山东济南市2025-2026学年高一下学期7月期末学情检测数学试题

2026年春季学期高一期末数学 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 3 4 5 6 7 8 答案 D A A D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2: . 14.13元； 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 （1)由频率分布直方图可得，10×(0.010+2a+0.025+0.030+0.050)=1, 解得a=0.015 所以6组数据[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05， 所以前3组的频率之和0.1+0.15+0.15=0.4<0.5， 前4组的频率之和0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5， 故中位数在区间[70,80)内.设中位数为x,由 04030xx70=05,得到x=.因此，中位数为2四 3 (2)根据频率可得，分数在[80,90)，[90,100]的两组志愿者分别有25人，5人，故按照 分层抽样，抽得的[80,90)志愿者人数为5，分别设为a,b,c,d,e,[90,100]志愿者人 数为1，设为f. 这6人中选出2人，样本空间为 2={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f)(b,c),(b,d)(b,e), -1 (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)}, (2)=15, 设选出的两人来自同一组为事件A,则 A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e n(0=10, 故选出的两人来自同一组的概率为P(4)=15号 102 16.【解析】 (1)由条件可得z+z2=a2-4+(a-2)i,若z1+z2是纯虚数， 则满足 a2-4=0 ,解得a=-2. a-2≠0 (2)由（1)知z2=-2-3i,所以z·z2=(2-i)(-2-31)=-7-4i, 得到z·22的共轭复数为云·z=-7+4i. (3)由(1)知名+z2=-4i,根据模的计算公式得|2，+z2=4,即|a,+2P=16. 又因为a-22=4+2i,根据模的计算公式得z,-2=25，即1云-2，P=20. 所以川名+22P-|31-222=-4. 17.【解析】 解：(1)由a:b:c=3:√3：4，可设a=3k,b=13k,c=4k, cosB-a+o-b2(3k)+(4k)-(3k)1 2ac 2×3k×4k 因为B∈(0，元)，所以B= 3 (2)因为ccosA+acosC=2W13, 所以 cx +c2-心+ax。+b-c=2B, 2bc 2ab 解得b=23.又因为a:b:c=3:3:4, 所以a=6,c=8. 因为SMBC=SMBD+SACBD, -2- 所以，acsin B=& 2 BD.sin 2 BD.sin 22 2 即)x6x8x5_1x ×8×BDX三+ 22 x6×BD×2 1,1 22 解得BD= 24V5 7 4 (3)由角平分线定理得AD=DC, 3 所以AD=8 3,CD-6/3 7 在△ABD中， 83+245-8 COs∠ADB= DA+DB-AB2 7 39 2·DA·DB 2×8iE×24V5 26 X 7 7 所以AC.BD=11os∠ADB=25×24W5×B_-2 -X 7 26 7 18.【解析】 (1)取PA中点L,连接EL,LF, 由题意可知，LF∥AB,且LF=AB, 2 ELe==E 又因为EC∥AB,且EC=AB, D 2 则LF∥EC,且LF=EC,则四边形ECFL是平行四边形， 则LE∥CF, 又因为LEc平面PAE,CF丈平面PAE, 所以CF∥平面PAE. (2)(i)取AE中点H,连接PH, 由题意可知，△PAE中，PE=PA=2,∠APE=T 所以PH=√2. 设四棱锥P-ABCE的高为h,则h≤PH=√2. 因为Sas=Sow-Sae=6,4as=号Saeh=25, 所以求得h=√2，即PH=h,所以PH⊥平面ABCE, 因为BEc平面ABCE,所以PH⊥BE. -3- 由题意可知，△ABE中，AE=BE=2N2,AB=4, 所以AE2+BE2=AB2,所以BE⊥AE, 又因为PH∩AE=H,所以BE⊥平面PAE. (ii)记直线PA与平面PBC所成的角为O,点A到平面PBC的距离为d, 则sin0= dd PA2 因为S4BCE=6,S△MBc=4, 42 所以Vc=Vp-Bc=p-ABcE全3】 D 取BC中点G,连接HC,HG,HB, 由题意可知△GC为直角三角形，且∠HGC=子，HG=3，CG=1, 所以HC=√10， 又因为PH⊥平面ABCE,所以PH⊥CH, 因为PH=√2，所以PC=25,同理PB=2√5， 因为BC=2,可得SAPRC=Vi, 因为x青xd= 2,所以d=4 11 所以s血0-号2匠，即直线PH与平面PC所成的角的正浓值为2区 211 11 19.【解析】 √2 (1)(i)am8,= 1,-π<4≤，解得8-年6=2+2=2 (ii)由(i)知：甲初始位置位于点S(反，V2),6=元 4 若机器人甲按照指令(2r,)继续移动，则∠OST=π+0， 若机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令(r,-无) 移动，则 12 在△Os7中，由余弦定理知：c0s+9=4+2>0,所以c0s0<0 2×2×2r 2r r 由正弦定理知： sin sin(r+0,解得：sin0=-V5 4 cos0=-Vf3 3 4 4 (2)(i)指令(，A)即(2，匹)，第一次执行指令(2，)，移动到点(2，√2)； 第=次执行指令(2，骨，移动到点(5+2cas至2+2sin头=(55+2： A 第三次执行指令(2，孕，移动到点（5+2os经万+2+2n孕=025+2： 即M点坐标为(0,2√2+2)； (ii)第i次执行指令(i,2),即在第i-1次的基础上横坐标增加ic0 nn 3, 纵坐标增加 3 isin 2m 3, 则N点横坐标为1co 2元+2cs +3c0s- 6元 2×99元 -+.+99cos 3 3 (lcos2cos+3cos2)+(4coscos+6cos2+(97cos 3 3 3 +98c0 3 4+99cos2) 3 =+3+=x 3、39999 2 2232 则N点纵坐标为lsi 2元+2sin n3sin 9sin2x9 3 3 3 =(1sin2π+2sim4红+3sin2m)+（4sin2π+5si 3 3 3 n经+6sin2n网++(97sm2号+98sm经+9sn2刘 3 3 23 2 即w学5 所以点N到原点0的距离为oNy学+（手=3后 -5 绝密★启用并使用完毕前 2026年春季学期高一期末学情检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为 A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知向量，，若，则实数 A． B． C． D．6 4．已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为 A．2 B．2.5 C．4 D．5 5．在中，，，，以边所在的直线为旋转轴，另外两边旋转一周形成的曲面围成一个旋转体，则该旋转体的体积为 A． B． C． D． 6．为测量河对岸某信号塔的高度，选取与塔底B在同一水平面上的两个观测点C和D，现测得米，在C点测得塔顶A的仰角为，在D点测得塔顶A的仰角为，且，则信号塔的高度为 A．50米 B．100米 C．米 D．200米 7．在正方体中，E，F分别是，中点，则异面直线和所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是 A．抛掷10次，事件“正面朝上”发生的次数可能是10 B．抛掷2次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥 C．抛掷2次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为 D．抛掷2次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立 10．已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，l与m，n都相交，则 11．已知圆O的内接四边形，，，与交于点M，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．若，则四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．掷一枚质地均匀的骰子，记 “向上的点数是1或3”， “向上的点数是1或5”，则_______． 13．已知，，且，则向量与的夹角为_______． 14．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 2026济南马拉松拟于10月18日举行，组委会为此进行志愿者的选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； （2）若根据各组频率的比例采用分层抽样的方法，从成绩在，内的志愿者中共抽取6人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法选出2人作为队长，请用适当的符号表示抽样的可能结果，列出其样本空间，并求选出的两位队长来自同一组的概率． 16．（15分） 已知复数，，且是纯虚数． （1）求a； （2）求； （3）求的值． 17．（15分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若的角平分线交于点D，且． （i）求； （ii）求的值． 18．（17分） 如图，已知矩形，，，E是的中点，将沿折起，使得点D到达点P的位置，并连接，． （1）若的中点为F，证明：平面； （2）若四棱锥的体积为． （i）证明：平面； （ii）求直线和平面所成角的正弦值． 19．（17分） 2026年中央电视台春节联欢晚会上，人形机器人化身孙悟空，身披战袍威风十足．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面向的方向沿直线行走距离r． （1）已知机器人甲位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向，机器人甲执行1次指令，移动到点． （i）求的值； （ii）机器人甲按照指令继续移动，机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令移动，两机器人恰好移动到同一点T，求的值； （2）已知机器人丙位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向． （i）若机器人丙连续执行3次（1）中的指令，移动到点M，求点M的坐标； （ii）若机器人丙依次执行99次指令，第i次执行指令，其中，移动到点N，求点N到原点O的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $