精品解析：湖南张家界市桑植县第四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

湖南张家界市桑植县第四中学 2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知实数a，b，且，下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质易得A正确；通过举反例可逐一排除B，C，D项. 【详解】对于A，由和不等式的性质，可得，，故A符合题意； 对于B，由不能判断的大小，故无法推得成立，例如，满足，但，故B不合题意； 对于C，由也无法推得成立，例如满足，但，故C不合题意； 对于D，由也无法推得成立，例如满足，但，即此时.故D不合题意. 故选：A. 2. 哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量与时间的关系大致满足，则该环线前天平均售出的张数最少为（ ） A. 2019 B. 2040 C. 2021 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出该环线前天平均售出的张数的表达式，利用基本不等式求解易得. 【详解】依题意该环线线前天平均售出的张数为， 因，，当且仅当时等号成立， 即该环线前天平均售出的张数最少为2040张. 故选：B. 3. 已知,，若是的真子集，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】算出后根据包含关系可得满足的不等式，从中可求出的取值范围. 【详解】，， 因为是的真子集，故或即或，故选B. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，根据包含关系列不等式组时要注意端点处是否可取. 4. 如图所示图形可以作为某个函数图象的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数定义，选项为错误，选项正确. 【详解】根据函数的定义，定义域中的任一自变量只有唯一的函数值对应， 选项均不满足定义，所以错误；选项满足. 故选:B. 【点睛】本题考查识别图像是否表示函数，考查函数定义的理解，属于基础题. 5. 函数的最小值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】降次-配凑-均值不等式 【详解】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A． 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题 6. 设正实数、满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B、D，利用特殊值判断C； 【详解】解：因为正实数、满足， 对于A：， 当且仅当，即，时，等号成立，故A正确； 对于B，，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：C． 7. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以 即 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以 故选:D. 二、多选题 9. 下列四个命题是真命题的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D. 已知，在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域求法计算即得；对于B，通过换元将函数化成一元二次函数，利用其性质即可求得函数值域；对于C，根据二次函数的零点分布问题求参数可得；对于D，利用分段函数的值域求法计算即得. 【详解】对于A：函数的定义域为，则对于函数，需使， 解得，即得函数的定义域为，故A正确； 对于B：设，得，则， 其图象对称轴为，则函数在上单调递增，故，故B错误； 对于C：若函数的两个零点都在区间内，则 ，得，故C正确； 对于D，当时，；当时，，故该函数的值域为，故D正确. 故选：ACD 10. 对于实数、、，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式的性质判断． 【详解】若，则由得，A错； 若，则，　，B正确； 若，则，∴，∴，C正确； 若，且同号时，则有，因此由得，D正确． 故选BCD． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为5 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】将化为，利用基本不等式即可判断A;利用“1”，将变为，再利用基本不等式即可判断B;将变形后利用基本不等式即可判断C;利用基本不等式由可得到，解不等式即可判断D. 【详解】对于A,由，可得, 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，所以函数的最小值不是3，所以A不正确; 对于B，由于 ， 故， 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为5，故B正确， 对于C，由于，故 ， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以C正确； 对于D，由，可得 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即 ， 解得 ，即 ，所以的最大值为1，所以D不正确 故选： 【点睛】关键点点睛：利用均值不等式求函数或代数式的最值时，要注意均值不等式使用的条件即：一正二定三相等，关键点就是一定要验证等号是否能够取得. 12. 关于的不等式的解集为，则下列正确的是（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. D. 关于的不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的解集求出、、的关系，并逐一判断每一选项即可. 【详解】由已知可得且-1，2是方程的两根，所以A选项不正确； 由根与系数的关系可得 . 解得，， 则不等式可化为，即， 所以，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 不等式可化为，化为， 解不等式得，故不等式解集为，所以D选项不正确. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知集合则__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过求解绝对值不等式与分式不等式得集合，再由并集定义求解即得. 【详解】由可得或，解得或，即， 又由可得，解得或，即， 故. 故答案为：. 14. 已知函数，则的定义域是_____,的值域是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由根式的意义直接求解定义域，令t，t≥0，利用换元法可将函数解析式化为y（t﹣1）2，t≥0，根据二次函数的图象和性质可得函数的值域 【详解】要使函数有意义，只需≥0，即≥，所以定义域为[，+∞）； 令t，t≥0 则x（t21） 由f（x）＝x得 y（t21）﹣t（t﹣1）2，t≥0 当t＝1时，函数取最小值．无最大值 故函数f（x）＝x的值域是[，+∞）， 故答案为[，+∞） [，+∞） 【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及值域，其中利用换元法，将问题转化为求二次函数的值域问题是解答的关键． 15. 已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】, 则解得，则， 又， ∴， 即， 故答案为：． 16. 不等式当时恒成立，的范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，将问题转化为来求解，然后就函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出函数的最小值，解出不等式即可. 【详解】构造函数，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，函数在区间上单调递增，， 解得，此时； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，，即，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是，故答案为. 【点睛】本题考查二次不等式在区间上恒成立，常用办法就是讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，将问题转化为函数的最值来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题. 四、解答题 17. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【小问1详解】 因， 则原不等式的解集为； 【小问2详解】 因， 则原不等式的解集为； 【小问3详解】 因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 18. 已知集合,函数的定义域为集合,且,求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域,结合已知,利用数轴,可以求出实数的取值范围. 【详解】, 或,所以. 因为,所以有：或,解得或,综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了根据集合关系求参数问题,考查了解分式不等式,考查了求函数的定义域,利用数轴是解题的关键. 19. （1）若不等式的解集是，解不等式； （2）为何值时，的解集为? （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出a的范围，然后结合根与系数的关系的关系求出a，进而解出不等式； （2）根据判别式法即可求出答案； （3）结合二次函数的图象和性质即可求出答案. 【详解】（1）由题意知，且和1是方程的两根， 解得. ∴不等式， 即为，解得或， ∴所求不等式的解集为或. （2），即， 若此不等式解集为，则， . （3）设，要使时，不等式恒成立. 则有即解得 20. 已知函数的对称轴方程为的值域为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的最小值为-4，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，根据对称轴方程和值域，求未知系数，得函数的解析式； （2）结合二次函数的图像，分类讨论区间位置，利用函数最小值求实数的值. 【小问1详解】 函数的对称轴方程为，的值域为， 由二次函数的图像和性质可得，解得， 所以. 【小问2详解】 函数在上的最小值为-4，结合题意 则有或， 解得或. 21. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? （2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1） （2）至少应达到万件，每件定价元. 【解析】 【分析】（1）由已知得出调价后的销售量，进而列出不等式，求解即可得出答案； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【小问1详解】 设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以该商品每件定价最多为元. 【小问2详解】 依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为元， 当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 22. 已知是正实数. （1）证明：； （2）若，证明：. （3）已知是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式证明不等式； （2）应用“1”的代换，结合基本不等式证明不等式； （3）由，应用基本不等式有，即可证结论 【小问1详解】 由， 当且仅当时等号成立，即，得证. 【小问2详解】 由 ， 当且仅当时等号成立，则，得证. 【小问3详解】 由， 当且仅当时等号成立，不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南张家界市桑植县第四中学 2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知实数a，b，且，下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量与时间的关系大致满足，则该环线前天平均售出的张数最少为（ ） A. 2019 B. 2040 C. 2021 D. 2022 3. 已知,，若是的真子集，则的取值范围为 A. B. C. D. 4. 如图所示的图形可以作为某个函数图象的是 A. B. C. D. 5. 函数的最小值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 6. 设正实数、满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 7. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列四个命题是真命题的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D. 已知，在上的值域为 10. 对于实数、、，下列命题中正确的是（ ） A 若，则； B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为5 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为1 12. 关于的不等式的解集为，则下列正确的是（ ） A B. 关于的不等式的解集为 C. D. 关于的不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知集合则__________. 14. 已知函数，则的定义域是_____,的值域是_______． 15. 已知实数，，满足则取值范围是________．（用区间表示） 16. 不等式当时恒成立，的范围是_____________． 四、解答题 17. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 18. 已知集合,函数的定义域为集合,且,求实数的取值范围. 19. （1）若不等式的解集是，解不等式； （2）为何值时，的解集为? （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 20. 已知函数的对称轴方程为的值域为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的最小值为-4，求实数的值. 21. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? （2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价． 22. 已知是正实数. （1）证明：； （2）若，证明：. （3）已知是正数，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $