1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量概念及线性运算，通过滑翔运动中不在同一平面的力的现实情境，类比平面向量概念进行推广，以平面向量知识为学习支架，引导学生建立前后知识联系。 特色在于设计探究活动对比平面与空间向量异同，结合正方体、平行六面体典例，培养学生抽象能力和空间观念（数学眼光），通过类比推理发展推理意识（数学思维），符号与图形结合强化数学语言表达，习题层次分明助力掌握运算方法。

1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 导学案 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 一、空间向量 探究1　下图展示的是一个做滑翔运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动呢，下面我们类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 探究2　对比平面向量与空间向量的有关概念，探究二者的异同. ⚪梳理教材 1.定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量. 2.长度或模：空间向量的 . 3.表示方法 （1）几何表示法：空间向量用 表示； （2）字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为｜a｜或｜｜. 4.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 （平行向量） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量 ⚪温馨提示　（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等. （2）两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同. （3）空间两向量不能比较大小. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小.（　 　） （2）两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同. （　 　） （3）零向量与任意向量平行.（　 　） （4）若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞.　（　 　） 【典例1】　给出下列结论： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝±b； ③空间中任意两个单位向量必相等； ④在如图1所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ⑤如图2所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'的所有棱对应的向量中，与相等的向量（不含）有3个. 其中正确的是 .（填序号） ⚪解题感悟 　　1.判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可. 2.要注意零向量的特殊性.对于零向量，我们应明确： （1）零向量不是没有方向，它的方向是任意的. （2）零向量与任意向量都共线. 【练习1】　下列关于空间向量的命题中，正确命题的序号是 . ①若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则｜a｜≠｜b｜； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同. 二、空间向量的线性运算 探究3　类比平面向量的加减运算及运算律，给出空间向量的加减运算及运算律. 探究4　类比平面向量的数乘运算，探究空间向量的数乘运算. ⚪梳理教材 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）， λ（μa）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）空间向量的加法、减法运算均满足平行四边形法则和三角形法则.（　 　） （2）对任意向量a，总有0a＝0.（　 　） 【典例2】　（1）（多选）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（　 　） A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ （2）对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是（　 　） A.＋＝ B.－＝ C.｜｜＋｜｜＝｜｜ D.｜｜－｜｜＝｜｜ ⚪解题感悟 解决空间向量线性运算问题的方法 进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量加减运算，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行加减运算.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中. 注意：（1）向量减法是向量加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. （2）首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量. 【练习2】　已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果对应的向量. （1）＋＋； （2）－＋； （3）＋＋（－）. ⚪课堂达标 1.化简－＋所得的结果是（　 　） A. B. C.0 D. 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝（　 　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.a－b－c 3.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，｜－＋｜＝（　 　） A.1 B. C. D.2 4.化简：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝ . 1.1.1　空间向量及其线性运算　第1课时　空间向量及其线性运算 ⚪学习目标　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 一、空间向量 探究1　下图展示的是一个做滑翔运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动呢，下面我们类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 提示：在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量. 探究2　对比平面向量与空间向量的有关概念，探究二者的异同. 提示：①区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量. ②联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、共线向量（平行向量）、相等向量的概念等在平面和空间中都适用. ⚪梳理教材 1.定义：在空间，具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量. 2.长度或模：空间向量的　大小　. 3.表示方法 （1）几何表示法：空间向量用　有向线段　表示； （2）字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为｜a｜或｜｜. 4.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 　长度为0　的向量叫做零向量，记为0 单位向量 　模为1　的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 （平行向量） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量叫做相等向量 ⚪温馨提示　（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等. （2）两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同. （3）空间两向量不能比较大小. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小.（　√　） （2）两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同. （　√　） （3）零向量与任意向量平行.（　√　） （4）若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞.　（　✕　） 【典例1】　给出下列结论： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝±b； ③空间中任意两个单位向量必相等； ④在如图1所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ⑤如图2所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'的所有棱对应的向量中，与相等的向量（不含）有3个. 其中正确的是　④⑤　.（填序号） 解析：当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故③错误；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故④正确；在平行六面体ABCD－A'B'C'D'的所有棱对应的向量中，与相等的向量（不含）分别为，，，共3个，故⑤正确. ⚪解题感悟 　　1.判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可. 2.要注意零向量的特殊性.对于零向量，我们应明确： （1）零向量不是没有方向，它的方向是任意的. （2）零向量与任意向量都共线. 【练习1】　下列关于空间向量的命题中，正确命题的序号是　①　. ①若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则｜a｜≠｜b｜； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同. 解析：向量相等具有传递性，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，有｜a｜＝｜b｜，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确. 二、空间向量的线性运算 探究3　类比平面向量的加减运算及运算律，给出空间向量的加减运算及运算律. 提示：任意两个向量都可以平移到一个平面内，因此空间向量的加减运算及运算律与平面向量类似. 探究4　类比平面向量的数乘运算，探究空间向量的数乘运算. 提示：平面向量的数乘运算满足分配律与结合律，空间向量的数乘运算同样适用. ⚪梳理教材 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）， λ（μa）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）空间向量的加法、减法运算均满足平行四边形法则和三角形法则.（　√　） （2）对任意向量a，总有0a＝0.（　√　） 【典例2】　（1）（多选）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（　AB　） A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ （2）对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是（　B　） A.＋＝ B.－＝ C.｜｜＋｜｜＝｜｜ D.｜｜－｜｜＝｜｜ 解析：（1）A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. （2）根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立； 对于C，当，方向相同时，有｜｜＋｜｜＝｜｜； 对于D，当，方向相同且｜｜≥｜｜时，有｜｜－｜｜＝｜｜； 对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立. ⚪解题感悟 解决空间向量线性运算问题的方法 进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量加减运算，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行加减运算.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中. 注意：（1）向量减法是向量加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. （2）首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量. 【练习2】　已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果对应的向量. （1）＋＋； （2）－＋； （3）＋＋（－）. 解：（1）＋＋＝＋＋＝. （2）－＋＝－（－）＝－＝. （3）＋＋（－）＝＋（＋）＝＋. 设M是线段CB'的中点，则＋＋（－）＝＋＝. 向量，，如图所示. ⚪课堂达标 1.化简－＋所得的结果是（　C　） A. B. C.0 D. 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝（　A　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b－c D.a－b－c 解析：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 3.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，｜－＋｜＝（　B　） A.1 B. C. D.2 解析：｜－＋｜＝｜＋＋｜＝｜＋｜＝｜｜＝.故选B. 4.化简：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝　3a－2b　. 页 学科网（北京）股份有限公司 $