1.3 用反比例函数解决问题【能力提升】-同步检测，2026-2027学年苏科版教学九年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层，通过实际情境与跨学科问题，构建反比例函数从概念到综合应用的巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念与简单应用|如选择1行程问题直接应用反比例关系，夯实概念理解| |综合|跨学科情境与图像分析|如选择3结合物理电路考查图像应用，培养模型意识| |拓展|函数与几何综合探究|如解答25函数与平行四边形存在性探究，发展推理能力|

2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.3 用反比例函数解决问题「同步学习自测卷•能力提升」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系． 【规范解答】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 故：函数关系式为 ． 故选：A． 2．下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 【答案】C 【思路引导】根据反比例关系指两变量乘积为常数，逐一判断解答即可． 本题考查了反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：A. 正方形的周长 C 与边长 即，不是反比例关系，不符合题意． B. 汽车匀速行驶时，路程与行驶时间即，不是反比例函数，不符合题意． C. 某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数，，符合题意； D. 圆的面积与半径即，不符合题意， 故选：C． 3．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查反比例函数的解析式．将点代入即可得到答案． 【规范解答】解：将代入得， ． 故选：D． 4．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【思路引导】本题考查反比例函数的几何意义，设，对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；数形结合得到矩形的面积，即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于所在的曲线，；对于所在的曲线，； 矩形的面积， 即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 5．物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（    ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】A 【思路引导】本题考查反比例函数关系的实际应用，以及科学记数法的运算能力．根据题目中给出的光子能量与波长成分比例关系，确定比例系数后，代入新波长求解对应的能量． 【规范解答】根据反比例关系，则，代入紫光波长米，得焦耳， 故选：A． 6．盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【思路引导】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【规范解答】解：根据题意可知，的值即为该校的成绩优秀人数． 描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两所学校的的值相同，即成绩优秀人数相同． 描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， 乙学校的的值最大，即成绩优秀人数最多． 7．冬季流感来袭，某学校对教室采用药熏消毒防治流感．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）与时间x（单位：分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物15分钟燃完，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（   ） A．18分钟 B．20分钟 C．分钟 D．25分钟 【答案】C 【思路引导】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案． 【规范解答】解：当时，设， 将点代入得：，解得， 则此时， 当时，设， 将点代入得：， 则此时， 综上，， 当时，，解得， 当时，，解得， 则当时，， 所以此次消毒的有效时间是（分钟）． 8．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论． 【规范解答】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意； 当时，，当时，， ∵反比例函数，I随R的增大而减小， 当时，，当时，，故选项A，C不符合题意； ∵时，，当时，， ∴当时，I的取值范围是，故D符合题意； 故选：D． 9．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间x（）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【答案】C 【思路引导】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图像的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可． 【规范解答】解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A正确，不符合题意； B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B正确，不符合题意； C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或，解得或， 由于，选项C错误，符合题意； D、当时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D正确，不符合题意； 故选C． 10．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确． 【规范解答】∵， ∴，， ∴，， ∴， ，故正确； ∵， ∴，， ∴，， 如答图，过点作轴于点， 则，， 在线段上取一点，使得，连接， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴点与点关于直线对称，故正确； 由题意，点与点不重合， ∴， ∴， 故错误； 设， 则，， 设直线的解析式为，则有， ，解得， ∴， 令，得， ∴， 令，得， ∴， 如上答图， 过点作轴于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴, 故命题正确； 综上所述，正确的命题是：，共个， 故选：． 【考点剖析】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为______． 【答案】7 【思路引导】本题主要考查反比例函数的实际应用．将直接代入计算即可求解． 【规范解答】解：将代入得， 他会走出的圈子的半径约为． 故答案为：7． 12．（本题3分）在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，理解函数图形，根据图示求自变量取值范围的方法是关键． 根据函数图象，由函数值求自变量取值范围即可． 【规范解答】解：根据函数图象可知，当时，电流， ∴当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是， 故答案为： ． 13．（本题3分）根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 设出反比例函数解析式，把，坐标代入可得函数解析式，再将代入即可求得结果． 【规范解答】解：∵在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比 ∴设压强与体积的表达式为， 将，代入得：，解得：， ∴， 当气舱容积为，即时，． 故答案为：． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________． 【答案】 【思路引导】由正方形的边长是8，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：∵正方形的边长是8， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为8， ∵，的面积为， ∴， ∴（负值舍去） ∴， 作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值， ∵，， ∴， ∴ ， 根据勾股定理求得． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键． 15．（本题3分）如图，函数与函数图像的交于点P，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B，点M是函数图像上一动点（不与P点重合），过点M作于点D，若，点M的坐标是________． 【答案】（12，2） 【思路引导】过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，证得△PGD≅△DHM(AAS)，得PG=DH，DG=MH，设D(m，)，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可． 【规范解答】解：过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，如图所示， ∵△PMD是等腰直角三角形， ∴PD=DM， ∵∠PDG+∠MDH＝90°， ∠PDG+∠DPG=90°， ∴∠DPG=∠MDH， ∵∠G=∠H， ∴△PGD≅△DHM(AAS)， ∴PG=DH，DG=MH， ∵点P的纵坐标为4， ∴将y=4代入，得x=6， ∴P点坐标为（6，4）， 将P（6，4），代入，得：k=24， ∴反比例函数解析式为： 设D(m，)， ∴DG=m-6，PG=， ∴MH＝m-6，DH=， ∴M（，）， ∵点M在反比例的图象上， ∴， 解得，， 当m＝6时，M（6，4）(舍去)， 当m=10时，M（12，2）， 故答案为：（12，2）． 【考点剖析】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主 要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键． 16．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论： ①阴影部分的面积为； ②若B点坐标为，A点坐标为，则； ③当时，； ④若是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称． 其中正确的结论是_______（填写正确结论的序号）． 【答案】②④/④② 【思路引导】作轴于点，轴于点，①由，，得到；②由平行四边形的性质求得点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得系数的值．③当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 【规范解答】解：作轴于，轴于，如图， ①，， ， 而，， ，故①错误； ②四边形是平行四边形，点坐标为，点坐标为，的坐标为． ． 又点位于上， ．故②正确； ③当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； ④若是菱形，则， 而， ， ， ， ， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，故④正确． 故答案是：②④． 【考点剖析】本题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共62分） 17．（本题6分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了求一次函数的关系式，求反比例函数关系式，求反比例函数自变量的值，弄清题意是解题的关键； 对于（1），先将两点的坐标代入直线关系式，求出第一段关系式，再令求出y，进而求出反比例函数关系式； 对于（2），分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【规范解答】（1）解：设一次函数的关系式为，反比函数关系式为， 将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 当时，，将数值代入，得 ， ∴反比例函数关系式为． 所以函数关系式为； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得． 所以当时，讲解这道题． 18．（本题6分）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2) 不合理，理由： 当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答． 【规范解答】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）略 19．（本题6分）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】(1)，． (2)空矿泉水瓶的重量为． 【思路引导】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【规范解答】（1）解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． （2）解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 20．（本题6分）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【思路引导】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【规范解答】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 21．（本题6分）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【思路引导】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【规范解答】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 22．（本题6分）在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【思路引导】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【规范解答】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线 过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 23．（本题8分）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 【答案】(1)； (2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中 (3) 【思路引导】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）分别求出和时的函数值即可得到答案； （3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设线段的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为． 设曲线的函数表达式为，将代入，得， ∴曲线的函数表达式为． （2）把代入，得， 把代入，得． ∵， ∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中． （3）解：当，解得， 当，解得， 结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是， ∴安排在第5分钟至第25分钟． 24．（本题8分）如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 20 24 30 40 60 加入的水的质量 15 19 25 35 55 把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________； (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①；②减小，减小， (3) 【思路引导】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）用光滑的曲线顺次连接各点即可； （2）①由题意可以猜测是反比例函数，利用待定系数法求出关于x的函数表达式即可；②根据题意可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，由表格可知，关于x的函数表达式； （3）由得，，进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：如图即为所求， （2）解：①由题意可以猜测是反比例函数， 设，代入，得， 解得， 故； ②当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，关于x的函数表达式为； 故答案为：减小，减小， （3）解：由得，， 由得， 解得， 25．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值． (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6； (2) (3)存在，坐标为或或 【思路引导】（1）将代入一次函数求出一次函数解析式，再将代入一次函数求出n，代入反比例函数即可得到答案； （2）求出B点坐标，连接，根据列方程即可得到答案； （3）根据平行四边形性质对角线互相平分，分、、三个对角线讨论即可得到答案． 【规范解答】（1）解：将代入一次函数得， ，解得：， ∴， 将代入得， ， 将代入反比例函数得， ， 故答案为：3，6； （2）解： 当时，， ∴， 由题意可得， ， 解得：； （3）解：由（2）得，，，， 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 综上所述Q的坐标为：或或． 【考点剖析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，围成特殊图形及面积问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.3 用反比例函数解决问题「同步学习自测卷•能力提升」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 3．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 4．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 5．物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（    ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 6．盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．冬季流感来袭，某学校对教室采用药熏消毒防治流感．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）与时间x（单位：分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物15分钟燃完，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（   ） A．18分钟 B．20分钟 C．分钟 D．25分钟 8．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 9．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间x（）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 10．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为______． 12．（本题3分）在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间是反比例函数关系如图所示．结合图象回答：当电路中的电流不超过时，电路中电阻的取值范围是______． 13．（本题3分）根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________． 15．（本题3分）如图，函数与函数图像的交于点P，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B，点M是函数图像上一动点（不与P点重合），过点M作于点D，若，点M的坐标是________． 16．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论： ①阴影部分的面积为； ②若B点坐标为，A点坐标为，则； ③当时，； ④若是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称． 其中正确的结论是_______（填写正确结论的序号）． 三、解答题（本题共9小题，共62分） 17．（本题6分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 18．（本题6分）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 19．（本题6分）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 20．（本题6分）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 21．（本题6分）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 22．（本题6分）在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 23．（本题8分）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 24．（本题8分）如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 20 24 30 40 60 加入的水的质量 15 19 25 35 55 把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________； (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围． 25．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值． (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $