例如，给出，，，这四个数， 可以列式．以下的个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为的是（       ） A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【答案】 A 【解析】 根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【解答】 项，，，，，不能算出结果为，故符合题意； 项，，能算出结果为，故不符合题意； 项，，能算出结果为，故不符合题意； 项，，能算出结果为，故不符合题意； 故选：． 二、 填空题   9.从，，，这五个数中任取两个数相乘．若所得积中的最大值为，最小值为，则的值为_____12_________． 【答案】 【解析】 本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则. 先求出最大值和最小值，然后代入计算即可. 【解答】 解：由题意可得： 最大值最小值 所以 故答案为：． 10.计算：_____________________． 【答案】 【解析】 根据有理数乘、除法法则计算即可. 【解答】 ， 故答案为：．  11.对于有理数a、b，定义一种新运算：，如，则的值为___-6_____． 【答案】 -6 【解析】 根据新定义的运算规则，将对应有理数代入运算公式，再依据有理数的运算法则进行计算即可. 【解答】 解：由新定义运算 可得 故答案为：．  12.你会玩“24点”游戏吗？请将3，4，5，9这四个数（每一个数只能用一次）用仅含有加、减、乘、除及括号进行运算，使其结果等于24．写出你的算式（只写一个即可）___ _____． 【答案】 【解析】 根据有理数的混合运算即可写出算式. 【解答】 依题意可得 故答案为：   13.数精确到___百_____位． 【答案】 百 【解析】 本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数. 近似数 ，精确到 位，即百位. 【解答】 解：数 精确到百位. 故答案为：百. 14.2025年11月11日清晨，承载着南昌地理溯源、文化传承与城市精神的新地标——城市原点在八一广场正式揭幕．其核心标志是一块镶嵌在地面，直径为2.7米的圆形铜铸浮雕，面积约为5.72平方米．近似数5.72精确到___百分_____位． 【答案】 百分 【解析】 本题主要考查了近似数， 近似数的精确度由其最后一位数字所在的数位决定，5.72的最后一位数字2位于百分位. 【解答】 解：近似数5.72是两位小数，小数点后第二位为百分位，数字2在此位上，因此精确到百分位. 故答案为：百分.  15.现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___二_____． 【答案】 二 【解析】 本题考查了有理数混合运算的应用. 根据方案分别算出两种回报的总钱数, 再进行比较即可. 【解答】 解：方案一的总回报： （元）； 方案二最后一天的回报： （元）， 总回报： （元）， 故答案为：二. 三、 解答题   16.计算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： ; （2）解：   17.计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】 36 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： （2）解： ; （3）解： ; （4）解： .  18.小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题： （1）若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ （2）从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可） 【答案】 -5和-3 ${ [ - 3 - (- 5) ] \times (+ 3) \times (+ 4) = 2 \times 3 \times 4 = 2 4}$ 【解析】 （1）找出两个数字，使其积最大即可； （2）利用24点游戏规则判断即可. 【解答】 （1）解： 可知两张卡片上的数字分别是-5和-3时，乘积最大； （2）解：根据题意得：   19.“点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下张，任意抽取张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“点”游戏时，小明抽到以下张牌表示： 请你帮他写出运算结果为的算式：（写出个） __________________________；___________（答案不唯一）_______________； （2）善于思考的小明发现这张牌还能计算得出至（包括和）中的整数，则以下结论正确的是（       ） ①能计算出至（包括和）中的所有整数； ②只能计算出，，，，； ③除外的其它整数都能计算出；④除和外的其它整数都能计算出；⑤以上选项均不正确 【答案】 ，（答案不唯一） ① 【解析】 （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【解答】 （1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出至（包括和）中的所有整数， 故答案为：①．  20.下表是某校年龄都是13岁的5位同学的体重（单位：kg）情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．已知编号5的同学的体重是．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄． 编号 1 2 3 4 5 体重情况 0 m （1）①写出表格中m的值； ②体重是标准体重的同学的编号是_____4_____； （2）求这5位同学的体重的平均值． 【答案】 ①5.5；②4 这五位同学的体重的平均值是44.6 【解析】 （1）①根据题意先计算13岁学生的标准体重，再计算编号5的同学超出标准体重的重量，即可得到本题答案；②因为编号4同学的体重情况为0，即可得到本题答案. （2）根据题意先计算标准体重，继而得到平均值. 【解答】 （1）解：① 13岁学生的标准体重为：， 编号5的同学体重是48.5kg， 超出标准体重：48.5-43=5.5kg， ， ② 编号4同学的体重情况为0， 编号4同学为标准体重， 故答案为：4; （2）解：根据题意可知，标准体重 . 体重的平均值 . 答：这五位同学的体重的平均值是44.6. 学科网（北京）股份有限公司 $