01讲 全等三角形及其性质（3大知识点+4大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版八年级上册预习

本讲义聚焦初中数学“全等三角形及其性质”核心知识点，从全等形定义切入，系统梳理全等三角形的概念、对应元素（顶点、边、角）及性质（对应边相等、对应角相等，周长、面积等相等），构建从概念到性质应用的学习支架，涵盖线段长度计算、角度求解及位置关系判断等题型。 该资料以题型归纳为特色，通过例题与变式题结合，强化几何直观（图形示例辅助理解）和推理意识（性质应用逻辑推导）。课中助力教师结构化教学，课后巩固练习覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第十四章 全等三角形 01讲 全等三角形及其性质 题型归纳 【题型1. 全等三角形的概念 2】 【题型2. 全等三角形的性质求线段长度 4】 【题型3. 全等三角形的性质求角度 6】 【题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系 9】 【巩固练习 12】 知识清单 知识点1 全等形 1.定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 知识点2 全等三角形 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点，如图（1）点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边，如图（1）AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角，如图（1）∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3.全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．如图（1）中△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 【提示】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 知识点3 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴ AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 题型专练 题型1. 全等三角形的概念 【例1】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 【例2】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【答案】 对应点 对应边 对应角 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． 【变式1】如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 【变式3】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 题型2. 全等三角形的性质求线段长度 【例1】如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，先根据全等三角形的对应边相等得出，，再由，将数值代入计算即可求解． 【详解】解： ，，， ，， ∴． 故选：D． 【例2】如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得，，即可得的长． 【详解】解：因为，，． 所以，， 则． 【变式1】如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 直接利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，即． 故选：C． 【变式2】如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【变式3】如图，当时，则________． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 【变式4】如图，已知，若，，求的长． 【答案】10 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：， ． ， ∴， ． 【变式5】如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与中线有关的三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）连接，则，求出，结合，，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是的一个外角，则， 又， ； （2）解：如图：连接，则， 又为的中线， ， 同理， ， ，， ， 解得， 故的长为． 题型3. 全等三角形的性质求角度 【例1】如图，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的对应角相等即可求解． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形是全等三角形， 又∵第一个三角形中，边长为的对角是， ∴在第二个三角形中，边长为的对角也是， ∴． 故选：B． 【例2】如图，，则的度数为___________． 【答案】95 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：95． 【变式1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的对应角是． 故选：C． 【变式2】如图，，，，则______． 【答案】/96度 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先利用三角形的内角和定理求得，再根据全等三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由根据直角三角形的性质得出，再由可得，推出，即可求解． 【详解】解： ， ， 又， ， ， ， ， 即． 【变式4】如图，，，，，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的对应角相等，据此求解即可． 【详解】解：， ． 在中，． ， ． ， ． ． 综上，，． 题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系 【例1】如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上． (1)若，，求线段的长． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，求出，最后根据线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判定． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 【例2】如图，，点在同一条直线上，． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形对应角相等得到，则由内错角相等，两直线平行可得； （2）根据全等三角形对应边相等得到，再由线段的和差共线得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题侧重考查全等三角形的性质、邻补角的题目，全等三角形的对应边、对应角分别相等． （1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2），理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)当中时，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理和平行线的性质和判定． （1）根据全等三角形的性质得出，，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：猜想，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴当是直角三角形时，． 【变式3】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式4】如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 巩固练习 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 3．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4. （2026·广东河源·模拟预测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】解： ， ． 在中，． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）下列命题中，是真命题的为（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及直角三角形的性质、对顶角、全等三角形和三角形外角的性质，根据直角三角形的性质，两锐角互余是真命题；其他选项均存在反例，是假命题． 【详解】解：对于A：∵在直角三角形中，两锐角之和为，∴两锐角互余，故A是真命题． 对于B：两个角相等不一定是对顶角，∴B是假命题． 对于C：两个直角三角形面积相等不一定全等，例如直角边分别为和的三角形与直角边分别为和的三角形面积都是但不全等，∴C是假命题． 对于D：三角形的一个外角可能等于或小于某个内角，例如直角三角形中直角处的外角等于直角，∴D是假命题． 故选：A． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．正数都大于零 B．如果，那么 C．两个锐角之和一定是锐角 D．全等三角形的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断真假命题，根据正数的定义，等式基本性质，角度的分类，全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 正数都大于零，是真命题，故该选项不符合题意；     B. 如果，那么，是真命题，故该选项不符合题意； C. 两个锐角之和不一定是锐角，例如是钝角，原命题是假命题，故该选项符合题意；     D. 全等三角形的面积相等，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴，选项C错误，符合题意， 故选：C. 8．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当，时，；②当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当，时，， ∴，， ∴，， 此时，不符合； ②当，时，， ∴，， 解得，， 综上所述：当a的值为1时，能使与全等． 故选：A． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，，若，，则的度数为__________． 【答案】/110度 【分析】考查了全等三角形的性质． 根据全等得出，再结合三角形内角和为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 【答案】4 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 12．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知图中的两个三角形全等，则_____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解： ， ，， ， ， ． 14．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 15．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ∴ ， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴ ，解得：； 当时，，， ∴ ，解得：； 综上所述，点Q运动速度为 或． 故答案为： 或． 17．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明． 【详解】解：， ． ， ． ． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 20．（25-26八年级下·江西九江·月考）如图，将沿的方向平移得到，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得，继而得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 21．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在四边形中，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)若，的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形的面积为 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可； （2）根据全等三角形的性质，得，，根据等量代换求出，即可； （3）根据全等三角形的性质，，过点作交于点，根据三角形的面积等底等高，可得，再根据四边形的面积等于三个三角形的面积之和，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 过点作交于点， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 22．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由互补的定义得，由三角形内角和定理得到，再根据全等三角形的性质得； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到． 【详解】（1）解：点在同一条直线上，与互为补角， ， 在中，得， 由，得； （2）解：， ． ， ， ． 23．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 24．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用．分四种情况讨论，由与全等，，①当点P在上，点Q第一次从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ， 当点在上，点第一次从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， 与全等， ， ， ； 综上所述：的值为1或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 01讲 全等三角形及其性质 题型归纳 【题型1. 全等三角形的概念 2】 【题型2. 全等三角形的性质求线段长度 3】 【题型3. 全等三角形的性质求角度 5】 【题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系 6】 【巩固练习 9】 知识清单 知识点1 全等形 1.定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 知识点2 全等三角形 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点，如图（1）点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边，如图（1）AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角，如图（1）∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3.全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．如图（1）中△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 【提示】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 知识点3 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴ AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 题型专练 题型1. 全等三角形的概念 【例1】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【例2】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【变式1】如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【变式3】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 题型2. 全等三角形的性质求线段长度 【例1】如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【例2】如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【变式1】如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________． 【变式3】如图，当时，则________． 【变式4】如图，已知，若，，求的长． 【变式5】如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 题型3. 全等三角形的性质求角度 【例1】如图，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，，则的度数为___________． 【变式1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，，则______． 【变式3】如图，已知，，，求的值． 【变式4】如图，，，，，求，的度数． 题型4. 全等三角形的性质判断两线段的位置关系 【例1】如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上． (1)若，，求线段的长． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【例2】如图，，点在同一条直线上，． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 【变式1】如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2】如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：； (2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 【变式3】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【变式4】如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 巩固练习 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 4. （2026·广东河源·模拟预测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）下列命题中，是真命题的为（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．正数都大于零 B．如果，那么 C．两个锐角之和一定是锐角 D．全等三角形的面积相等 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，，若，，则的度数为__________． 11．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 12．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知图中的两个三角形全等，则_____． 13．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 14．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 15．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______． 17．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 18．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 20．（25-26八年级下·江西九江·月考）如图，将沿的方向平移得到，若，，求的度数． 21．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在四边形中，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)若，的面积为，求四边形的面积． 22．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 23．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 24．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $