2.3 二次根式 讲义-2026-2027学年北师大版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

本讲义聚焦二次根式核心知识，系统梳理概念（形如√a(a≥0)，含二次根号且被开方数非负）、乘除法法则（√a·√b=√(ab)等及推广）、最简二次根式（被开方数不含分母和开得尽的因式）、分母有理化（分子分母乘有理化因式）、加减法（化简后合并同类二次根式）及混合运算（先乘方再乘除后加减），构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于达标检测题设计丰富，含选择、填空及解答题，解答题融入包装盒、高空抛物等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，培养应用意识。计算题强化运算能力，推理题提升推理意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，巩固知识。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 二次根式（知识梳理+达标检测） 知识点一二次根式的概念 1、一般地，我们把形如（a≥0）的式子的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 2、二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数. 知识点二二次根式的乘除法 1、二次根式的乘法法则：·=(a≥0,b≥0)（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2、二次根式的乘法法则的推广： a·c=ab(c≥0,d≥0) ··=(a≥0,b≥0,c≥0) 3、二次根式的除法法则：(a≥0,b＞0)（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 4、二次根式的除法法则的推广： ÷÷=(a≥0,b＞0,c＞0) m÷n=（m÷n）(a≥0,b＞0,n≠0) 知识点三最简二次根式 1、最简二次根式的概念。 被开方数不含分母，也不能含开方开得尽的因数或因式，这多样的二次根式，叫作二次根式。 2、结果要求。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 知识点四分母有理化 1、分母有理化的概念。 通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即划去分母中的根号。 2、分母有理化的方法。 将分子和分母都乘分母的有理化因式，划去分母中的根号。 知识点五二次根式的加减法 1、二次根式的加减法法则。 二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。 2、二次根式相加减的步骤。 二次根式的加减与整式的加减类似，步骤如下： （1）化：将各个二次根式化成最简二次根式。 （2）找：找出化简后被开方数相同的二次根式。 （3）合：合并被开方数相同的二次根式—一将系数相加减，根指数与被开方数保持不变。 知识点六二次根式的混合运算 1、运算顺序。 二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 2、法则应用。 整式的乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。 一、选择题 1．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【解答】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 2．下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【解答】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 3．下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件逐一判断即可； 【解答】解：A，∵，，∴A错误； B，∵成立的条件是，若或等式不成立，∴B错误； C，∵，，左右两边相等，∴C正确； D，∵在实数范围内负数没有平方根，和无意义，∴D错误． 4．如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，， 根据对称性可得， 当点P运动至与点重合时，的值最小， 即． ， ， ． ， ． 在中，， 的最小值为． 5．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【解答】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 6．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 7．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量. 【解答】解：如图， ∵， ∴， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， 同理：,， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， ∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板. 8．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【解答】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 二、填空题 9．若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】/0.2 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 10．已知，，且，则实数n的值为________． 【答案】 【分析】先将，进行分母有理化，再分别求出，的值，然后将已知等式变形为，最后代入求解． 【解答】解： ∴， ， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 11．化简的结果是______________． 【答案】 【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可． 【解答】解：原式 ． 12．已知：，则_____． 【答案】2 【分析】根据平方差公式及二次根式的除法即可得解． 【解答】解：设， ∵，， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二次根式的除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13．将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴可以为，，，， ∴或或或， 解得：或或或， 故答案为：． 14．下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【解答】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 15．若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，设（为正整数），整理得，从的最小正整数开始依次代入找到的最小正整数即可． 【解答】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． 16．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【解答】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 三、解答题 17．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先去括号计算二次根式的乘法和零指数幂，再计算加减即可求解； （3）先计算二次根式的乘除和化简二次根式，再计算加减即可求解； （4）先计算平方差和绝对值，再计算加减即可求解． 【解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 18．节日期间，八（1）班的小常同学想要送妈妈一个礼物，需要制作一个合适的包装盒，要求是一个以长和宽为底面，底面积为，长、宽、高的比为的长方体包装盒．求： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体的表面积是多少？ 【答案】（1）长为，宽为，高为 （2） 【分析】（1）设长为，宽为，高为，根据底面积列方程计算即可； （2）根据长方体表面积计算公式解答． 【解答】（1）解：设长为，宽为，高为， 由题意得， 解得（负值舍去）， ，， 答：这个长方体的长为，宽为，高为； （2）解：长方体的表面积是． 19．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”．某物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从米的高空落到地面的时间为_____秒； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米），一个质量为千克的鸡蛋经过秒落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要焦的能量）． 【答案】（1） （2）会对无防护人体造成伤害 【分析】（）把代入关系式解答即可求解； （）求出鸡蛋下落的高度，进而根据题意求出鸡蛋在下落过程中产生的能量，再比较即可判断求解． 【解答】（1）解：把代入，得 （秒）， （2）解：把代入，得， 解得， ∴鸡蛋在下落过程中产生的能量为（焦）， ∵， ∴会对无防护人体造成伤害． 20．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． （1）A类正方形的边长是___________； （2）分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； （3）求长方形邀请函的长和宽． 【答案】（1） （2）A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 （3）长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【解答】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 21．【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是：， ， ， ． ， ． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是：， 当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，结合已知条件可得，进而得到，，再将原式变形为，代入求解即可． 【解答】（1）解：仿照小明的做法： ， ， ， ， ， ； 仿照小丽的做法： ， 当时，原式； （2）， ， ， ， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 二次根式（知识梳理+达标检测） 知识点一二次根式的概念 1、一般地，我们把形如（a≥0）的式子的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 2、二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数. 知识点二二次根式的乘除法 1、二次根式的乘法法则：·=(a≥0,b≥0)（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2、二次根式的乘法法则的推广： a·c=ab(c≥0,d≥0) ··=(a≥0,b≥0,c≥0) 3、二次根式的除法法则：(a≥0,b＞0)（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 4、二次根式的除法法则的推广： ÷÷=(a≥0,b＞0,c＞0) m÷n=（m÷n）(a≥0,b＞0,n≠0) 知识点三最简二次根式 1、最简二次根式的概念。 被开方数不含分母，也不能含开方开得尽的因数或因式，这多样的二次根式，叫作二次根式。 2、结果要求。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 知识点四分母有理化 1、分母有理化的概念。 通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即划去分母中的根号。 2、分母有理化的方法。 将分子和分母都乘分母的有理化因式，划去分母中的根号。 知识点五二次根式的加减法 1、二次根式的加减法法则。 二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。 2、二次根式相加减的步骤。 二次根式的加减与整式的加减类似，步骤如下： （1）化：将各个二次根式化成最简二次根式。 （2）找：找出化简后被开方数相同的二次根式。 （3）合：合并被开方数相同的二次根式—一将系数相加减，根指数与被开方数保持不变。 知识点六二次根式的混合运算 1、运算顺序。 二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 2、法则应用。 整式的乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。 一、选择题 1．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 3．下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 6．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若实数x、y同时满足，则的值为________． 10．已知，，且，则实数n的值为________． 11．化简的结果是______________． 12．已知：，则_____． 13．将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值______． 14．下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 15．若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 16．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 三、解答题 17．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．节日期间，八（1）班的小常同学想要送妈妈一个礼物，需要制作一个合适的包装盒，要求是一个以长和宽为底面，底面积为，长、宽、高的比为的长方体包装盒．求： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体的表面积是多少？ 19．高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”．某物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从米的高空落到地面的时间为_____秒； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米），一个质量为千克的鸡蛋经过秒落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要焦的能量）． 20．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． （1）A类正方形的边长是___________； （2）分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； （3）求长方形邀请函的长和宽． 21．【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是：， ， ， ． ， ． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是：， 当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $