1.1.1空间向量及其线性运算（第1课时）预习及检测（解析版+原卷版）——2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册预习检测 1.1.1空间向量及其线性运算（第一课时） 一、学习目标： 1、理解由平面向量到空间向量的过程，了解空间向量的概念； 2、掌握空间向量的线性运算及其运算律； 3、掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 二、知识梳理 1、空间向量的定义及基本概念 （1）定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量. （2）长度或模：空间向量的 . （3）表示方法 几何表示法：空间向量用 表示；字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为｜a｜或｜｜. 2、几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 （平行向量） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量 提示： （1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等. （2）两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同. （3）空间两向量不能比较大小. 3、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ ＝ 减法 a－b＝ ＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝ ＝ ； 当λ＜0时，λa＝ ＝ ； 当λ＝0时，λa＝ ； 运算律 交换律：a＋b＝ ； 结合律：（a＋b）＋c＝ ，λ（μa）＝ ； 分配律：（λ＋μ）a＝ ，λ（a＋b）＝ 三、概念辨析 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小.（　　） （2）两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同. （　） （3）零向量与任意向量平行.（　　） （4）若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞.　（　　） （5）空间向量的加法、减法运算均满足平行四边形法则和三角形法则.（　　） （6）对任意向量a，总有0a＝0.（　　） 2、（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p B.平行且模相等的两个向量是相等向量 C.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜ D.两个向量相等，则它们的起点与终点相同 3、下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 4、（多选）下列结论中正确的是（ ） A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝±b； B.空间中任意两个单位向量必相等； C.在如图1所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； D.如图2所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'的所有棱对应的向量中，与相等的向量（不含）有3个. 5、如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 四、过关检测 1.化简－＋所得的结果是（　　） A. B. C.0 D. 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝（　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.a－b－c 3．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 5、对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是（　　） A.＋＝ B.－＝ C.｜｜＋｜｜＝｜｜ D.｜｜－｜｜＝｜｜ 6.已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 9. 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）； （2）；（3）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第一册预习检测 1.1.1空间向量及其线性运算（第一课时） 一、学习目标： 1、理解由平面向量到空间向量的过程，了解空间向量的概念； 2、掌握空间向量的线性运算及其运算律； 3、掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 二、知识梳理 1、空间向量的定义及基本概念 （1）定义：在空间，具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量. （2）长度或模：空间向量的　大小　. （3）表示方法 几何表示法：空间向量用　有向线段　表示；字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为｜a｜或｜｜. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 　长度为0　的向量叫做零向量，记为0 单位向量 　模为1　的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 （平行向量） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量叫做相等向量 3、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）， λ（μa）＝（λμ）a；分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb 三、概念辨析 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小.（　√　） （2）两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同. （　√　） （3）零向量与任意向量平行.（　√　） （4）若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞.　（　✕　） （5）空间向量的加法、减法运算均满足平行四边形法则和三角形法则.（　√　） （6）对任意向量a，总有0a＝0.（　√　） 2、（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p B.平行且模相等的两个向量是相等向量 C.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜ D.两个向量相等，则它们的起点与终点相同 答案：BCD 解析：向量相等具有传递性，A正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，B不正确；当a＝－b时，有｜a｜＝｜b｜，C不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，D不正确. 3、下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解析】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，所以A错误；对于B，若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误；对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确；对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误.故选：C. 4、（多选）下列结论中正确的是（ ） A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝±b； B.空间中任意两个单位向量必相等； C.在如图1所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； D.如图2所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'的所有棱对应的向量中，与相等的向量（不含）有3个. 【答案】CD 解析：要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但A中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故A错误；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故B错误；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故C正确；在平行六面体ABCD－A'B'C'D'的所有棱对应的向量中，与相等的向量（不含）分别为，，，共3个，故D正确. 5、如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 四、过关检测 1.化简－＋所得的结果是（　　） A. B. C.0 D. 【答案】C 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝（　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.a－b－c 【答案】A 解析：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 3．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误.故选：D. 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误；对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确；对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误；对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误.故选：B. 5、对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是（　　） A.＋＝ B.－＝ C.｜｜＋｜｜＝｜｜ D.｜｜－｜｜＝｜｜ 【答案】B 【解析】根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立；对于C，当，方向相同时，有｜｜＋｜｜＝｜｜；对于D，当，方向相同且｜｜≥｜｜时，有｜｜－｜｜＝｜｜；对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立. 6.已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确.故选：A． 7．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，，则. 8．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点.由向量的平行四边形法则可得，，，所以.故选：D. 9. 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）； （2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 学科网（北京）股份有限公司 $