第十四章 全等三角形 03讲 角的平分线 预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“全等三角形”中“角的平分线”核心知识点，系统梳理尺规作图（作已知角的平分线）、性质（角平分线上的点到两边距离相等）、判定（角内部到两边距离相等的点在角平分线上），并延伸至综合应用与实际应用，构建从基础作图到性质判定再到综合运用的学习支架。 该资料以题型归纳为脉络，通过实际应用（如加油站位置问题）培养数学眼光，尺规作图证明（SSS全等推理）强化数学思维，性质判定的符号语言表述提升数学语言能力。课中辅助教师系统授课，课后巩固练习助力学生查漏补缺，夯实知识体系。

第十四章 全等三角形 03讲 角的平分线 题型归纳 【题型1. 尺规作图——作角平分 3】 【题型2. 角平分线的性质 7】 【题型3. 角平分线的判定 12】 【题型4. 角平分线性质的实际应用 16】 【题型5. 角平分线的性质与判定综合 18】 【巩固练习 24】 知识清单 知识点1 尺规作图（作已知角的平分线） 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）如图（1），以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （2）如图（2），分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； （3）如图（3），画射线OP．射线OP即为所求． （1） （2） （3） 证明：如图，连结CP，DP 由步骤（1）作法可知，OC=OD；由步骤（2）作法可知，CP=DP 在△OCP和△ODP中， ∴ ∴ △OCP△ODP（SSS） ∴ ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB 知识点2 角平分线的性质 1.内容：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 2.数学语言： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ∴ PD=PE 3.【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角平分线的判定 1.内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 2.数学语言： ∵ PD⊥AO，PE⊥OB，且PD=PE ∴ OP是∠AOB的平分线 3.扩展：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 题型专练 题型1. 尺规作图——作角平分线 【例1】如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 边上求作一点D，使点 D 到边的距离等于长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．作的角平分线交于点D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可解答． 【详解】解：如图，点D 即为所求． 【例2】如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的判定．注意：内错角相等，两直线平行． （1）利用基本作图作平分，即可； （2）利用平分得到，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形外角性质证明，从而可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图① ，分别以点________和点________为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点________和点________． (2)如图② ，以点________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边________，________于点________，________． 【答案】(1)，，， (2)，，，， 【分析】本题考查了尺规作图的基本知识，熟练掌握作图语言、熟悉常见的基本作图是解题的关键； （1）根据作线段的垂直平分线的尺规作图方法即可完成． （2）如图 ② 容易得出弧的圆心为点，与和的交点分别为点和． 【详解】（1）解：根据题意得，分别以点P和点Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N； 故答案为：，，，． （2）解：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边，于点，． 故答案为：，，，，． 【变式2】尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (1)如图，请作一个角与已知角相等的角； (2)已知：如图，， 求作：在内部作点P，使，且点P到射线和射线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图，点P即为所求． 【变式3】如图，在中，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图作角平分线即可； （2）如图：过点D 作于点E，由角平分线的性质可得，易得可得；再说明，根据等角对等边可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：如图：过点D 作于点E， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 题型2. 角平分线的性质 【例1】如图，平分，于点，若，则到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵到的距离即为，且， 又∵平分， 且，， ∴， ∴到的距离为2． 【例2】如图，在中，，平分，，，则的面积为 _________ ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 【变式2】到三边距离相等的点是（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条内角角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三角形三边距离相等的点应为三个内角角平分线的交点． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点称为三角形的内心．内心是三角形三个内角平分线的交点，根据角平分线的性质，该点到各边的距离相等．选项C对应三条内角角平分线的交点，符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，在中，平分，若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5】如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2）解：在和中， ． 答：BE的长为． 题型3. 角平分线的判定 【例1】如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，再证明是的平分线，再进一步求解即可． 【详解】连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】证明：是的中点， ， ，， ， 在和中，   ， ， 平分． 【变式1】如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证． 利用角平分线的判定定理分析．由已知点P到、、的距离恰好相等进行思考，首先到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得． 【详解】解：∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上， 故①正确； ∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上， 故②正确； ∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上，故③正确； ∵点P到、、的距离都相等， ∴恰好是、、三条平分线的交点，故④正确； 综上可得①②③④都正确． 故选：A． 【变式2】如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为_________． 【答案】/104度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理应用，熟练掌握角平分线的判定定理，是解题的关键．根据点P到三边，，的距离，得出、是、的角平分线，然后根据三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点P到三边，，的距离， ∴、是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．根据垂直的定义得到，根据判定，得出，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【变式4】在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关键．由题意得出，，即易证，得出，说明点在的平分线上． 【详解】解：∵为的中点， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上． 题型4. 角平分线性质的实际应用 【例1】如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 【变式1】某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 【变式2】如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 【变式3】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是________．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 题型5. 角平分线的性质与判定综合 【例1】如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______ （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______ ， ∴， ∴______ （等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______ ） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） 【例2】如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于，    ，平分，平分， ，， ， 平分． 【变式1】如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （1）作于，根据角平分线的性质证明结论； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：如图所示，作于， 、分别为的两个外角平分线，，，， ，， ； （2）证明：由（1）， ∵，， 点在的平分线上． 【变式2】图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 【变式3】如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 巩固练习 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．30 C．36 D．42 【答案】B 【分析】过点作延长线交于点，根据角平分线的性质解题即可． 【详解】解：如图，过点作延长线交于点， ∵平分， ∴， ∴ ． 2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，则的面积为（   ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】D 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，，， ， ，， ． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（　　）． A．3 B．1.5 C．6 D．5 【答案】A 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， 点到的距离为． 4．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用角平分线的性质证明，由全等三角形的性质得，最后由即可得解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 【点睛】解题关键是利用角平分线的性质证明． 5．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】过点M作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：如图，过点M作于E， ∵平分，， ∴， ∵D在上， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·广东河源·月考）下列命题中，是真命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．尺规作图作一个角的平分线的依据是 C．有两条边相等的两个直角三角形一定全等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：∵直角三角形内角和为，其中一个内角为， ∴另外两个锐角的和为，即两锐角互余，故A是真命题； 尺规作图作角平分线是通过构造三边对应相等的两个三角形全等，依据是，并非，故B是假命题； 若一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边相等，即使有两条边相等，两个三角形也不全等，故C是假命题； 同底等高的两个三角形面积相等，但形状不同，不全等，故D是假命题． 7．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若且的面积为12，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作， ，， ， ∵和分别平分和， ∴，， 且的面积为12， ， ． 8．（2026·上海奉贤·二模）已知点在内．如果点到边的距离相等，且，那么点的位置是（  ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【详解】解：如图，分别作射线，，交于点M， 分别过点A，C作于点M，于点N， 当时， 由两个三角形同底等高，可知， ∵， ∴， 则有， 为边的中线， 由于点到边 的距离相等， ∴点H在平分线上， ∴点H为的角平分线与边上中线的交点 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是的一条角平分线，则__________．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，先根据三角形的内角和定理计算的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和计算的度数即可．注意：在三角形中求角的度数时常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵是的一条角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 10．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________ 【答案】 【分析】过点分别作于，于，于，可得，进而得到. 【详解】解：过点分别作于，于，于， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴. 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据基本作图得到平分，过点作于，如图，则根据角平分线的性质得到，再利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题； 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图， ，即， ， ， ，，，， ， ， ， ， 点为边上的一动点， 当时，点到的距离最短，即最小，即为， 的最小值为． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，点O到的三边距离相等，，则________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：到三边的距离相等， 是三条角平分线的交点， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·四川·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 【答案】 12 8 【分析】①，则，，求得，设，则，利用四边形的面积为16，即可求解； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得，证明，得到，，推出当A，B，Q共线时，最小，即最小，再证明，求得与面积相等，据此求解即可． 【详解】解：①∵对角线平分， ∴点到和的距离相等， 设这个距离为，再设，则，， ∴，， ∴， 设，则， ∵四边形的面积为16，∴， 解得， ∴； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴当A，B，Q共线时，最小，即最小， ∵平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与面积相等， ∴的面积为． 14．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）解：∵，，为的角平分线， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）解：射线即为所求； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，请用尺规作图法在内部求作一点，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线和角的作图．作的角平分线，在上方作，所作的两条射线交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求， 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 18．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）如图，，，分别是，的对应边上的高． ①求证：； ②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ； （2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，，且对应边相交于点F，连接．求证：平分． 【答案】（1）①见解析；②相等；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由全等三角形的性质可得，再利用证明，即可证明结论；②根据①即可得到答案； （2）过点C作于点G，于点H，由（1）可得，再由角平分线的判定定理可证明结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ∵，分别是，的对应边上的高， ∴， ∴， ∴； ②由①可得全等三角形对应边上的高相等； （2）如图所示，过点C作于点G，于点H， ∵，，， ∴， ∴平分． 19．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)25 【分析】（1）因为，，且为公共边，所以可利用全等三角形判定定理证明和全等，那么和相等，即可判断是的平分线． （2）因为是角平分线，，所以可利用角平分线的性质得到点到的距离；由于的面积等于和的面积之和，所以可根据三角形面积公式列出关于的方程，进而求解的长． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 由题意得 ，，又 ， ， ， 即是的平分线． （2）解：过点作于， 是的平分线，， ∴． 设， ∵ ， ∴， ∴， 解得． 即的长为． 20．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平角的定义可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可证得，，从而得到，即可证得． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又∵点在的内部， ∴平分． 21．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴． 22．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 【答案】(1) (2) (3)不成立，新的结论是： 【分析】（1）根据平分得，根据于点，于点得，由此依据“”判定，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点C作于点E，于点F，证明得，，证明，进而依据“”判定得，继而得，，据此即可得出答案； （3）过点C作于点K，于点T，依题意得，证明和全等得，，再证明和全等得，进而得，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作于点E，于点F，如图2所示： ∴， 依题意得：， ∵平分， ∴, 在和中， ， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：不成立，新的结论是：，理由如下： 过点C作于点K，于点T，如图3所示： ∴， 依题意得：， 同理可证明：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. （2）证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 03讲 角的平分线 题型归纳 【题型1. 尺规作图——作角平分 3】 【题型2. 角平分线的性质 5】 【题型3. 角平分线的判定 6】 【题型4. 角平分线性质的实际应用 8】 【题型5. 角平分线的性质与判定综合 9】 【巩固练习 11】 知识清单 知识点1 尺规作图（作已知角的平分线） 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）如图（1），以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （2）如图（2），分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； （3）如图（3），画射线OP．射线OP即为所求． （1） （2） （3） 证明：如图，连结CP，DP 由步骤（1）作法可知，OC=OD；由步骤（2）作法可知，CP=DP 在△OCP和△ODP中， ∴ ∴ △OCP△ODP（SSS） ∴ ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB 知识点2 角平分线的性质 1.内容：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 2.数学语言： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ∴ PD=PE 3.【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角平分线的判定 1.内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 2.数学语言： ∵ PD⊥AO，PE⊥OB，且PD=PE ∴ OP是∠AOB的平分线 3.扩展：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 题型专练 题型1. 尺规作图——作角平分线 【例1】如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 边上求作一点D，使点 D 到边的距离等于长．（保留作图痕迹，不写作法） 【例2】如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 【变式1】如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图① ，分别以点________和点________为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点________和点________． (2)如图② ，以点________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边________，________于点________，________． 【变式2】尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (1)如图，请作一个角与已知角相等的角； (2)已知：如图，， 求作：在内部作点P，使，且点P到射线和射线的距离相等． 【变式3】如图，在中，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点． (2)求证：． 题型2. 角平分线的性质 【例1】如图，平分，于点，若，则到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】如图，在中，，平分，，，则的面积为 _________ ． 【变式1】如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】到三边距离相等的点是（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条内角角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式3】如图，在中，平分，若，，则___________． 【变式4】如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式5】如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 题型3. 角平分线的判定 【例1】如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【变式1】如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为_________． 【变式3】如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 【变式4】在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 题型4. 角平分线性质的实际应用 【例1】如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 【变式1】某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【变式2】如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【变式3】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是________．    题型5. 角平分线的性质与判定综合 【例1】如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______ （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______ ， ∴， ∴______ （等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______ ） 【例2】如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 【变式1】如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 【变式2】图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【变式3】如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 巩固练习 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．30 C．36 D．42 2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，则的面积为（   ） A．6 B．5 C．8 D．4 3．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（　　）． A．3 B．1.5 C．6 D．5 4．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不能确定 6．（25-26八年级上·广东河源·月考）下列命题中，是真命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．尺规作图作一个角的平分线的依据是 C．有两条边相等的两个直角三角形一定全等 D．面积相等的两个三角形全等 7．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若且的面积为12，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2026·上海奉贤·二模）已知点在内．如果点到边的距离相等，且，那么点的位置是（  ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是的一条角平分线，则__________．    10．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________ 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，点O到的三边距离相等，，则________． 13．（25-26七年级下·四川·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 14．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 15．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，请用尺规作图法在内部求作一点，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 18．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）如图，，，分别是，的对应边上的高． ①求证：； ②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ； （2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，，且对应边相交于点F，连接．求证：平分． 19．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 20．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 21．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 22．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 23．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $