精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年度第二学期初一年级期末数学练习

2025～2026学年度第二学期初一年级期末练习 数 学 说明：本试卷共两部分，三道大题28道小题，共8页，满分100分，练习时长100分钟，练习日期2026年7月1日．学生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移与旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键． 2. 下列调查活动中适合使用抽样调查的是（ ） A. 了解全年级同学的校服尺码情况 B. 选出学校短跑最快的学生参加海淀区比赛 C. 了解全班同学的身高体重情况 D. 调查世界杯足球赛的收视率 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查范围和调查需求，即可判断合适的调查方式． 【详解】解：一般来说，调查范围小、需要精确结果的调查适合全面调查，调查范围广、无法对所有个体逐一调查的情况适合抽样调查． ∵ A选项调查全年级同学校服尺码，C选项调查全班同学身高体重，调查范围小，适合全面调查；B选项选出短跑最快的学生参赛，需要准确结果，适合全面调查；D选项调查世界杯足球赛收视率，调查范围极大，无法对所有观众逐一调查． ∴ D适合使用抽样调查． 3. 若，则整数n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 4. 在平面直角坐标系xOy中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为( ) A. (3,-1) B. (-3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合第四象限点（+，-），可得答案． 【详解】解：若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为（3，-1）， 故选A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，本选项不符合题意； B．∵，∴，本选项不符合题意； C．∵，∴，本选项不符合题意； D．∵，∴，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 6. 小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 【答案】C 【解析】 【详解】解：甲：∵三角形任意一个外角与它相邻的内角和为， ∴若外角等于相邻内角，则两个角都为，故三角形是直角三角形； 若外角等于不相邻内角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和， ∴另一个不相邻内角为，不符合三角形定义，不存在这种情况，故甲结论正确； 乙：设中最大内角为，则，， ∵任意两个内角和大于第三个内角， ∴， ∴，代入得， ∴， ∴三角形三个内角都小于，是锐角三角形，故乙结论正确． 综上，甲乙都对． 7. 若关于x，y的方程组满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用加减消元法得到关于的表达式，再结合已知不等式求解的取值范围即可。 【详解】解：， 将得， 等式两边同时除以4得， ∵， ∴， 解得． 8. 如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论： ①；②；③；④． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的定义得到，然后判断出不一定等于，然后结合三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵和不一定相等， ∴不一定等于，故①错误； ∵，，， ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴， 若， ∴ ∴， ∴， ∴，根据题意无法得到， ∴不成立，故③错误； ∵， ∴ ，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是②④． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是3和5， ∴第三边长a的取值范围是5-3＜a＜5+3，即2＜a＜8． 故答案为2＜a＜8． 【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键． 11. 若是二元一次方程的解，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：把代入，得， 解得． 12. 若点在y轴上，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上的点的横坐标为0，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， ∴ 解得． 13. 如图，直线，直线c分别交直线a，b于点A，B，，平分，若，则的度数为__________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用角平分线的定义求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 14. 若满足的每一个x的值都是不等式的解，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解给定不等式得到解集，再根据题意，所有满足的x都满足该不等式，由此列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围． 【详解】解： 解不等式，  移项得，  ∵满足的每一个都是不等式的解， ∴，  移项得，  两边同除以得． 15. 在三角形中，是高，是角平分线，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论点E的位置，结合三角形内角和定理和角平分线求解即可． 【详解】解：如图，当点E在线段上时， 是的高， ， ∴， ， ， 是的角平分线， ， ∴； 如图，当点E在线段上时， 是的高， ， ∴， ， ， 是的角平分线， ， ∴． 综上所述，的度数为或． 16. 某条笔直道路上两个路口的距离为，这两个路口的红绿灯变化情况如表格所示，在路口处均设有红绿灯的倒计时牌，显示灯的颜色及剩余时间．在某时刻，路口A与路口B的倒计时牌显示如下图，将此时刻记为．之后在时，一个保持匀速行驶的车队开始通过路口A向路口B驶去，并在时．该车队的最后一辆车通过路口A．设这个车队的行驶速度为，且车队行驶过程中路况良好无干扰，要使该车队在不超过的时限内全体不停车通过路口B，则v的取值范围是__________．（注：不停车通过指到达路口时为绿灯，车辆的长度忽略不计．） 绿灯持续时间（s） 红灯持续时间（s） 路口A 30 30 路口B 75 55 注：红绿灯达到持续时间后，立刻切换另一种颜色的指示灯，切换时间忽略不计，切换的时刻车辆可以通过路口． 【答案】 【解析】 【分析】根据路口的红绿灯变化规律，确定在至内的绿灯时间段；根据车队的行驶过程，表示出车队第一辆车和最后一辆车到达路口的时刻；结合“全体不停车通过”和“时限”的要求，建立关于速度的不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可知，路口在时绿灯倒计时， 则路口的绿灯时间段为，红灯持续，则红灯时间段为， 随后绿灯持续，则下一个绿灯时间段为， ∵要求在的时限内通过， ∴在时限内路口的有效绿灯时间段为和， 车队在时开始通过路口，在时最后一辆车通过路口， 设车队速度为，则行驶所需时间为， 车队第一辆车到达路口的时刻为，车队最后一辆车到达路口的时刻为， 要使车队全体不停车通过路口， 则车队到达路口的时间段必须完全落在路口的某个绿灯时间段内， 若落在内，则，解得， ∵，此不等式无解， 若落在内，则需满足：， 解不等式，得，即，解得， 解不等式，得，即，解得， 综上所述，的取值范围是． 三、解答题（共68分，第17-18题每题4分，第19题8分，第20-22题每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 得： 解得 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为． 19. 解不等式或不等式组： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 20. 证明三角形的内角和定理： 已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180° 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°． 【详解】证明：过点A作EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°． 即三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质及平角的定义进行证明． 21. 如图，已知，是钝角． （1）画出的高，并画出的平分线交于． （2）在的条件下，若平分，，求证：． 请补全下面的推理过程： 证明：∵于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴（填推理的依据： ）， ∵是的外角， ∴（填推理的依据： ）， ∵平分， ∴， ∴， ∴（填推理的依据： ）． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） 角平分线的定义；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】根据题目要求作出图形即可； 由于可得，求得，又平分，则，然后通过三角形的外角性质可得，又平分，所以，则有，然后通过平行线的判定即可求证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 某校初一年级共有270名男生和240名女生，为了解学生的体质健康情况，学校分别抽取了30名男生和30名女生进行了体质健康测试（含20分附加分，总成绩满分为120分），下面给出了部分信息： a．30名男生总成绩分布的直方图如下（数据分7组：，，，，，，） b．男生总成绩在这一组的是： 76.4 77.7 79.9 80.1 81.4 82.5 84.7 c．30名女生总成绩的扇形统计图如下： d．男生总成绩在这一组的同学各单项成绩（百分制）及总成绩的平均分为： 项目 肺活量 50米跑 立定跳远 坐位体前屈 1000米跑 引体向上 总成绩 平均分 92.5 77.8 76.0 62.0 78.3 78.1 7.5 71.6 （1）补全频数分布直方图； （2）扇形图中m的值为 ； （3）若体质健康测试总成绩达到80分及以上为达标，估计全年级同学中达标的学生人数为 ； （4）若将男生总成绩在的同学作为重点突破对象，如果不考虑各项目计入总分的比重，你认为他们应该优先训练提升的项目为 ． 【答案】（1）补全频数分布直方图如图： （2）10 （3） （4）引体向上 【解析】 【分析】（1）先得到这一组频数是7，再由样本数据减去其余各组的频数求出这一组的频数，即可补全频数分布直方图； （2）用减去已知的占比即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解； （4）根据表格数据即可求解． 【小问1详解】 解：∵这一组频数是7， ∴这一组的频数为，补全频数分布直方图见答案； 【小问2详解】 解：∵, ∴; 【小问3详解】 解：初一年级样本中达标人数为， 则总达标人数为， 答：全年级同学中达标的学生人数为人； 【小问4详解】 解：表格可得，引体向上总成绩的平均分最低为分，故他们应该优先训练提升的项目为引体向上． 23. 利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆，其中A型车至少10辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 【答案】A型新能源汽车一辆车的利润为（万元）， B型新能源汽车一辆车的利润为（万元）， 设购买A型新能源汽车x辆，B型新能源汽车辆， 根据题意得，， 解得， ∴x可以为10，11，12， ∴分别为10，9，8， ∴共有3种购买方案：①购买A型10辆，B型10辆，利润为（万元）； ②购买A型11辆，B型9辆，利润为（万元）； ③购买A型12辆，B型8辆，利润为（万元）； ∵∴购买A型10辆，B型10辆利润最大，最大利润是22万元． 答：共有3种购买方案：①购买A型10辆，B型10辆；②购买A型11辆，B型9辆；③购买A型12辆，B型8辆；购买A型10辆，B型10辆利润最大，最大利润是22万元 【解析】 【分析】首先求出A型新能源汽车和B型新能源汽车一辆车的利润，然后设购买A型新能源汽车x辆，B型新能源汽车辆，根据题意列不等式组求出，然后根据x为正整数分情况求解比较即可． 【详解】略 24. 如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． （1）求证：； （2）连接，若平分，，求的度数． 【答案】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和及互补关系得，结合已知得，再由平行线的性质即可得证； （2）由（1）知，则得，由，可求得的度数，由三角形内角和求得的度数，由角平分线的条件得的度数，再由三角形内角和求得的度数，最后由（1）的结论即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）得． 25. 【阅读理解】A为数轴上的定点，点A表示的数是1，P，Q为数轴上两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，在点P出发的同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为． （1）线段的长度为 个单位长度（用含有t的式子表示）； （2）若线段上恰有3个表示整数的点，直接写出t的取值范围． 【探索应用】 （3）若关于x的不等式组的所有整数解的和为2，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，进而求解即可； （2）根据题意得到A是线段的中点，结合线段上恰有3个表示整数的点，可知三个整数分别为0，1，2，然后得到，进而求解即可； （3）首先求出不等式组的解为，然后根据题意分两种情况讨论，分别列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴A是线段的中点， ∵线段上恰有3个表示整数的点， ∴三个整数分别为0，1，2， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为2， ∴分两种情况讨论： ①当所有整数解为，0，1，2时， ∴， 解得； ②当所有整数解为2时， ∴ 解得； 综上所述，a的取值范围为或． 26. “幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： （1）如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； （2）如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 【答案】（1）如图所示： ， （2）6或9 【解析】 【分析】（1）根据下方两个圆圈上已填的数字和分别为8与7，要填的两个数字为4与5，据此左边要填的数字为4，右边要填的数字为5，即可补充图，并求得S； （2）三个圆圈上的所有数字和为，即，根据取值即可确定的值． 【小问1详解】 解：图略； ； 【小问2详解】 解：由题意， ∴， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ∴S为整数， ∴是3的倍数， ∴或9． 27. 如图，，射线交于点F．点G在折线上运动（不与D，F重合），点H在直线上运动（不与点F重合）． （1）如图1，当点G在上，点H在点F右侧时，连接交于M，与的角平分线交于点P．求证：． （2）当点G在射线上运动时，连接，与的角平分线所在直线交于点P，画出所有符合题意的图形，并用等式表示和的数量关系（直接写出结论）．注：本小题的每一种情况均需单独画图表示，如将多种情况画在一个图里，将不能得分． 【答案】（1）如图，过点P作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵与的角平分线分别是与， ∴，， ∵， ∴, 即； （2）如图2，此时； ∵， ∴， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， 同理得， ∴ ， 即； 如图3，此时； ∵分别是的角平分线， ∴， ∴ ， ∴； 如图4，此时； 作的平分线，两平分线交于点， ∴， ， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 即； 如图5，此时． ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质及角平分线平分角的性质，结合角的和差运算即可证明； （2）分四种情况画出图形，结合图形，利用平行线的性质、角平分线的性质即可得到和的数量关系． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：略． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形M，正实数t和点P，给出如下定义：若存在非负实数a，b，使得，将图形M向左或向右平移一次，平移a个单位长度，再向上或向下平移一次，平移b个单位长度，得到图形．若点P在图形上，则称点P为图形M的一个关联点．已知点，， （1）在点，，中，点A的关联点是 ； （2）若点是线段的关联点，直接写出m的取值范围； （3）对于，点，，若线段上的点都不是线段的关联点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先表示出点平移之后的坐标，根据“关联点”的定义，列出表达式代入点验证即可； （2）表示出线段上的点，再根据“关联点”的定义列式，结合点平移的最值求解即可； （3）根据线段上的点都不是线段的关联点，可知线段与线段的关联点所形成的区域没有公共点，先找到t的临界值，再求解t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点，则点A的关联点需满足， ∵平移后的坐标为 根据题意设点， 则有，则有， ∴， ∴， 点：，不满足； 点：，不满足； 点，，满足， 故点A的关联点是； 【小问2详解】 解：点，，点，如图， 则有， 设线段上的点的横坐标为，则纵坐标为，其中， ∵点是线段的关联点， ∴，， ∴线段需向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度， ∴，则有， ∴， ∵，则， ∴，则， 即当点为时，右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度， m有最小值为， 当点为时，右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度， m有最大值为， 故m的取值范围为； 【小问3详解】 解：根据题意可知，线段的关联点满足， 则线段的关联点满足的图形为： 可得点， ∵点，， 则有，即点的横纵坐标互为相反数， 点位于第二与第四象限的角平分线上， 由，可知沿着轴向左运动， 当点位于点处时，如图， 则有，解得， ∴当时，线段上的点都不是线段的关联点； 线段继续向左运动，当点移动到线段的关联点形成的空白处的边界时， 过点作轴，如图， 则有，，为等腰直角三角形， ∴，， 则有，解得， ∵当时，点与点重合，位于原点，此时不满足题意， ∴当时，线段上的点都不是线段的关联点； 线段继续向左运动，当点移动到线段的关联点形成的空白处的边界时， 标记字母如图， 同理可得，， 则有，解得， ∴当时，线段上的点都不是线段的关联点； 综上，t的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期初一年级期末练习 数 学 说明：本试卷共两部分，三道大题28道小题，共8页，满分100分，练习时长100分钟，练习日期2026年7月1日．学生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查活动中适合使用抽样调查的是（ ） A. 了解全年级同学的校服尺码情况 B. 选出学校短跑最快的学生参加海淀区比赛 C. 了解全班同学的身高体重情况 D. 调查世界杯足球赛的收视率 3. 若，则整数n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在平面直角坐标系xOy中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为( ) A. (3,-1) B. (-3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 7. 若关于x，y的方程组满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论： ①；②；③；④． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 4的平方根是_______． 10. 已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是___． 11. 若是二元一次方程的解，则a的值为__________． 12. 若点在y轴上，则a的值为__________． 13. 如图，直线，直线c分别交直线a，b于点A，B，，平分，若，则的度数为__________． 14. 若满足的每一个x的值都是不等式的解，则k的取值范围是__________． 15. 在三角形中，是高，是角平分线，若，，则的度数为__________． 16. 某条笔直道路上两个路口的距离为，这两个路口的红绿灯变化情况如表格所示，在路口处均设有红绿灯的倒计时牌，显示灯的颜色及剩余时间．在某时刻，路口A与路口B的倒计时牌显示如下图，将此时刻记为．之后在时，一个保持匀速行驶的车队开始通过路口A向路口B驶去，并在时．该车队的最后一辆车通过路口A．设这个车队的行驶速度为，且车队行驶过程中路况良好无干扰，要使该车队在不超过的时限内全体不停车通过路口B，则v的取值范围是__________．（注：不停车通过指到达路口时为绿灯，车辆的长度忽略不计．） 绿灯持续时间（s） 红灯持续时间（s） 路口A 30 30 路口B 75 55 注：红绿灯达到持续时间后，立刻切换另一种颜色的指示灯，切换时间忽略不计，切换的时刻车辆可以通过路口． 三、解答题（共68分，第17-18题每题4分，第19题8分，第20-22题每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式或不等式组： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 20. 证明三角形的内角和定理： 已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180° 21. 如图，已知，是钝角． （1）画出的高，并画出的平分线交于． （2）在的条件下，若平分，，求证：． 请补全下面的推理过程： 证明：∵于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴（填推理的依据： ）， ∵是的外角， ∴（填推理的依据： ）， ∵平分， ∴， ∴， ∴（填推理的依据： ）． 22. 某校初一年级共有270名男生和240名女生，为了解学生的体质健康情况，学校分别抽取了30名男生和30名女生进行了体质健康测试（含20分附加分，总成绩满分为120分），下面给出了部分信息： a．30名男生总成绩分布的直方图如下（数据分7组：，，，，，，） b．男生总成绩在这一组的是： 76.4 77.7 79.9 80.1 81.4 82.5 84.7 c．30名女生总成绩的扇形统计图如下： d．男生总成绩在这一组的同学各单项成绩（百分制）及总成绩的平均分为： 项目 肺活量 50米跑 立定跳远 坐位体前屈 1000米跑 引体向上 总成绩 平均分 92.5 77.8 76.0 62.0 78.3 78.1 7.5 71.6 （1）补全频数分布直方图； （2）扇形图中m的值为 ； （3）若体质健康测试总成绩达到80分及以上为达标，估计全年级同学中达标的学生人数为 ； （4）若将男生总成绩在的同学作为重点突破对象，如果不考虑各项目计入总分的比重，你认为他们应该优先训练提升的项目为 ． 23. 利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆，其中A型车至少10辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 24. 如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． （1）求证：； （2）连接，若平分，，求的度数． 25. 【阅读理解】A为数轴上的定点，点A表示的数是1，P，Q为数轴上两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，在点P出发的同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为． （1）线段的长度为 个单位长度（用含有t的式子表示）； （2）若线段上恰有3个表示整数的点，直接写出t的取值范围． 【探索应用】 （3）若关于x的不等式组的所有整数解的和为2，直接写出a的取值范围． 26. “幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： （1）如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； （2）如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 27. 如图，，射线交于点F．点G在折线上运动（不与D，F重合），点H在直线上运动（不与点F重合）． （1）如图1，当点G在上，点H在点F右侧时，连接交于M，与的角平分线交于点P．求证：． （2）当点G在射线上运动时，连接，与的角平分线所在直线交于点P，画出所有符合题意的图形，并用等式表示和的数量关系（直接写出结论）．注：本小题的每一种情况均需单独画图表示，如将多种情况画在一个图里，将不能得分． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形M，正实数t和点P，给出如下定义：若存在非负实数a，b，使得，将图形M向左或向右平移一次，平移a个单位长度，再向上或向下平移一次，平移b个单位长度，得到图形．若点P在图形上，则称点P为图形M的一个关联点．已知点，， （1）在点，，中，点A的关联点是 ； （2）若点是线段的关联点，直接写出m的取值范围； （3）对于，点，，若线段上的点都不是线段的关联点，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $