精品解析：甘肃省天水市逸夫实验中学2025-2026学年度九年级数学模拟检测卷（二）

天水市逸夫实验中学2025—2026学年度九年级模拟检测卷（二） 数学试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 1 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 若直线（k为常数，）经过第一、二、三象限，则b的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 2 5. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ） A. 7.8元 B. 7.9元 C. 8元 D. 8.1元 9. 如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分． 11. 计算：___． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 13. 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 15. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 16. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，代表氧原子，○代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 请完成下面的作图题：（按下列步骤，不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，已知，C是上一点， ①分别以点O，C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接； ②作直线交于点G； ③以点G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合） ④作射线； （2）根据（1）完成的图，直接写出、、的大小关系． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 22. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 我国射击运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲队员成绩的众数为________环，乙队员成绩的中位数为________环； （2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？________（填“甲”或“乙”）如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是________（填“平均数”“众数”或“中位数”） （3）若丙队员10次成绩的众数、中位数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 24. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m、k的值； （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，如图，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； 25. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 26. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：__________．（提示：过点作，垂足为） （2）类比探究 如图2，当为钝角时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（提示：过点作，垂足为） （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 27. 已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； （2）连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市逸夫实验中学2025—2026学年度九年级模拟检测卷（二） 数学试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数． 【详解】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将所求分式变形后代入已知条件即可计算出结果． 【详解】解：， 又， 原式． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和合并同类项等计算，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 若直线（k为常数，）经过第一、二、三象限，则b的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线经过的象限判断的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵直线（）经过第一、二、三象限， ∴直线与轴的交点在轴正半轴， ∴， 观察四个选项，只有满足，符合题意． 5. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 6. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 7. 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，，  ，， ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 8. 某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ） A. 7.8元 B. 7.9元 C. 8元 D. 8.1元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 9. 如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 10. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分． 11. 计算：___． 【答案】3 【解析】 【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【详解】解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】 2 【解析】 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 【详解】解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 13. 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 16. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，代表氧原子，○代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索与数学建模能力，解题关键是从分子结构模型中抽象出氢原子个数的变化规律． 观察四幅图可知氢原子的个数是序号的倍加，根据此规律求解即可． 【详解】解：第种分子模型中，氢原子个数为：， 第种分子模型中，氢原子个数为：， 第种分子模型中，氢原子个数为：， 第种分子模型中，氢原子个数为：， ， 第种分子模型中，氢原子个数为个， 当时，． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 无解 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来略． 20. 请完成下面的作图题：（按下列步骤，不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，已知，C是上一点， ①分别以点O，C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接； ②作直线交于点G； ③以点G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合） ④作射线； （2）根据（1）完成的图，直接写出、、的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由作法补全图形即可； （2）首先证明为等边三角形，可得，，从而得到，再结合三角形外角的性质可得，，根据，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作法得：，垂直平分，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 22. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 我国射击运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲队员成绩的众数为________环，乙队员成绩的中位数为________环； （2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？________（填“甲”或“乙”）如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是________（填“平均数”“众数”或“中位数”） （3）若丙队员10次成绩的众数、中位数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【答案】（1）， （2）甲；平均数 （3）补全丙队员的成绩如下： 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算即可得解； （2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解，再结合中位数、众数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环； 乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 故，， ∴甲队员射击的整体水平高一些， 如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、， 此时平均数为，众数为，中位数为， 故会发生改变的统计量是平均数； 【小问3详解】 解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环， ∵丙队员10次成绩的众数、中位数、均大于甲队员， 如图，此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为均大于甲队员． 24. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m、k的值； （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，如图，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E． 【小问1详解】 解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； 【小问2详解】 解：过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 故点． 25. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：所对的弧是同弧， ， ， ，即， 为直径， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 26. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：__________．（提示：过点作，垂足为） （2）类比探究 如图2，当为钝角时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（提示：过点作，垂足为） （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）不成立， （3）或 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造全等和矩形，利用矩形性质将线段和，的数量关系转化为线段和，的数量关系，进而得出结论； （2）类似第一问的解法，通过辅助线构造全等三角形和矩形，线段数量关系由于角度发生变化而从和变为差的关系； （3）利用平行线分线段成比例建立和的关系，结合前两问，利用勾股定理和相似三角形性质求解（需分为钝角和锐角两个情况讨论）． 【小问1详解】 如图，过点作于点， 平分，，， ， 在和中， ，， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ． 【小问2详解】 解：不成立，， 理由如下： 如图，过点作于点， 平分，，， ， 在和中， ，， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ． 【小问3详解】 解：①如图：当时， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ； ②如图：当时， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 综上，的值为或． 27. 已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； （2）连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $