专题14.2三角形全等的判定（知识点总结+11大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.2全等三角形的判定 【题型1】用“SSS”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -三边分别相等的两个三角形全等（简记“SSS”）； -数学表达式：在和中，，则（SSS）。 2.高频考点梳理 -直接用SSS证明全等：已知，，利用公共边，证； -结合三角形稳定性：用固定长度的三根木条拼三角形，判断形状唯一性，依据SSS； -尺规作图作全等三角形：已知三边作三角形，作图依据为SSS。 3.易错点警示 -忽略“对应”关系：如，，，因边的对应顺序错误，不能用SSS； -遗漏公共边：如两三角形共边，未注明； -混淆“全等”与“相似”：误将“三边对应成比例”当作SSS(相似需比例，全等需相等)。 4.解题技巧拆解 -找等边途径：①公共边相等；②中点/中线(如是中点，则)；③等边加/减等边(如，则)； -书写步骤：先列三组对应边相等，标注“SSS”，最后得出全等结论。 【例题1】．（25-26八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了利用证明即可． 【详解】证明：在和中， ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等时，下面的4个条件中：①；②；③；④，其中正确的是（　　    ）      A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】证明：∵在和中， ， ∴ ． 【变式题1-3】．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）（2）证明：∵， ∴， ∴． 【题型2】用“SAS”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简记“SAS”)，关键是“夹”角(两边公共顶点处的角)； -数学表达式：在和中，，则(SAS)。 2.高频考点梳理 -直接用SAS证明全等：已知，，，证； -结合平行线求夹角：如得，再用SAS证； -实际测量：测池塘距离，作，，用SAS证，则。 3.易错点警示 -误用“SSA”：如，，(非夹角)，不能判定全等； -夹角找错：如，，误将当作夹角(夹角应为)； -单位不统一：如，未统一单位直接使用。 4.解题技巧拆解 -定“夹角”：先找两边的公共顶点，该顶点处的角为夹角； -证夹角相等：利用平行线(同位角/内错角)、角平分线、对顶角； -书写顺序：按“边→角→边”排列条件，匹配SAS判定顺序。 【例题2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用边角边证明三角形全等即可． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 先根据等式的性质得到，再由平行线的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图．已知：在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用全等三角形判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，线段，过点、分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，当点停止时，点也随之停止运动．设点的运动的时间为． (1)当时，________，________（用含的代数式表示）， (2)当时，求证：； (3)如图2，将“过点、分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，或， 【知识点】全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，明确题意，准确得到全等三角形是解题的关键． （1）根据题意得： ， ，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，根据即可求证； （3）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， ∴ ； （2）∵， ∴． ∵ ，     ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，即，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴ ， 当时 ，即， ， ∴ ， ∴ ，      综上所述，当与全等时，或，． 【题型3】用“ASA”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记“ASA”)； -数学表达式：在和中，，则(ASA)。 2.高频考点梳理 -直接用ASA证明全等：已知，，，证； -结合垂直求角相等：如，得，再用ASA证全等； -三角形残片复原：破损三角形保留、及，用ASA复原全等三角形。 3.易错点警示 -夹边找错：如，，误将当作夹边(夹边应为)； -角的对应混乱：如对应，对应，导致对应关系错误； -多角相等误判：三个角相等(如，，)不能判定全等。 4.解题技巧拆解 -找“夹边”：两角的公共边为夹边，优先标注； -证角相等：利用公共角、对顶角、同角的余角/补角相等； -步骤：先证两组角相等，再证夹边相等，最后用ASA判定。 【例题3】．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）小明不慎将三角形模具打碎成三块（如图），他想配一块与原来完全相同的模具，下列说法正确的是（　 ） A．带第一块即可 B．带第三块即可 C．两块都要带 D．两块都不用带 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的唯一性，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的方法；第三块包含了两个确定的角及其夹边，根据三角形判定方法角边角即可得到答案； 【详解】解：第三块的玻璃包含了原来三角形玻璃的两个角及其夹边，根据三角形的判定角边角即可知另一个三角形与其全等，根据全等三角形的唯一性，带第三块即可； 故选：B． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形有两角和它们的夹边是完整的， 所以可以根据“”画出， 故选：A． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是小华作业的部分片段，则括号里的部分可能是（   ） 题干：…，求证：． 证明：在和中，， A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． 根据的定义即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：A． 【变式题3-3】．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，在中，，D、E、F分别在、、上，且，，问：和是否相等？并说明理由． 【答案】相等，证明见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明，再利用证明即可得到． 【详解】，， 【题型4】用“AAS”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记“AAS”)； -数学表达式：在和中，，则(AAS)。 2.高频考点梳理 -直接用AAS证明全等：已知，，，证； -结合三角形内角和求第三角：如，，则，再用AAS证全等； -直角三角形中用AAS：如，，，证。 3.易错点警示 -混淆“AAS”与“ASA”：AAS是“角+角+对边”，ASA是“角+夹边+角”； -对边对应错误：如的对边是，的对边是，未确保； -漏“对边”条件：仅两角相等不能判定全等，需补充一组对边相等。 4.解题技巧拆解 -先证两组角相等：可利用三角形内角和定理补全第三角； -确定等角的对边：遵循“大角对大边，小角对小边”； -书写：先列两角相等，再列对边相等，标注“AAS”。 【例题4】．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【变式题4-1】．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两直线平行内错角相等，利用即可证明； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，，然后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：只有一边和一角对应相等，不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故只有丙符合题意， 故选：． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，，得出，，再结合，证明，即可作答． 【详解】证明： ． ， 在和中 ． 【题型5】用“HL”判定直角三角形全等 1.核心知识点总结 -直角三角形特有，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简记“HL”)； -数学表达式：在和中，，则(HL)。 2.高频考点梳理 -直接用HL证明全等：已知，，，证； -结合角平分线性质：如，，平分得，再用HL证； -滑梯模型：两滑梯，，用HL证，得。 3.易错点警示 -非直角三角形用HL：HL仅适用于，普通三角形不能用； -混淆斜边与直角边：如误将直角边当作斜边，导致对应错误； -未标注“Rt”：书写时需注明“”，否则判定依据错误。 4.解题技巧拆解 -先确认直角：标注； -找斜边：最长的边为斜边(如，则为斜边)； -对应斜边和一条直角边：避免“SSA”错误，严格匹配HL条件。 【例题5】．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点B，E，F，C在同一直线上，． (1)求证：． (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段的和与差、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定、线段的和差计算， （1）先证明，再根据证明全等即可； （2）根据，求出，进而求出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 【变式题5-2】．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在与中，，要用“”判定和全等的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：A．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意； B．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意； C．已知，补充，，可以根据证明，故符合题意； D．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意， 故选：C． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知 垂足分别为，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是通过“HL”证明，得到内错角相等，从而证明两直线平行． 先由垂直得直角，再通过线段和差得，接着用“HL”，利用全等性质得内错角相等，最后依据内错角相等证． 【详解】证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【题型6】添加条件使三角形全等(判定综合) 1.核心知识点总结 -根据已有条件，补充一组边或角使两三角形全等，需结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL分析，遵循“缺啥补啥”原则； -核心逻辑：先明确已有条件类型(边/角/边+角)，再匹配对应判定定理的缺项。 2.高频考点梳理 -已知“一边一角”补条件：如，，补(SAS)或(ASA)； -已知“两边”补条件：如，，补(SAS)或(SSS)； -已知“直角+一边”补条件：如，，补(HL)或(AAS)。 3.易错点警示 -补充“SSA”条件：如，，补，不能判定全等； -补充无关条件：如，，补(AAA无效)； -忽略隐含条件：如公共边未利用，额外补充。 4.解题技巧拆解 -列已有条件：明确已知的边、角类型(如“边+角”“两边”)； -匹配判定缺项：“边+角”→缺“边”(SAS)或“角”(AAS/ASA)；“两边”→缺“夹角”(SAS)或“第三边”(SSS)； -排除无效条件：优先选最简条件(公共边、对顶角)，排除SSA、AAA。 【例题6】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，欲证，必须添加一个条件，则你所添加的条件是 ． 【答案】（或或） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， 添加根据即可推出； 添加根据即可推出； 添加根据即可推出； 故答案为：（或或）． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，要利用“”判定，则需添加的条件是 ． 【答案】 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定．根据的条件补充即可． 【详解】解：在中，， 要利用“”判定它们全等， 则只需补充条件， 故答案为：． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由可推出，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴，即； 若，则通过可证，故A不符合题意； 若，则通过可证，故B不符合题意； 若，则通过可证，故C不符合题意； 若时，不能推出，故D符合题意； 故选：D． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点O，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：∵，， ∴添加无法判定，故A选项不符合题意； 添加可根据“”判定，故B选项符合题意； 添加无法判定，故C选项不符合题意； 添加无法判定，故D选项不符合题意； 故选B． 【题型7】全等三角形的性质与判定综合应用 1.核心知识点总结 -先通过判定定理(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)证三角形全等，再用全等性质(对应边相等、对应角相等)求边、角或位置关系(平行、垂直)； -核心逻辑：“判定全等→利用性质”，两步推导解决问题。 2.高频考点梳理 -证边相等/平行：先证，得，，再证(内错角相等)； -证角相等/垂直：证，得，再证(如)； -求线段长度/角度：证，得，。 3.易错点警示 -全等后对应错误：如，误将对应； -未证全等直接用性质：如直接说，未先证； -位置关系漏步骤：如证，未先证。 4.解题技巧拆解 -明确目标：求边/角→找对应边/角；证平行→找同位角/内错角；证垂直→找角； -定全等三角形：分析目标边/角所在的两个三角形； -两步推导：①列判定条件证全等；②用全等性质写结论。 【例题7】．（22-23八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，F在上，．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-1】．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，且，证明见解析 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； （2），且，证明如下： 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等； （2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·山东临沂·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，∠ABD=∠ACE．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型8】一线三等角模型（K型全等） 1.核心知识点总结 -定义：同一条直线上有三个相等的角（简称“一线三等角”），常见类型为直角型（90°）、锐角型、钝角型，核心是通过角的关系构造“K型全等三角形”； -直角型（最常考）数学表达式：如图，直线上有，若，则在和中，，故(ASA)； -核心逻辑：利用“同角的余角/补角相等”证两组角相等，结合一组边相等，判定三角形全等。 2.高频考点梳理 -直角型一线三等角(K型)：如平面直角坐标系中，，，过作轴，轴，且，用一线三等角证，求点坐标； -锐角/钝角型一线三等角：如中，(锐角)，在上，在上，证； -实际应用：测河宽时，构造一线三等角模型，将不可测边转化为全等三角形的对应边。 3.易错点警示 -角的对应错误：如直角型中，误将对应，忽略“同角的余角相等”导致角对应混乱； -忽略“一线”条件：三个角未在同一条直线上，强行套用模型(如在直线外)； -辅助线添加错误：需作垂直构造三等角时，误作平行线，无法形成K型结构。 4.解题技巧拆解 -识模型：观察图形中是否有“一条直线+三个相等的角”，优先标注等角和直线位置； -构辅助线：若为非直角型，可作垂直(如过作)，转化为直角型一线三等角； -证等角：利用“同角的余角相等”(直角型)或“三角形外角定理”(锐角/钝角型)，证两组角相等； -证全等：结合已知边相等(如），用ASA/AAS判定全等，再利用对应边相等求目标线段（如）。 【例题8】．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E． ①求证： ； ②． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明过程见解析； 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，外角的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①根据同角的补角相等得到角相等，进而可以证明三角形全等即可； ②由①中全等得到边相等，即可得到答案； （2）根据外角的性质得到角相等，进而证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ∵ ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； ∴， ∵ ∴． 【变式题8-1】．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【题型9】构造全等三角形的辅助线(倍长中线) 1.核心知识点总结 -含“中线”时，延长中线至两倍(如延长至使)，构造SAS全等三角形()，转化线段/角关系； -适用场景：求中线取值范围、证线段相等/角相等。 2.高频考点梳理 -求中线取值范围：是中线，，，延长至使，证，在中得，即，故； -证线段相等：延长至使，证； -证角相等：如证(全等三角形对应角相等)。 3.易错点警示 -延长方向错误：如延长至，未使； -全等条件错：和中，误用(应是，SAS)； -未用构造结论：证出后，未结合三角形三边关系。 4.解题技巧拆解 -识中线：是中点→； -作辅助线：延长至，使，连接(或)； -转关系：证(SAS)→转化线段()或角→解决目标问题。 【例题9】．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 如图，延长到E使，连接，通过证明就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】解： 延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴． 在△ACD和△EBD中 ， ∴， ∴． ∵， ∴由三角形的三边关系为：， 即． ∴ 故答案为：． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， 在与中，， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 【题型10】构造全等三角形的辅助线(截长补短) 1.核心知识点总结 -证“线段和差”(如)时，用截长法(在长线段截短线段)或补短法(延长短线段至长线段)，构造全等三角形； -适用场景：线段和差证明、角平分线与线段结合问题。 2.高频考点梳理 -截长法：证，在上截，证(SAS)、(AAS)，得，故； -补短法：证，延长至使，证(ASA)，得； -角平分线结合截长：如平分，截，证(SAS)。 3.易错点警示 -截长/补短后未证全等：如截后，未证； -和差关系混淆：如证，误用截长法(应选补短法)； -辅助线描述不清：如“延长”未说明“延长至使”。 4.解题技巧拆解 -定方法：证→截长(截)或补短(延长至使，证）； -构全等：找角相等（角平分线、平行线、对顶角），列全等条件（如需）； -推和差：通过全等得对应边相等，代入线段和差关系式（如，，故）。 【例题10】．（20-21八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)结论不成立，有，理由见解析． 【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）①如图①，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②∴， ∴； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式题10-1】．（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，，见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； 问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论； 问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论． 【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 故他得到的正确结论是：； 问题2，问题1中结论仍然成立，如图2， 理由：延长到点G．使．连接， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 即； 问题3．不成立，结论：，理由如下： 如图3，在上取一点G．使．连接， ∵ ，， ∴，即 ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴． 即． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·天津宁河·阶段练习）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D为边上一点，连接并延长到点E，使，过点E作，交于点F，交于点G，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；先根据平行线的性质得，再根据全等三角形的性质和判定即可得解． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型11】全等三角形中的动态问题(动点/旋转) 1.核心知识点总结 -动点(速度、时间)或旋转(绕点旋转)导致三角形形状变化，需分情况讨论全等，关键是“对应关系”和“等量关系”(路程=速度×时间)； -常见类型：动点问题(线段用时间表示)、旋转问题(旋转角相等)、折叠问题(折叠前后全等)。 2.高频考点梳理 -动点问题：点从沿以运动，点从沿以运动，分和求； -旋转问题：绕旋转，，，，证； -折叠问题：折叠得，，，证。 3.易错点警示 -漏情况讨论：如动点在延长线上，未纳入分析； -路程计算错误：如点运动路程为，误算为； -旋转后对应错：如旋转后，对应，误对应。 4.解题技巧拆解 -用表线段：如，，； -分情况列条件：①对应顶点顺序1()→；②对应顶点顺序2()→； -验证结果：解方程求，确保且线段长度非负。 【例题11】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】2或或12 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）由垂直得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点E作交延长线于点N，证，得到，，再证即可得到结果； （3）分两种情况：当点D在直线上时，连接交直线于M，交的延长线于N，设，则，证明及即可求出结论；点D在线段上，同理，设，则，求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图，过点E作交延长线于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，当点D在直线上时，连接交直线于M，交的延长线于N， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图，点D在线段上， 同理可证：， ， ， ， ，即， 设，则， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为或或或． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】(1)2，4， (2)①见解析；②见解析 (3)，或， 【知识点】列代数式、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论；②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； （2）证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定方法是关键．依据题意，添加各个选项的条件后逐个分析判断可以得解． 【详解】解：A，添加，结合，， ∴不能满足判定的条件，故A符合题意． B，添加，结合，， ∴，故B不符合题意． C，添加，结合，， ∴，故C不符合题意． D，添加，结合，， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，已知，下列条件中，能用证明的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定．根据三角形全等的判定条件即可解答． 【详解】解：在中，， 要能用证明它们全等，则缺， 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法．由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ， 即， A、添加不能证明，该选项符合题意； B、添加可利用定理证明，该选项不符合题意； C、添加可利用证明，该选项不符合题意； D、添加可利用证明，该选项不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（    ） ①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和； ②连接并延长到点，使； ③连接并延长到点，使； ④连接，量出的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．代表 D．该方案的依据是AAS 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和； ②连接并延长到点，使，A选项正确； ③连接并延长到点，使，B选项正确； ④连接，量出的长即为的距离，C选项正确； 该方案的依据是，D选项错误， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示， ，结论： ①； ②；③； ④， 其中正确的有(写序号) ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定和性质解决问题． 先证明得即可推出②正确；由即可推出①正确；由可以推出④错误；由可以推出③正确，由此即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ， ，，， ，故②正确； 在和中， ， ， ，，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，故④错误； 在和中， ， ，故③正确； 综上所述，①②③正确， 故答案为：①②③． 7．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在和中，，，要利用证明，还需要添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定；需“两角夹边”，补充即可． 【详解】解：∵，， ∴补充：， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则 ． 【答案】/3.5/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是 ．（填“甲”“乙”“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，点分别在线段上，与相交于点，已知，现添加一个条件仍不能判定，这个条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 由题意得，，即可写出不能判定的条件． 【详解】解：由题意得，， 若添加，为，但此判定方法不能证明， 所以现添加一个条件仍不能判定，这个条件是． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质．由，得，再利用证明，从而得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）； 在和中，， ∴． ∴． 12．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，，，证明，再结合，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，点在上，于点，交于点，， ．若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据证明，即可证明； （2）因为，所以，由，可得，进而可求． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知于，于，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∴． 15．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【问题初探】（1）如图1，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】（2）如图2，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即，），将边绕点C逆时针旋转得到（即，）．连接，延长交于点F．求证：点F是的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形全等． （1）先证明，进而即可得出结论； （2）过点E作，交的延长线于点G，证明，得到，再证明，即可得证； 【详解】解：（1）证明：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即点F是的中点． 16．（25-26八年级上·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点，使；这样的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 【探索思考】如图2，已知，若，则下列判断不正确的是（   ） A．一定是钝角三角形    B． C．        D．的面积与的面积相等 【答案】【问题探究】2 ，2  ，不一定；【探索思考】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 问题探究：根据要求画出图形即可得结论；由所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； 探索思考：利用全等三角形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】问题探究：解：如图所示：   点及即为所求； 由所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； 探索思考：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形，，的面积与的面积相等， 和不一定相等， 故选：C． 18．（25-26八年级上·全国·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．已知在 中，，，在中，，，并提出了相应的问题． (1)【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，，，求 的长．请补全下面小芳的解题过程． 解：∵，∴． ∴，∴． (2)【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，过点 作，垂足为点 ．猜想、、 之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，若 ，，，连结．请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）过点 作 的延长线于点 由两个三角形全等的判定定理得到，从而，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：补全小芳的解题过程如下： 在 和中， ，，， ， ，， ． （2）、、 之间的数量关系是，理由如下 ， ． ， ， ． 在 和 中， ，，， ， ，． ， ． （3）解： 的面积为． 如图，过点 作 的延长线于点 ， ， ， ． ，， ， ， ． 在 和 中， ，，， ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2全等三角形的判定 【题型1】用“SSS”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -三边分别相等的两个三角形全等（简记“SSS”）； -数学表达式：在和中，，则（SSS）。 2.高频考点梳理 -直接用SSS证明全等：已知，，利用公共边，证； -结合三角形稳定性：用固定长度的三根木条拼三角形，判断形状唯一性，依据SSS； -尺规作图作全等三角形：已知三边作三角形，作图依据为SSS。 3.易错点警示 -忽略“对应”关系：如，，，因边的对应顺序错误，不能用SSS； -遗漏公共边：如两三角形共边，未注明； -混淆“全等”与“相似”：误将“三边对应成比例”当作SSS(相似需比例，全等需相等)。 4.解题技巧拆解 -找等边途径：①公共边相等；②中点/中线(如是中点，则)；③等边加/减等边(如，则)； -书写步骤：先列三组对应边相等，标注“SSS”，最后得出全等结论。 【例题1】．（25-26八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，，，求证：． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等时，下面的4个条件中：①；②；③；④，其中正确的是（　　    ）      A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【变式题1-2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知，，求证：． 【变式题1-3】．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【题型2】用“SAS”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简记“SAS”)，关键是“夹”角(两边公共顶点处的角)； -数学表达式：在和中，，则(SAS)。 2.高频考点梳理 -直接用SAS证明全等：已知，，，证； -结合平行线求夹角：如得，再用SAS证； -实际测量：测池塘距离，作，，用SAS证，则。 3.易错点警示 -误用“SSA”：如，，(非夹角)，不能判定全等； -夹角找错：如，，误将当作夹角(夹角应为)； -单位不统一：如，未统一单位直接使用。 4.解题技巧拆解 -定“夹角”：先找两边的公共顶点，该顶点处的角为夹角； -证夹角相等：利用平行线(同位角/内错角)、角平分线、对顶角； -书写顺序：按“边→角→边”排列条件，匹配SAS判定顺序。 【例题2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，，．求证：． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图．已知：在中，，．求证： (1)； (2)． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，线段，过点、分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，当点停止时，点也随之停止运动．设点的运动的时间为． (1)当时，________，________（用含的代数式表示）， (2)当时，求证：； (3)如图2，将“过点、分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的的值． 【题型3】用“ASA”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记“ASA”)； -数学表达式：在和中，，则(ASA)。 2.高频考点梳理 -直接用ASA证明全等：已知，，，证； -结合垂直求角相等：如，得，再用ASA证全等； -三角形残片复原：破损三角形保留、及，用ASA复原全等三角形。 3.易错点警示 -夹边找错：如，，误将当作夹边(夹边应为)； -角的对应混乱：如对应，对应，导致对应关系错误； -多角相等误判：三个角相等(如，，)不能判定全等。 4.解题技巧拆解 -找“夹边”：两角的公共边为夹边，优先标注； -证角相等：利用公共角、对顶角、同角的余角/补角相等； -步骤：先证两组角相等，再证夹边相等，最后用ASA判定。 【例题3】．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）小明不慎将三角形模具打碎成三块（如图），他想配一块与原来完全相同的模具，下列说法正确的是（　 ） A．带第一块即可 B．带第三块即可 C．两块都要带 D．两块都不用带 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是小华作业的部分片段，则括号里的部分可能是（   ） 题干：…，求证：． 证明：在和中，， A． B． C． D． 【变式题3-3】．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，在中，，D、E、F分别在、、上，且，，问：和是否相等？并说明理由． 【题型4】用“AAS”判定三角形全等 1.核心知识点总结 -两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记“AAS”)； -数学表达式：在和中，，则(AAS)。 2.高频考点梳理 -直接用AAS证明全等：已知，，，证； -结合三角形内角和求第三角：如，，则，再用AAS证全等； -直角三角形中用AAS：如，，，证。 3.易错点警示 -混淆“AAS”与“ASA”：AAS是“角+角+对边”，ASA是“角+夹边+角”； -对边对应错误：如的对边是，的对边是，未确保； -漏“对边”条件：仅两角相等不能判定全等，需补充一组对边相等。 4.解题技巧拆解 -先证两组角相等：可利用三角形内角和定理补全第三角； -确定等角的对边：遵循“大角对大边，小角对小边”； -书写：先列两角相等，再列对边相等，标注“AAS”。 【例题4】．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【变式题4-1】．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别交于点E，F．求证：． 【题型5】用“HL”判定直角三角形全等 1.核心知识点总结 -直角三角形特有，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简记“HL”)； -数学表达式：在和中，， 则(HL)。 2.高频考点梳理 -直接用HL证明全等：已知，，，证； -结合角平分线性质：如，，平分得，再用HL证； -滑梯模型：两滑梯，，用HL证，得。 3.易错点警示 -非直角三角形用HL：HL仅适用于，普通三角形不能用； -混淆斜边与直角边：如误将直角边当作斜边，导致对应错误； -未标注“Rt”：书写时需注明“”，否则判定依据错误。 4.解题技巧拆解 -先确认直角：标注； -找斜边：最长的边为斜边(如，则为斜边)； -对应斜边和一条直角边：避免“SSA”错误，严格匹配HL条件。 【例题5】．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点B，E，F，C在同一直线上，． (1)求证：． (2)若，求线段的长度． 【变式题5-2】．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在与中，，要用“”判定和全等的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式题5-3】．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知 垂足分别为，，求证：． 【题型6】添加条件使三角形全等(判定综合) 1.核心知识点总结 -根据已有条件，补充一组边或角使两三角形全等，需结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL分析，遵循“缺啥补啥”原则； -核心逻辑：先明确已有条件类型(边/角/边+角)，再匹配对应判定定理的缺项。 2.高频考点梳理 -已知“一边一角”补条件：如，，补(SAS)或(ASA)； -已知“两边”补条件：如，，补(SAS)或(SSS)； -已知“直角+一边”补条件：如，，补(HL)或(AAS)。 3.易错点警示 -补充“SSA”条件：如，，补，不能判定全等； -补充无关条件：如，，补(AAA无效)； -忽略隐含条件：如公共边未利用，额外补充。 4.解题技巧拆解 -列已有条件：明确已知的边、角类型(如“边+角”“两边”)； -匹配判定缺项：“边+角”→缺“边”(SAS)或“角”(AAS/ASA)；“两边”→缺“夹角”(SAS)或“第三边”(SSS)； -排除无效条件：优先选最简条件(公共边、对顶角)，排除SSA、AAA。 【例题6】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，欲证，必须添加一个条件，则你所添加的条件是 ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，要利用“”判定，则需添加的条件是 ． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点O，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型7】全等三角形的性质与判定综合应用 1.核心知识点总结 -先通过判定定理(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)证三角形全等，再用全等性质(对应边相等、对应角相等)求边、角或位置关系(平行、垂直)； -核心逻辑：“判定全等→利用性质”，两步推导解决问题。 2.高频考点梳理 -证边相等/平行：先证，得，，再证(内错角相等)； -证角相等/垂直：证，得，再证(如)； -求线段长度/角度：证，得，。 3.易错点警示 -全等后对应错误：如，误将对应； -未证全等直接用性质：如直接说，未先证； -位置关系漏步骤：如证，未先证。 4.解题技巧拆解 -明确目标：求边/角→找对应边/角；证平行→找同位角/内错角；证垂直→找角； -定全等三角形：分析目标边/角所在的两个三角形； -两步推导：①列判定条件证全等；②用全等性质写结论。 【例题7】．（22-23八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，F在上，．求证： (1)． (2)． 【变式题7-1】．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·山东临沂·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，∠ABD=∠ACE．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【题型8】一线三等角模型（K型全等） 1.核心知识点总结 -定义：同一条直线上有三个相等的角（简称“一线三等角”），常见类型为直角型（90°）、锐角型、钝角型，核心是通过角的关系构造“K型全等三角形”； -直角型（最常考）数学表达式：如图，直线上有，若，则在和中，，故(ASA)； -核心逻辑：利用“同角的余角/补角相等”证两组角相等，结合一组边相等，判定三角形全等。 2.高频考点梳理 -直角型一线三等角(K型)：如平面直角坐标系中，，，过作轴，轴，且，用一线三等角证，求点坐标； -锐角/钝角型一线三等角：如中，(锐角)，在上，在上，证； -实际应用：测河宽时，构造一线三等角模型，将不可测边转化为全等三角形的对应边。 3.易错点警示 -角的对应错误：如直角型中，误将对应，忽略“同角的余角相等”导致角对应混乱； -忽略“一线”条件：三个角未在同一条直线上，强行套用模型(如在直线外)； -辅助线添加错误：需作垂直构造三等角时，误作平行线，无法形成K型结构。 4.解题技巧拆解 -识模型：观察图形中是否有“一条直线+三个相等的角”，优先标注等角和直线位置； -构辅助线：若为非直角型，可作垂直(如过作)，转化为直角型一线三等角； -证等角：利用“同角的余角相等”(直角型)或“三角形外角定理”(锐角/钝角型)，证两组角相等； -证全等：结合已知边相等(如），用ASA/AAS判定全等，再利用对应边相等求目标线段（如）。 【例题8】．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E． ①求证： ； ②． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【变式题8-1】．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【题型9】构造全等三角形的辅助线(倍长中线) 1.核心知识点总结 -含“中线”时，延长中线至两倍(如延长至使)，构造SAS全等三角形()，转化线段/角关系； -适用场景：求中线取值范围、证线段相等/角相等。 2.高频考点梳理 -求中线取值范围：是中线，，，延长至使，证，在中得，即，故； -证线段相等：延长至使，证； -证角相等：如证(全等三角形对应角相等)。 3.易错点警示 -延长方向错误：如延长至，未使； -全等条件错：和中，误用(应是，SAS)； -未用构造结论：证出后，未结合三角形三边关系。 4.解题技巧拆解 -识中线：是中点→； -作辅助线：延长至，使，连接(或)； -转关系：证(SAS)→转化线段()或角→解决目标问题。 【例题9】．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【题型10】构造全等三角形的辅助线(截长补短) 1.核心知识点总结 -证“线段和差”(如)时，用截长法(在长线段截短线段)或补短法(延长短线段至长线段)，构造全等三角形； -适用场景：线段和差证明、角平分线与线段结合问题。 2.高频考点梳理 -截长法：证，在上截，证(SAS)、(AAS)，得，故； -补短法：证，延长至使，证(ASA)，得； -角平分线结合截长：如平分，截，证(SAS)。 3.易错点警示 -截长/补短后未证全等：如截后，未证； -和差关系混淆：如证，误用截长法(应选补短法)； -辅助线描述不清：如“延长”未说明“延长至使”。 4.解题技巧拆解 -定方法：证→截长(截)或补短(延长至使，证）； -构全等：找角相等（角平分线、平行线、对顶角），列全等条件（如需）； -推和差：通过全等得对应边相等，代入线段和差关系式（如，，故）。 【例题10】．（20-21八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【变式题10-1】．（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·天津宁河·阶段练习）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D为边上一点，连接并延长到点E，使，过点E作，交于点F，交于点G，求证：． 【题型11】全等三角形中的动态问题(动点/旋转) 1.核心知识点总结 -动点(速度、时间)或旋转(绕点旋转)导致三角形形状变化，需分情况讨论全等，关键是“对应关系”和“等量关系”(路程=速度×时间)； -常见类型：动点问题(线段用时间表示)、旋转问题(旋转角相等)、折叠问题(折叠前后全等)。 2.高频考点梳理 -动点问题：点从沿以运动，点从沿以运动，分和求； -旋转问题：绕旋转，，，，证； -折叠问题：折叠得，，，证。 3.易错点警示 -漏情况讨论：如动点在延长线上，未纳入分析； -路程计算错误：如点运动路程为，误算为； -旋转后对应错：如旋转后，对应，误对应。 4.解题技巧拆解 -用表线段：如，，； -分情况列条件：①对应顶点顺序1()→；②对应顶点顺序2()→； -验证结果：解方程求，确保且线段长度非负。 【例题11】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值 【变式题11-2】．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ） A．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，已知，下列条件中，能用证明的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（    ） ①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和； ②连接并延长到点，使； ③连接并延长到点，使； ④连接，量出的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．代表 D．该方案的依据是AAS 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示， ，结论： ①； ②；③； ④， 其中正确的有(写序号) ． 7．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，在和中，，，要利用证明，还需要添加的条件是 ． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则 ． 9．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是 ．（填“甲”“乙”“丙”） 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，点分别在线段上，与相交于点，已知，现添加一个条件仍不能判定，这个条件是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知：如图，，．求证：． 12．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 13．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，点在上，于点，交于点，， ．若． (1)求证：； (2)求的度数． 14．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知于，于，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 15．（24-25七年级上·山东淄博·期中）【问题初探】（1）如图1，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】（2）如图2，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即，），将边绕点C逆时针旋转得到（即，）．连接，延长交于点F．求证：点F是的中点． 16．（25-26八年级上·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点，使；这样的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 【探索思考】如图2，已知，若，则下列判断不正确的是（   ） A．一定是钝角三角形    B． C．        D．的面积与的面积相等 18．（25-26八年级上·全国·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．已知在 中，，，在中，，，并提出了相应的问题． (1)【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，，，求 的长．请补全下面小芳的解题过程． 解：∵，∴． ∴，∴． (2)【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，过点 作，垂足为点 ．猜想、、 之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，若 ，，，连结．请直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $