精品解析：湖南常德市芷兰实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

芷兰2024年下学期高一年级期中考试问卷 数学试题 时量：150分钟 满分：150分 命题： 审题： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. (1，2) B. (0，1) C. (-∞，2) D. (0，+∞) 【答案】D 【解析】 【分析】 根据根式有意义化简集合，再进行集合的运算，即可得到答案； 【详解】，， ， ， 故选：D. 2. 已知命题，命题，，则成立是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解不等式可得， 对于命题，当时，命题明显成立； 当时，有：，解得：， 即命题为真时， 故成立是成立的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，解出的值，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】解：设， 则有，解得， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 即. 故选：B. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分类讨论，直接计算可求解. 【详解】时，，则， 进一步分类讨论，时，即时，，整理得，根据条件得； 时，即时，，得，不符题意； 时，，， 进一步分类讨论，时，即时，与不符； 时，即，所以时，有，得，与题意不符； 故选：A 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合二次函数的单调性与奇函数的性质，可推出在，上单调递增，从而得，解之即可. 【详解】当时，，由二次函数的单调性可知在，上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数，所以在，上单调递增， 综上，在，上单调递增， 又函数在区间，上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是，. 故选：C. 6. 已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，当x1，x2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案． 【详解】∵二次函数f（x）＝x2+bx+c＝+c﹣，对称轴x＝﹣， ①﹣＜﹣1即b＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]递增， f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣b+c，f（x）max＝f（1）＝1+b+c， 故f（﹣1）﹣f（1）＝﹣2b，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得 ， ②﹣＞1时，即b＜﹣2时，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得， ③当﹣1≤﹣≤1，即﹣2≤b≤2时，函数f（x）在[﹣1，-]递减，函数f（x）在[﹣，1]递增， |f（1）﹣f（﹣）|≤6，且|f（﹣1）﹣f（﹣）|≤6， 即|+b+1|≤6，且|﹣b+1|≤6，解得：﹣3≤b≤3，又﹣2≤b≤2， 故b的取值范围是 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题. 7. 已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知时与时函数值域相等，据此可得，从而可根据求得，进而求得. 【详解】设当时，的值域为A，当时，的值域为B. 则根据题意可得， 当时，在上单调递增， 则，即， 则，∵， 即且， 则， 故选：C. 8. 如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论． 【详解】解：设长为，则长为 又因为要将点围在矩形内， 则矩形的面积为， 当时，当且仅当时， 当时， 分段画出函数图形可得其形状与接近 故选：． 【点睛】解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知集合，，若，则实数的可能取值为（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求得集合，根据题意得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由集合，且 因为，可得， ①当时，集合，满足； ②当时，由方程，可得，此时， 因为，所以，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD． 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式可进行判断. 【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD 11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数.下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时，. D. 若是的“学步”函数，则在上至少有个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】对A直接代入定义判断可得，对B根据定义及充要条件的定义判断可得，对C根据“学步”函数的定义得，由此递推次得，当时，，进而可得，代入上式与题中所给式子不符可得，对D由定义可得，进而可得，分类讨论并结合零点存在性定理，得函数在区间上至少有一个零点，再将区间分成共个，从而可得结果. 【详解】对A选项，若，代入定义得对任意恒成立， 则，矛盾，因此不是“学步”函数，A错误. 对B选项，必要性：若（）为“学步”函数， 代入定义得对任意恒成立，因，故，必要性成立； 充分性：反之若，则， 所以（）为“学步”函数，充分性成立. 因此充要条件就是，B正确. 对C选项，是的“学步”函数，代入定义得， 即对任意恒成立， 且时，，则时，. 当时，，因此，  又因为 . 与选项中当时，不符，故C错误. 对选项D，若是的“学步”函数， 代入定义得，即， 因此对任意有， 因为连续，若，由零点存在性定理，函数在区间内必有一个零点； 若，则本身就是零点. 因此函数在区间上至少有一个零点. 将分为，共个区间，每个区间至少有个零点， 因此在至少有个零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据常见函数奇偶性，等量代换解决即可. 【详解】由题知，函数， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意知－，－是方程的两根，求出，再解不等式得解. 【详解】由题意知－，－是方程的两根， 所以由根与系数的关系得, 解得. 不等式即为， 所以 所以解集为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为，讨论的取值范围，确定不等式的解集，根据题意确定解集中仅有的四个整数，由此列出关于的相应的不等式，求得的取值范围. 【详解】由，可得， 当，即时，不等式的解集为， 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，又，所以， ②当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾，不符合题意； ③当时，即，不等式的解集为，不符合题意； ④当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当整数解为时，，且，无解， 当整数解为时， 且，解得， 当整数解为时，且，无解； 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求m的取值范围； （2）当B为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列不等式，解不等式即可； （2）将B为非空集合，是的充分不必要条件转化为集合B是集合A的真子集，然后列不等式求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴，∴． 【小问2详解】 ∵B为非空集合，是的充分不必要条件， 则集合B是集合A的真子集，∴，即， 解得，∴m的取值范围是. 16. 已知幂函数的图像关于y轴对称． （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； (2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． 【小问2详解】 由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 17. 近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）500 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）由调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，建立并求解不等式即可； （2）由题意条件转化为两个不等式恒成立问题，构造函数利用对勾函数与一次函数的单调性求解最值，即可求出m的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为万元， 则． 因为，所以，解得， 因为且，所以，故， 即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500． 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得 ， 上式两边同除以ax，得， 整理得， 由条件②技术人员年人均投入不减少，得， 解得． 假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 即（）恒成立． 设， 由在上单调递减， 因为且，所以在上单调递减， 则， 当时，等号成立，所以． 又因为， 当时，，所以， 所以， 即存在这样的m满足条件，m的取值范围为． 18. 已知函数 （1）若，求不等式的解集; （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式； （2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值． 【小问1详解】 若，则， 所以，即，所以， 所以或，解得或， 即不等式的解集为． 【小问2详解】 若，即，解得． 所以， 令，所以． 当，即时，在上单调递增， 所以，即． 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即． 综上，． 19. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值; （2）若，求不等式的解集； （3）若，，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）把不等式的解集转化为一元二次方程的根，利用韦达定理求解；（2）把不等式转化为，对进行分类讨论，求出不同情况下的解集；（3）把不等式进行变形，再利用基本不等式进行求解 【小问1详解】 不等式的解集为 所以和是方程的两个根，由韦达定理可得：，，解得：，，则 【小问2详解】 若，则 即 因为 ，所以， 当时，不等式解集为 当时，，不等式的解集为 当时，，解集为 当时，，不等式的解集为 综上：当时，解集为 当时，解集为 当时，，解集为 当时，解集为 【小问3详解】 ，即，所以 当且仅当，即（）时等号成立， 当时，，当且仅当，时等号成立 当时，，当且仅当，时等号成立 因为 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芷兰2024年下学期高一年级期中考试问卷 数学试题 时量：150分钟 满分：150分 命题： 审题： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. (1，2) B. (0，1) C. (-∞，2) D. (0，+∞) 2. 已知命题，命题，，则成立是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知集合，，若，则实数的可能取值为（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数.下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时，. D. 若是的“学步”函数，则在上至少有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则________ 13. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 14. 若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求m的取值范围； （2）当B为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16. 已知幂函数的图像关于y轴对称． （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域． 17. 近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 18. 已知函数 （1）若，求不等式的解集; （2）若，求的最小值. 19. 设函数 （1）若不等式的解集为，求的值; （2）若，求不等式的解集； （3）若，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $