暑假作业03 三角形的内角与外角（预习作业，11大题型+课后练习）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 初中数学暑假专项训练，聚焦三角形内角与外角，以知识点为纲，题型分层递进，覆盖核心应用及综合拓展，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形内角和定理|题型1-9、11|含平行线、角平分线、三角板、折叠、实际应用、分情况讨论等|从定理证明（作平行线转化平角）到直角三角形性质，再到多场景综合应用| |三角形外角性质|题型10|直接应用外角等于不相邻内角和等性质求角度|从定义（一边与另一边延长线组成）到性质推导，再到角度计算应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 三角形的内角与外角 【知识点1 三角形内角和定理】 1.定理：三角形三个内角的和等于180°； 注：证明内角和常用方法：作平行线，利用平行线内错角相等，将三个内角转化为平角推导；根据内角和定理，直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.直角三角形表示：直角△ABC可记作Rt△ABC 根据直角三角形角度关系，若Rt△ABC中∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 【知识点2 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 注：判断一个角是否为三角形外角，应根据以下两个标准判断： ①角的一条边是三角形的边； ②角的另一条边是三角形另一边的延长线。 2.外角两条核心性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角； 根据外角性质，三角形所有外角的和等于360°。 【题型1 与平行线有关的三角形内角和】 1．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 4．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 【题型2 与角平分线有关的三角形内角和】 1．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 2．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 3．如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 4．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 【题型3 与三角板有关的内角和问题】 1．如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 2．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 3．如图，的两边被一张长方形纸片部分遮挡，若，，则______． 【答案】/52度 【分析】该题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据平行得出，再运用三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为___．    【答案】 【分析】设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，利用直角三角形的两个锐角互余，得到，利用平行线的性质，对顶角相等和三角形的内角和定理，通过等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图，设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 【题型4 三角形折叠中的角度问题】 1．如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在边上的点处．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理得出，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴． 2．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴. 3．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：由折叠的性质得：， 设， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； ②如图，当时， ∴ ∵， ∴， 解得：， 即 综上，的大小为或． 4．在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【答案】85 【分析】由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理和平角的定义可推出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴． 【题型5 三角形内角和定理的应用】 1．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，则此时面板与水平方向夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的平行线，交于点，由可得，，结合三角形内角和为，求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．图①是共享单车的实物图，图②是其示意图．已知，，点，，三点在同一条直线上，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质、三角形的内角和是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，先求出，再求出的度数，然后结合计算即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点为入射点，为法线， ∴， ∴， ∴． 4．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于点，已知Cobb角为，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则根据三角形内角和定理可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6 三角形内角和中需分情况讨论】 1．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 2．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 3．将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 4．已知在中，射线平分，交边于点，点是射线上一点，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解． 【详解】，，射线平分， ， 当，如图所示，， ； 当，如图所示，， ， ； 当，延长交直线于点，如图所示，， ， ； 在中，， 综上所述，的度数为或或． 5．已知是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则等于________度． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示， 当时，； 如图所示， 当时， ∵是的高， ∴， ∴． 【题型7 利用三角形内角和求角度之间的关系】 1．如图，平分，的延长线平分，，设，用含的式子表示∠C为_____． 【答案】 【分析】连接、延长至H，设，．利用得同旁内角互补，结合内角和，推导出；再在中用内角和定理，联立消去，最终求得． 【详解】解：连接，延长至H，如图， ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ∴， ∵； ， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 在中，， 又∵；， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】解题核心是构造辅助线连接并延长，通过设元法表示角平分线分出的角，利用平行线性质和三角形内角和建立方程，通过联立消元消去未知角，直接得到与的数量关系． 2．如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，，是反射光线． 要使反射光线与地面平行，与应满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角相等，两直线平行，得时，，利用三角形内角和，求解即可； 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，当时，， 因为， 所以， 因为 所以 所以； 3．已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，与相交于点，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设与相交于点，与相交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点E， ∴，， ∴由可得：． 4．图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时．如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线与入射光线平行，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，得到，设，则，利用平行线的性质，以及光的反射现象，列式计算即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得． 5．如图，，点在平行线之间．连接并延长，与直线交于点；连接并延长，与直线交于点，与的角平分线交于点，且．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，设，根据平行线的性质及角平分线得到，，，再根据，得到，由三角形内角和即可求得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 设， ， ，． 与的角平分线交于点， ，． ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ． ， ． ． ． ． 【题型8 三角形内角和中多结论问题】 1．如图所示，的角平分线相交于点F，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余判定①；根据平行线的性质和角平分线的定义判定③；根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，结合③的结论判定②；根据平行线的性质和垂直的定义求出的度数，判定④ 【详解】解：∵， ∴ 在中，， 故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∴， 而，不一定等于， ∴不一定等于， 故②错误； ∵，， ∴，即， 若平分，则， 题目未给出， 故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 2．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在射线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中，正确的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤，共4个． 3．如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中是正确结论的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】①由可得出，结论①正确；②由进而可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可得出，结论②正确；③由可得出，结合可得出，即平分，结论③正确；④由可得出，结合比的余角小，可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论④正确；⑤根据角平分线的定义可得出以及，将两个等式相减得到，结合结论④，可求出的角度为定值20°，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①，， ， 结论①正确； ②， ， ， ， ，结论②正确； ③， ， ，即平分， 结论③正确； ④， ， ， ， 比的余角小， ， ， ， ， ， ， ， 结论④正确； ⑤为的平分线， ，即， 平分， ，即， ， ，即， 由结论④知， ，即， 结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有①②③④⑤． 4．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，有下列结论：①若，则；②；③；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由角平分线的定义可得，，结合题意证明出，可判断③；再由平行线的性质即可判断①；求出，即可判断②；根据角平分线的定义及平行线的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分 ∴，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ①若，则， ∴，故①正确； ②∵，，， ∴， ∴，即，故②正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 【题型9 三角形内角和解答题综合】 1．如图，平分，，，， (1)求的度数． (2)设，，求（用，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴. 2．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 3．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)3 (2)10 (3) 【分析】（1）是中线，，共线，周长差，就是与的差值； （2）与以所在直线为底，高度相等，是中线，，所以； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，再求出的余角，最后，求出． 【详解】（1）解：是中线， ， ． （2）解：是中线， ， 是的高， ，， ． （3）解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线，， ． 4．如图，，点在直线上，点在直线上，与交于点，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由可得，又，可得，从而可得； （2）由三角形内角和定理得，由可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型10 利用三角形的外角求角度】 1．如图，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质、三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 3．唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 4．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，已知，，，点在边上．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，，由三角形的外角性质得，可得，根据邻补角的定义可得的度数． 【详解】解：∴，，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴． 5．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用可得，再利用三角形外角的性质即可解得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【题型11 三角形内角和与外角解答题压轴】 1．概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三等分线”，是“邻三等分线”． 【问题解决】 (1)如图①，，，是的“三等分线”，则_____； (2)如图②，在中，，，若的邻三等分线与的邻三等分线交于点P，则_____； (3)如图③，在中，、分别是邻三等分线和邻三等分线，且，求的度数． (4)【延伸推广】在中，是的外角，的邻三等分线与的三等分线交于点P．若，，直接写出的度数．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三分线定义求出结果即可； （2）根据“三分线”定义求出，，在根据三角形内角和定理求出； （3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （4）分两种情况：当是 “邻三等分线”时，当是 “邻三等分线”时，分别根据三角形外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，是的“三分线”， ， ； （2）解：∵在中，，，的邻三等分线与的邻三等分线交于点P， ∴， ， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∵、分别是邻三等分线和邻三等分线， ，， ， ， ； （4）解：∵，，为的外角， ∴， ∵是 “邻三等分线”， ∴， 当是 “邻三等分线”时，如图所示： ∴， ∴， ∴； 当是 “邻三等分线”时， ∴， ∴； 综上：的度数是或． 2．按要求解答问题： (1)如图（1），在中，，点在线段上（点不与端点、重合），连接，作，交线段于点． ①当时，__________，__________； ②当点在线段上（点不与端点、重合）运动时，与相等吗，请说明理由； (2)如图（2），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，设，．则与的数量关系为__________________________． (3)如图（3），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】(1)①30；30；②与相等，理由如下： ∵，且， ∴． (2)或 (3)或 【分析】（1）①根据邻补角及三角形内角和进行求解即可；②根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）由题意可分当点E在的上方时，当点E在的下方时，然后画出图形进行求解即可； （3）由题意可分当点E在的上方时，当点E在的下方时，然后画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ②略 （2）解：由题意可分：当点E在的上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点E在的下方时，如图所示： ∵，，且， ∴， ∵，， ∴，即； （3）解：由题意可分：当点E在的下方时，如图所示： 设，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在的上方时，如图所示： 设，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 3．【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 4．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，结合题意可得，求出，即可得出结果； （2）过点作，则，结合题意可得，从而得出，再结合，即可得出结果； （3）记与相交于点，，求出，记与相交于点，则，，由角平分线的定义可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，记与相交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 记与相交于点，则， ∵， ∴， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ． 5．如图1，直线l分别交，于点M，N（点M在点N的右侧），若 (1)求证：； (2)如图2，点E、F在，之间，且在的左侧，若，求的度数； (3)如图3，点H在直线上，且位于点M的左侧；点K在直线上，且在直线的上方．点Q在的角平分线上，且，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或，理由见详解 【分析】（1）根据平行线的判定证出即可； （2）过点E，F分别作，，可得，根据平行线的性质即可求解； （3）分两种情况考虑：在内和在外，根据平行线的性质和三角形外角的性质分别求出结论即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E，F分别作，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：或， 理由：如图，过点Q作，连接， ∴， ∵平分， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 即； 如图，作的角平分线交于点Q，与直线l交于点J， ∴，， ， ∵， ∴， 即． 1．如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ， 是的外角， ， ， ． 2．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 3．如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】，， ． ， ． 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，进而根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，点在上，交于点，点在上，与交于点．下列角中，与相等的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据两直线平行、同位角相等以及三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即A选项符合题意； ∵与不平行， ∴，即选项B不符合题意； 由，即选项C错误； 与没有直接关系，即选项D错误． 6．如图，在中，分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论正确的有（   ）个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据垂直的定义、对顶角相等及直角三角形两锐角互余判断①；根据三角形外角的性质及角平分线的定义判断②；根据三角形内角和定理、角平分线及高线的性质推导角度关系判断． 【详解】解：，， ，（设与交于点）． ，． ， ，故①正确； 平分， ． 是的外角， ． ． 是的外角， ． ． ，故②正确； ，， ，故③正确； ， 在中，， ． ， ． ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 7．如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】/45度 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 8．如图，直线，若，，则的度数是_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴． 9．消防云梯其示意图如图所示，其由救援台，延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台，车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图，使得延展臂与支撑臂所在直线互相平行，且，，则这时_______°．    【答案】 【分析】先求出，再利用平行的性质得到，然后根据即可求解． 【详解】解：延长交于， ，，， ，， ， ， ． 10．如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题意可得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，然后根据三角形的外角的性质得； （2）由垂直定义得，再根据三角形外角的性质得，进而得，则此题可解． 【详解】（1）解：∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：为定值，理由如下： ∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为定值． 11．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 12．已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________ 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：设， ∵平分， ， ，， ∵， ∴， 、分别平分和， ，， ， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 完成时间： 月 日 今日打卡： 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 三角形的内角与外 新知初探 【知识点1三角形纳角和定理】 1.定理：三角形三个内角的和等于180°； 注：证明内角和常用方法：作平行线，利用平行线内错角相等，将三个内角转 定理，直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.直角三角形表示：直角△ABC可记作Rt△ABC 根据直角三角形角度关系，若Rt△ABC中∠C=90°，则∠A+∠B-90°。 【知识点2三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角： 注：判断一个角是否为三角形外角，应根据以下两个标准判断： ①角的一条边是三角形的边； ②角的另一条边是三角形另一边的延长线。 2.外角两条核心性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角： 根据外角性质，三角形所有外角的和等于360°。 基础检测 【题型1与平行线有关的三角形纳角和】 1.如图，直线a∥b、∠1=50°，∠3=100°，则∠2的度数为() 1/19 上好每一堂课 ▣已完成 恩思思恩 角 化为平角推导；根据内角和 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 3 A.20° B.30° C.35° D.40° 2.如图，直线a∥b,CD⊥AB于点D,若∠1=130°，则∠2等于() A -a D 2 C A.70° B.60° C.50° D.40° 3.如图，直线a∥b,若∠1=40°，∠2=70°，则∠3等于（) a 6 A.30° B.40° C.50° D.70° 4.如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD,∠1=110°，∠3=40°，那么∠2的度数为() G B A.80 B.90° C.100° D.70° 【题型2与角平分线有关的三角形内角和】 1.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AC于点E.若∠BAD=40°， 则∠AEB的度数为() 2/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 E D A.50° B.55 C.60° D.65° 2.如图，AE是ABC的角平分线，AD⊥BC于点D,若∠B=40°，∠C=64°，则∠DAE的度数是() ED A.10° B.12° C.15 D.18 3.如图，P为ABC内一点，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,且LA=100°，则∠BPC的度数是() p B A.100 B.110° C.140° D.130° 4.如图，在ABC中，BD,CE是角平分线，且BD,CE相交于点F,∠A=68°.则∠BFC的度数是() B A.56° B.68 C.112 D.124° 【题型3与三角板有关的内角和问题】 1.如图，某同学将一块含30°角的直角三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2=() A.70° B.80° C.90° D.100° 2.将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中LEFG=30°，点F,E分别落 3/19 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在边AB,CD上，GF与CD交于点H,若∠CEG=I40°，则∠AFE的度数为() B A.40° B.35o C.30° D.20° 3.如图，∠P的两边被一张长方形纸片部分遮挡，若∠1=120°，∠2=68°，则∠P=· 4.如图AB∥CD,一个含45°的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行 线的外部，设∠1=x°，L2=y°，则x与y的数量关系为 A G45 B D 【题型4三角形折叠中的角度问题】 1.如图，在ABC中，∠A=80°，∠B=40°，点M,N分别在边AB,BC上，将∠B沿MN折叠，点B落 在边AC上的点B处.若∠NB'C=90°，则∠MNB'的度数为 M B 2.如图，三角形纸片ABC中，∠A=80°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，∠B=60°，∠a=30°， 则∠B的度数是· 4/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C B 3.如图，在ABC中，∠A=60°，∠C=50°，D是线段AC上一个动点，连接BD,把△BCD沿BD折叠， 点C落在同一平面内的点C处，当DC'平行于ABC的边时，∠CDB的大小为 B 4.在等腰ABC中，AB=AC,将∠B,∠C按如图方式折叠，点B,C均落在BC边上的点G处，线段 MN,EF为折痕.若LA=85°，则∠MGE的度数为 M B 【题型5三角形内角和定理的应用】 1.如图是一款手机支架，若张角∠BCD=80°，支撑杆BC与桌面夹角∠B=60°，则此时面板CD与水平方 向夹角∠1的度数为() DA! A.50° B.45° C.40° D.35° 2.图①是共享单车的实物图，图②是其示意图.己知AB∥CD,AM∥CE,点C,B,E三点在同一条 直线上，且∠BCD=55°，∠BAC=45°，则∠CAM的度数为() 5/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图① 图② A.65 B.70 C.75° D.80 3.如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平 面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形ABCD表示，司机位于车内左前方，眼晴用点O 表示，OE∥AB,左侧后视镜用线段AP表示，左后视镜打开后AP与AB形成的∠BAP可在一定范围内调 节，点H为入射点，HH'为法线，图上各点均在同一平面内.当∠BAP=60°，∠EOH=70°，则反射角 ∠HH0的大小() 前方 法线 D H P 入射光线 反射光线 入射角反射角 入射点 平面镜 B C 后方 图① 图② A.30° B.40° C.50° D.60° 4.脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评 估脊柱侧弯的程度，当Cobb角>10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯Cobb角L0)的检测示意图，DA1OC 于A,CB⊥OD于B,BC与AD交于点E,己知CObb角为35°，则∠AEC的大小是() 凸面 凹面 宽 宽当cobb>10°为脊柱侧弯 宽》 B 宽 宽 C cobb角 A.35° B.45° C.55° D.65° 6/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型6三角形纳内角和中需分情况讨论】 1.如图，在ABC中，∠C=90°，∠A=42°，点D、E分别在ABC的边AC、AB上，连接DE,将 ABC沿DE折叠，A'D交边AB于点F,且点与点C在直线AB的异侧.当△A'DE的某条边与AC垂直 时，∠ADE= A 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，LABC=30°，BD平分∠ABC交AC于点D,点E是射线BC上的 动点，连接AE,∠BAE的平分线与BD交于点P,若LCAE=20°，则∠APB的度数为 D B E C 3.将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点D在BC上.现将三角尺ABC(∠B=45°)固定不 动，将三角尺CDE(∠E=30°)绕顶点C顺时针旋转180°，则在整个旋转过程中，当直线DE与三角尺 ABC三边所在直线垂直时，∠BCD的度数为 A B D C 4.己知在ABC中，射线BE平分∠ABC,交边AC于点O,点P是射线BE上一点，若LABC=40°， ∠ACB=30°，直线CP与ABC的一条边垂直，则∠BPC的度数为 C 5.已知BD,CE是ABC的高，直线BD,CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC等于度. 7/19 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型7利用三角形内角和求角度之间的关系】 1.如图，AB平分∠FBC,AD的延长线平分∠EDC,BF∥DE,设∠A=a,用含O的式子表示∠C为 E A D B 2.如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，∠I=∠2，DE是反射光线.要 使反射光线DE与地面AB平行，∠APD与∠CAB应满足的数量关系是() LC -E —B A.∠APD=180°-2∠CAB B.∠APD=180°-3 CAB C.∠APD=90°+∠CAB D.∠APD=90+∠C4B 3.已知AC和BD是四边形ABCD的对角线，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点E.设LBDC=&, ∠BAC=B(其中a>B),则() E D C A.∠E=2a-BB.∠E=2B- C.2∠E=a+BD.∠E=2a-2β 4.图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时∠1=∠2·如图2，若一束光线射向一组镜面， 经三次反射后的反射光线DE与入射光线AB平行，则∠a与∠B的数量关系是() 8/19 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 图1 图2 A.∠a+∠β=180° B.∠β-∠a=90° C.3∠o=∠β D.3∠o+2∠B=360° 5.如图，AB∥CD,点P在平行线AB,CD之间.连接PA并延长，与直线BD交于点E;连接PC并延长， 与直线BD交于点F,∠PCD与∠ABD的角平分线交于点Q,且BQ∥PE.若∠Q-∠P=a,∠PEF=B ,则∠PFE一定等于() A.180°-a-BB.90°+B-a C.+β D.2a-2B 2 【题型8三角形纳内角和中多结论问题】 1.如图所示，ABC的角平分线CD、BE相交于点F,∠A=90°，EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列结论： ①∠ADC+∠ACD=90°；②∠DFB=∠CEG;③LCEG=2LDCB;④CA平分∠BCG.其中正确的结论是() A D A.①②③④B.①②③ C.①④ D.①③ 2.如图，己知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C,AB平分 ∠DAC,点N在射线DB上，且BN平分LFBC,若LACB=II0°.则下列结论：①∠MAB=∠BAD;② ∠ABM=∠BAM:@∠BC=∠8DH:④若∠CBM=a,则∠BAD=5-a:⑤∠DBA=5°其中，正确 的有()个 9/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C B G -H A D A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，点E在CA延长线上，DE,AB交于点F,且∠BDE=∠AEF,∠B=∠C,LEFA比LFDC的余 角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FOP=∠QFP,FM为∠EFP的平分线.下列 结论：①CE∥BD;②AB∥CD;③FQ平分∠AFP;④LB+∠E=140°；⑤∠QFM=20°.其中是正确结 论的有()个 OP D A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，四边形ABDC中，AF平分∠BAC交BD的延长线于点F,CE平分LACD交DB的延长线于点E, AF与CE交于点P,∠1+∠2=90°，有下列结论：①若∠ABE=110°，则∠CDF=70°；②AF⊥CE;③ AB∥CD;④若∠ACD=2∠E,则∠CAB=2LF,其中结论正确的有() A B 2 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型9三角形内角和解答题综合】 1.如图，AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=45°，∠C=73°， D E (1)求∠DAE的度数. 10/19 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)设∠B=a,∠C=B,求∠DAE(用a,B表示) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F. E (1)如果LCFE=70°，求∠B的度数； (2)试说明：LCEF=LCFE. 3.如图，在ABC中，AD,AE,AF分别是ABC的高、角平分线、中线. B FE万 (1)若AB=7,AC=4,则△ABF与△ACF的周长差为； (2)若△ABF的面积为5，则ABC的面积； (3)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数. 4.如图，AB∥CD,点E,F在直线AB上，点G在直线CD上，ED与FG交于点H,∠C=∠EFG. A FB (I)CE与FG平行吗？请说明理由； (2)若∠HGD=∠GHD,∠D=42°，求CED的度数. 5.如图，在ABC中，AD,AE,AF分别是ABC的高、角平分线、中线. B、 F ED (1)若AB=12cm,AC=10cm,求△ABF与△ACF的周长之差； (2)当LB=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数. 11/19 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型10利用三角形的外角求角度】 1.如图，已知AB∥DE,∠A=20°，∠D=45°，则∠C的度数是() A.20° B.259 C.30° D.35 2.如图，∠DAC是ABC的一个外角，∠B=48°，∠C=27°，则∠DAC的度数是() D 人48° 27°7 C A.27 B.48° C.75° D.105° 3.唐朝王湾的《次北固山下》领联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气， 坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪.如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，已知BC∥EF, ∠A=20°，∠ADE=70°，则∠C的度数为() B D A.30° B.459 C.50° D.55° 4.将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，己知LACB=∠F=90°，∠A=45°，∠DEF=30°， 点D在边AB上.若∠BED=28°，则∠1的度数是() 4 B A.90° B.100° C.103° D.105° 5.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A,E,C,F在同 一条直线上，LBAC=LEDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD‖BC时，∠ADE的大小为() 12/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.5 B.15° C.169 D.18° 【题型11三角形纳角和与外角解答题压轴】 1.概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的三分线”.其 中，BD是“邻AB三等分线”，BE是“邻BC三等分线”. B B ① ② ③ 【问题解决】 (1)如图①，LABC=60°，BD,BE是∠ABC的三等分线”，则∠ABE=°： (2)如图②，在ABC中，∠B=60°，∠C=72°，若∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P, 则∠BPC=°； (3)如图③，在ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线，且∠BPC=145° ,求∠A的度数 (4)【延伸推广】在ABC中，LACD是ABC的外角，∠B的邻BC三等分线与∠ACD的三等分线交于点P. 若∠A=x°，∠B=°，直接写出∠BPC的度数.（用含x,y的代数式表示） 2.按要求解答问题： (1)如图(1)，在ABC中，LB=∠C=40°，点D在线段BC上（点D不与端点B、C重合），连接AD, 作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. B D 图(1) 13/19 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当∠BDA=110°时，∠EDC= O,∠BAD= o; ②当点D在线段BC上（点D不与端点B、C重合）运动时，∠BAD与∠EDC相等吗，请说明理由； (2)如图(2)，在ABC中，LABC=∠ACB=40°，当点D运动到CB的延长线上时，连接AD,作 ∠ADE=∠ABC,DE交直线AC于点E,设∠BAD=x°，∠AED=y°.则x与y的数量关系为 D B 图(2) (3)如图(3)，在ABC中，∠ABC=∠ACB,当点D运动到BC的延长线上时，连接AD,作 ∠ADE=∠AED,DE交直线AC于点E,请直接写出此时∠BAD与∠EDC之间的数量关系. 图(3) 3.【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容. 图1 图2 图3 图4 【问题回顾】 (1I)已知：如图1，在ABC中，LA=60°，BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,∠BDC的度数是_ (2)已知：如图2，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACE,试判断∠A和∠E的数量关系，并说 明理由。 (3)如图3，BF平分外角∠CBP,CF平分外角∠BCQ,若设∠A=a,则∠F=-·(用含O的式子表示) 【拓展与应用】 14/19 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)如图4，BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，则 LBIC =_ 4.结合图形，解答下列各题： 图1 图2 图3 (1)如图1，AB∥CD,∠AEP=30°，∠PFD=130°，则∠EPF= (2)如图2，AB∥CD,点P在AB的上方、点E、点F分别在AB,CD上，连接PE,PF,试探究∠PEA、 LPFD、∠EPF之间的数量关系是 (3)如图3，在(2)的条件下，已知：∠EPF=44°，∠PEA的角平分线和LPFC的角平分线交于点G,求 ∠EGF的度数. 5.如图1，直线1分别交AB,CD于点M,N(点M在点N的右侧)，若∠1=∠2 (1)求证：AB∥CD; (2)如图2，点E、F在AB,CD之间，且在MN的左侧，若LMEF+∠EFN=255°，求LAME+∠FNC的度 数 (3)如图3，点H在直线AB上，且位于点M的左侧；点K在直线MN上，且在直线AB的上方.点Q在 ∠MND的角平分线NP上，且∠KHM=2∠MHQ,若∠HQN+∠HKN=75°，直接写出∠PND和∠QHB的 数量关系。 小试牛刀 1.如图所示，直线ab,直线BC与直线a、b分别交于点B、C、点D在直线a上，点A在直线BC上，连接 AD,若∠2=25°，∠1=55°，则∠A的度数为() 15/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 D 6 C A.30° B.35o C.40° D.45o 2.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65·,∠B=75·,将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C 处，若∠1=30°，则∠2的度数为（) D 2 C A.100° B.110° C.125° D.130° 3.如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示.若ABCD,BC与AD相交于点O,点 F在DA的延长线上，∠FAB=115°，∠A0B=60°，则∠BCD的度数是() D 图1 图2 A.45o B.50 C.55o D.60 4.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F 在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45·,∠DEF=60°.当AD‖BC时，∠ADE的大小 为() B A.15 B.20° C.25o D.30° 5.如图，在△ABC中，点D在AB上，DEBC交AC于点E,点F在BC上，AF与DE交于点G.下列角 16/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中，与∠AED相等的是()· B A.∠ACB B.∠EGF C.∠AFB D.∠BAF 6.如图，在△ABC中，BD,BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于 BE,交BD于点G,交BC于点H.下列结论正确的有()个. ①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C: ③∠FEB=∠ABE十∠C;④2∠F=∠BAC-∠C. A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图点B在DC上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠DEB的度数是一· D∠ 8.如图，直线a‖b,若∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数是 2 a -b 9.消防云梯其示意图如图所示，其由救援台AB,延展臂BC(B在C的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF 构成.在作业过程中，救援台AB,车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工 作，需要进行作业调整，如图，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相平行，且∠EFD=59·, ∠CEF=130°，则这时∠ABC=° 17/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B E M 1O.如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于E,交BC的延长线于点F. E (1)若∠A=25°，∠B=40°，求∠F的度数； (②)在D点运动的过程中，探究∠A十∠B+∠F是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说 明理由. 11.如图，在△ABC中，∠ACB>∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线 BC于点E: B (1)若∠B=40°，∠ACB=80°，求∠E的度数； (2)求证：∠E=(∠ACB-∠B). 12.己知在△ABC中，AE平分∠BAC,∠C>∠B y y B ED C EGC B ED C GM (a) (b) (c) 【特例探究】 (1)如图(a),AD⊥BC,垂足为D,若∠B=35°，∠C=65·,则∠DAE的度数为 【一般推导】 18/19 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图(b),点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC,垂足为G.请写出∠EPG与∠B,∠C之间的数量关 系： 【拓展应用】 (3)如图(c),在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,EP,CP分别平分∠AEC和∠ACM,过点P作 PG⊥BC交BC延长线于点G.若∠EAD=∠CAD,∠CPG=号（∠B+∠CPE),求∠B的度数. 19/19