精品解析：四川省乐山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

乐山市普通高中2027届高一下学期教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若为单位向量，则 B. 若为平行向量，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ） A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 平行的线段在直观图中仍然平行 C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直 D. 相等的角在直观图中仍然相等 4. 小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（ ） A. 0.16 B. 0.64 C. 0.8 D. 0.96 5. 下列命题中正确的有（ ）个 ①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ③如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ④垂直于同一条直线的两条直线平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某班级对60名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表： 分数段 人数 6 12 18 15 9 则这次测试成绩的第80百分位数是（ ） A. 84 B. 85 C. 88 D. 92 7. 函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列推断正确的是（ ） A. A，B，，A，B，，且A，B，C不共线重合 B. C. 已知平面和直线l有交点，则“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且”的充要条件 D. 已知m，l是两条不同的直线，是两个不同的平面， 10. 设向量，下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 与垂直 C. 若时，则 D. 若时，在上的投影向量为 11. 在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生进行测量．已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生体重的平均数和方差分别为45，11，则（ ） A. 抽取的男生有50人 B. 抽取的女生有50人 C. 估计该校高三年级学生体重的平均数为50 D. 估计该校高三年级学生体重的方差为36 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算: ________． 13. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．某广场设置了一些石凳供大家休息（如图），这些石凳是14个面的半正多面体，如果石凳的棱长为1，则石凳的表面积是________，体积是________． 14. 已知梯形ABCD，点P是梯形内一点，且满足，则三角形面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． （1）求和的值； （2）求两次摸到的不都是红球的概率． 16. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 100 第二组 第三组 250 第四组 300 第五组 第六组 50 （1）请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图； （2）试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）． 17. 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求C； （2）若，边AB上的高为，求的周长． 18. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 19. （1）叙述正弦定理； （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； （3）类比上述方法，解决以下问题：如图，直线l与的边AB，AC分别相交于D，E，设，试用向量的方法探究与的边角之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市普通高中2027届高一下学期教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点为在第一象限. 故选：A. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若为单位向量，则 B. 若为平行向量，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 3. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ） A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 平行的线段在直观图中仍然平行 C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直 D. 相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 4. 小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（ ） A. 0.16 B. 0.64 C. 0.8 D. 0.96 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是. 故选：C. 5. 下列命题中正确的有（ ）个 ①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ③如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ④垂直于同一条直线的两条直线平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①②，可直接进行判断；③可假设平面内存在直线垂直于平面，推出矛盾，得到③正确；④可举出反例. 【详解】①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，正确； ②过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，错误； ③假设平面内存在直线垂直于平面，则可以推出平面垂直于平面， 所以假设不成立，故③正确； 对于④，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，错误. 故选：B． 6. 某班级对60名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表： 分数段 人数 6 12 18 15 9 则这次测试成绩的第80百分位数是（ ） A. 84 B. 85 C. 88 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】计算出各组的频率，根据百分位数的求解方法，即可求得答案. 【详解】由题意可知，，，，的频率依次为： ， 由于， 故这次测试成绩的第80百分位数位于内， 设为x，则，解得， 故选：C 7. 函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意先确定函数的最小正周期，即可求出，利用点的坐标可求出，即可得答案. 【详解】由题意函数的图象的一个最高点坐标为， 相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为， 故，且， 即，将代入得，即， 则，即，结合选项可知， 故选：D 8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列推断正确的是（ ） A. A，B，，A，B，，且A，B，C不共线重合 B. C. 已知平面和直线l有交点，则“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且”的充要条件 D. 已知m，l是两条不同的直线，是两个不同的平面， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的有关公理、定理逐项判断即可. 【详解】对于A．有三个不共线的点在平面中，重合，故A正确 对于B．若，则有，但，故B错误 对于C．若直线l与平面垂直，则l垂直内的任意一条直线，若平面内存在两条夹角为的直线m，n，则且，故充分性成立； 若平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且，由线面垂直的判定定理可知直线l与平面垂直，故必要性成立； 所以“直线l与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线m，n，使得且”的充要条件．故C正确． 对于D．，则，又，设过的平面与平面的交线为，则则，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 设向量，下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 与垂直 C. 若时，则 D. 若时，在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性关系判断A，应用数量积公式及模长公式计算判断B，应用向量夹角余弦公式计算判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】当时，，则，A选项正确； 因为， 所以与垂直，B选项正确； 因为，所以，C选项错误； 当时， 在上的投影向量为，D选项正确； 故选：ABD. 11. 在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生进行测量．已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生体重的平均数和方差分别为45，11，则（ ） A. 抽取的男生有50人 B. 抽取的女生有50人 C. 估计该校高三年级学生体重的平均数为50 D. 估计该校高三年级学生体重的方差为36 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样确定抽取的男生及女生判断A，B，再应用分层抽样得出平均数及方差计算求解判断C，D. 【详解】按男、女生人数的比例用分层随机抽取90名学生抽取的男生有人，抽取的女生有人，故A正确，B错误； 由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式，故C正确，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算: ________． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用平方差公式展开，再结合即可. 【详解】. 故答案为：1 13. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．某广场设置了一些石凳供大家休息（如图），这些石凳是14个面的半正多面体，如果石凳的棱长为1，则石凳的表面积是________，体积是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】弄清楚正方形和正三角形的个数，求其表面积；弄清楚几何体的构造，利用正方体的体积求该几何体的体积. 【详解】石凳的表面是由6个正方形和8个正三角形构成，其边长均为1， 所以其表面积为：. 如图： 该几何体是由正方体截去8个一样的三棱锥得到的，且正方体的棱长为， 截去的小三棱锥的体积为：. 所以该几何体的体积为：. 故答案为：； 14. 已知梯形ABCD，点P是梯形内一点，且满足，则三角形面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定梯形ABCD的具体形状，再确定的准确位置，即可求面积. 【详解】如图： 在梯形中，因为，所以. 取中点为，中点为， 则，. 由得. 所以为中点. 如图： 因为， 所以，，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． （1）求和的值； （2）求两次摸到的不都是红球的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （2）利用对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． 【小问2详解】 事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 16. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 100 第二组 第三组 250 第四组 300 第五组 第六组 50 （1）请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图； （2）试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）． 【答案】（1），，直方图： （2）众数为，中位数为，平均数为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率，进而可得到频数. （2）根据众数、中位数和平均数的知识进行求解即可. 【小问1详解】 第二组的频率为， ， ， 补全频率分布直方图如下： 【小问2详解】 观众年龄的众数为， 设年龄的中位数为，， 中位数位于. 则，解得， 年龄的平均数. 17. 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求C； （2）若，边AB上的高为，求的周长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简，再应用二倍角正弦计算求出角； （2）应用面积公式求出，再结合余弦定理求出边即可得出周长. 【小问1详解】 ， ， ， ，即， ， 或； 【小问2详解】 ， ， 边AB上的高为， ，则， 又由余弦定理得， ， 又， 或， 的周长. 18. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先用线面平行判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理即可； （2）先用线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的定义得出，结合，可得； （3）先找到直线与平面所成的角，用余弦定理求出，再根据线面垂直判定定理得出平面，找到棱锥的高，计算底面梯形的面积，最后根据锥体体积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， 又中平面，平面， 平面，又因为平面， 平面平面， 【小问2详解】 在等边中，为的中点， 侧面为矩形，． 又，平面 平面 平面， 又， . 【小问3详解】 过作的垂线，垂足为， 由（1）（2）可知平面， 平面 又平面， 又，且两直线在平面内， 平面， 又，则就是与平面所成的角， ， 在中由余弦定理可得， 所以，易知，即为的中点， ， 又且，且两直线在平面内， 平面， 四边形为梯形且， 平面， . 19. （1）叙述正弦定理； （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； （3）类比上述方法，解决以下问题：如图，直线l与的边AB，AC分别相交于D，E，设，试用向量的方法探究与的边角之间的等量关系． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）叙述正弦定理. （2）利用向量法证明正弦定理. （3）由，取的方向向量，利用探索与的边角之间的等量关系. 【详解】（1）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 即 （2）如图，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为 因为，所以 由分配律，得 即， 也即． 所以 同理，过点C作与垂直的单位向量， 可得 因此 （3）如图，在中，． 设单位向量． 于是，即 过点D作BC的平行线，则 而 故． 所以 当为零角、直角、钝角时，仍然成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $