1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)--2026-2027学年高二数学同步课件（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过类比平面向量自然导入，课前自学梳理空间向量定义、线性运算及与平面向量的一致性，构建从平面到空间的知识迁移支架。 其亮点在于“入木三分”问题辨析深化概念理解，题型示例结合正方体等实例引导逻辑推理与数学运算，“日积月累”小结提炼方法。既提升学生数学抽象和运算能力，也为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

第一章　空间向量与立体几何 课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算(第1课时) 空间向量及其线性运算 素养目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象)2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的线性运算的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算) 课前自学 5 方向 大小 长度 模 长度 |a| 第页 (2)几类特殊的空间向量： 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为0 单位向量 ________的向量叫做单位向量 相反 向量 与向量a长度________而方向________的向量，叫做a的相反向量，记为________ 共线 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量________，即对于任意向量a，都有0________a 相等 向量 方向_______且模_______的向量叫做相等向量．在空间，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量 零向量 模为1 相等 相反 －a 互相平行或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长 第页 要点2　空间向量的加减运算 a＋b a－b 第页 要点3　空间向量的数乘运算(其中λ，μ∈R) 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向_______ λa的长度是a的长度的_______倍 λ<0 λa与向量a的方向_______ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝______________，λ(a＋b)＝___________ 相同 相反 |λ| λa＋μa λa＋λb 第页 空间向量与平面向量的一致性： 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． 第页 1．若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的起点、终点也相同吗？ 答：起点、终点未必相同． 2．我们知道，若a＝b，b＝c，则a＝c成立，那么：若a∥b，b∥c，则一定有a∥c成立吗？ 答：不一定成立，当b＝0时，有a∥b且b∥c，但a与c不一定平行． 第页 3．零向量与单位向量有何特殊性？ 4．当λ＝0或a＝0时，λa是一个什么值？ 答：当λ＝0或a＝0时，λa的值是向量0而非数值0. 返 回 课时学案 13 例 √ 题型一　 空间向量的概念 √ 第页 14 第页 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致， (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 探究1 第页 【解析】　A中空间中任意两向量都是共面向量，B中a，b可以为零向量，方向均是任意的，C中向量不能进行大小比较． √ 第页 例 2 题型二　 空间向量的加减运算 第页 18 第页 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)结合图形特征以及向量相等的概念，向量运算可以根据需要平移向量将待求加减法的向量集中到一个三角形或平行四边形中，利用三角形法则或平行四边形法则进行化简． (2)在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化． 探究2 第页 第页 第页 例 3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，求下列各式中m，n的值． 题型三　 空间向量的线性运算 第页 23 第页 用已知向量表示目标向量的步骤与注意事项 (1)步骤如下： ①寻找到以表示目标向量的有向线段为一边的一个封闭图形． ②利用这一图形中目标向量与已知向量的联系进行相应的向量运算． (2)注意事项：一般情况下，可以找到的封闭图形不是唯一的，但需知，无论哪一种途径，结果是相同的． 探究3 第页 思考题3　如图，已知正四棱锥P－ABCD，O是AC，BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． 第页 第页 1．本节课一定要充分理解课本中“任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量”的含义，有了这句话，就可以把空间向量转化为平面向量来解决． 2．处理含有向量的式子的化简问题时，要注意解题格式，如果给出图形，要观察所涉及的向量在图形中的位置特点，再思考可用知识，选择解答方法． 返 回 课后巩固 29 1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 √ 第页 解析　根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．故选B. 第页 √ 第页 √ 第页 返 回 请做：课时作业（一） 教师备用资料 要点1　空间向量的有关概念 (1)在空间，把具有________和________的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的________或________． 空间向量用有向线段表示，有向线段的________表示空间向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作eq \o(AB,\s\up16(→))，其模记为________或________． |eq \o(AB,\s\up16(→))| 空间向 量的加 减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝__________；eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝________ 加法 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 答：(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0，单位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是eq \o(0,\s\up16(→))这种形式． 1　【多选题】下列说法正确的是(　　) A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在四边形ABCD中，必有eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)) C．在如图1所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→)) D．如图2所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，向量eq \o(AA′,\s\up16(→))的相反向量有4个 【解析】　空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故A错误；B中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))，故B错误；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(A1C1,\s\up16(→))的方向相同，模也相等，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→))，故C正确；在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，向量eq \o(AA′,\s\up16(→))的相反向量有eq \o(A′A,\s\up16(→))，eq \o(B′B,\s\up16(→))，eq \o(C′C,\s\up16(→))，eq \o(D′D,\s\up16(→))，所以D正确． 思考题1　下列命题是真命题的是(　　) A．表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不在同一个平面内 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))满足|eq \o(AB,\s\up16(→))|>|eq \o(CD,\s\up16(→))|，且eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))同向，则eq \o(AB,\s\up16(→))>eq \o(CD,\s\up16(→)) D．若两个非零向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))满足eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝0，则eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→)) 如图，已知空间四边形ABCD，E，F，G分 别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标 出化简结果． (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))； 【解析】　(1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))，如图中向量eq \o(AD,\s\up16(→)). (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DG,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→)). 【解析】　(2)连接AG，GF，AF，则GF∥BC且GF ＝eq \f(1,2)BC，则eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DG,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BG,\s\up16(→))＋eq \o(EC,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))， 如图中向量eq \o(AF,\s\up16(→)). 思考题2　如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列各式： (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))； 【解析】　(1)连接AC′，因为eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(CC′,\s\up16(→))， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC′,\s\up16(→))＝eq \o(AC′,\s\up16(→)). (2)eq \o(DD′,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)). 【解析】　(2)连接CD′，BD′，因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))， 所以eq \o(DD′,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(DD′,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(CD′,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BD′,\s\up16(→)). (1)eq \o(AE,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋neq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))； 【解析】　(1)连接AC，A1C1，因为点E是正方形A1B1C1D1的中心，所以eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A1C1,\s\up16(→))，且eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→))，故eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))，所以m＝n＝eq \f(1,2). 【解析】　(2)连接DC1，AB1，因为点F是正方形 CDD1C1的中心，所以eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DC1,\s\up16(→))，且eq \o(DC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB1,\s\up16(→))，故eq \o(AF,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DC1,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB1,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))，故m＝n＝eq \f(1,2). (2)eq \o(AF,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋neq \o(AA1,\s\up16(→)). (1)eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))＋yeq \o(PC,\s\up16(→))＋zeq \o(PA,\s\up16(→))； 【解析】　(1)∵eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \o(PO,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(PA,\s\up16(→))， ∴y＝z＝－eq \f(1,2). 【解析】　(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点， ∴eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))＝2eq \o(PQ,\s\up16(→))， ∴eq \o(PA,\s\up16(→))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))＝2eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \o(PD,\s\up16(→))， ∴eq \o(PA,\s\up16(→))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))－2eq \o(PQ,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))，∴x＝2，y＝－2. (2)eq \o(PA,\s\up16(→))＝xeq \o(PO,\s\up16(→))＋yeq \o(PQ,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→)). 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(AC1,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \o(C1B,\s\up16(→))　　　　　　　 B.eq \o(BC1,\s\up16(→)) C.eq \o(C1D,\s\up16(→)) D.eq \o(DC1,\s\up16(→)) 解析　连接C1D，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(C1D,\s\up16(→)).故选C. 解析　eq \o(A1B,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AA1,\s\up16(→))＝(eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(CA,\s\up16(→)))－eq \o(AA1,\s\up16(→))， ∵eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))＝c，∴eq \o(A1B,\s\up16(→))＝b－a－c. 3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \o(CA,\s\up16(→))＝a，eq \o(CB,\s\up16(→))＝b，eq \o(CC1,\s\up16(→))＝c，则eq \o(A1B,\s\up16(→))等于(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a－c D．b－a＋c 解析　如图，连接BG并延长交CD于E，连接AG， 因为eq \o(FG,\s\up16(→))＝eq \o(FA,\s\up16(→))＋eq \o(AG,\s\up16(→))，eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BG,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up16(→))， 而eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－2eq \o(AB,\s\up16(→)))，所以eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－2eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→)). 又eq \o(FA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以eq \o(FG,\s\up16(→))＝eq \o(FA,\s\up16(→))＋eq \o(AG,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→)). 4．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，F为AD的中点，试用eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))表示eq \o(FG,\s\up16(→)). $