专题2.3 二次根式【导图+知识卡片+知识梳理+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦二次根式核心知识点，系统梳理概念（含双重非负性）、乘除法法则、性质（积商算术平方根）、最简二次根式、加减法（先化简再合并同类）、混合运算及拓展的分母有理化，构建从基础概念到运算应用的完整学习支架。 资料设计亮点突出，含思维导图助力知识体系构建，24个题型讲练（典例+变式）强化运算能力与推理意识，中考真题及分层训练（基础夯实、培优拔高）联系实际应用，培养数据意识与应用能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题2.3 二次根式『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 二次根式的概念 3 知识点二 二次根式的乘除法 3 知识点三 二次根式的性质 3 知识点四 最简二次根式 4 知识点五 分母有理化(拓展点) 4 知识点六 二次根式的加减法 4 知识点七 二次根式的混合运算 4 题型讲练 5 题型一 二次根式的识别 5 题型二 求二次根式的值 5 题型三 求二次根式中的参数 5 题型四 二次根式有意义的条件 5 题型五 利用二次根式的性质化简 5 题型六 复合二次根式的化简 6 题型七 二次根式的乘法 6 题型八 二次根式的除法 6 题型九 二次根式的乘除混合运算 6 题型十 最简二次根式的判断 7 题型十一 化为最简二次根式 7 题型十二 已知最简二次根式求参数 7 题型十三 同类二次根式 7 题型十四 二次根式的加减运算 7 题型十五 二次根式的混合运算 8 题型十六 分母有理化 8 题型十七 已知字母的值，化简求值 9 题型十八 已知条件式，化简求值 9 题型十九 比较二次根式的大小 9 题型二十 二次根式的应用 9 题型二十一 实数的混合运算 10 题型二十二 新定义下的实数运算 10 题型二十三 实数运算的实际应用 11 题型二十四 与实数运算相关的规律题 11 中考真题演练 11 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 14 知识点一 二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点二 二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点三 二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点四 最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点五 分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。(二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。) 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点六 二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点七 二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 题型一 二次根式的识别 【典例精讲】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求二次根式的值 【典例精讲】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段检测）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型三 求二次根式中的参数 【典例精讲】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 【变式训练】（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则________． 题型四 二次根式有意义的条件 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）要使得有意义，则的取值应满足_____________． 【变式训练】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五 利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（2025·山西吕梁·二模）计算：______． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）计算：． 题型六 复合二次根式的化简 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）计算： (1) (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南永州·期中）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 _____ ． 题型七 二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）计算：______． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期中）要使算式 的运算结果最小，则表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 题型八 二次根式的除法 【典例精讲】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 题型九 二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（2024·江苏南京·中考真题）计算的结果是______． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）计算： (1) (2) 题型十 最简二次根式的判断 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·阶段检测）化简:____． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简______． 题型十二 已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·广东河源·期末）最简二次根式与可以合并，则________． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知最简二次根式与可以合并，则的值是________． 题型十三 同类二次根式 【典例精讲】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 题型十四 二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）m，n分别表示的整数部分和小数部分，则的值为______． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）计算： 题型十五 二次根式的混合运算 【典例精讲】计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）计算： (1)； (2)； 题型十六 分母有理化 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）计算：． 【变式训练】（25-26八年级上·上海青浦·期末）计算：． 题型十七 已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 题型十八 已知条件式，化简求值 【典例精讲】（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为_________． 题型十九 比较二次根式的大小 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·期末）比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【变式训练】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）比较大小：______ 题型二十 二次根式的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 题型二十一 实数的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算： 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 题型二十二 新定义下的实数运算 【典例精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【变式训练】（25-26八年级上·四川广元·期末）定义，如，已知，（n为常数）， (1)若，求x的值； (2)若将A整理成二次三项式配方后为求n的值； (3)若n满足且，求的值． 题型二十三 实数运算的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1， 【变式训练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 题型二十四 与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）则_______． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【真题演练1】（2025·上海·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【真题演练2】（2025·河北石家庄·中考真题）如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【真题演练3】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是_______；一个“星空数”，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为，M的百位数字与个位数字组成的两位数记为．若被5除余2，且（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是________． 【真题演练4】（2025·北京·中考真题）对任意一个各个数位上的数字均不相等的四位数，若其千位数字的2倍与百位数字的和为13，十位数字的2倍与个位数字的和为14，则称为“结合数”．最大的“结合数”为_____：将“结合数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新数，定义．如果是一个自然数的平方，则满足条件的最小的数为_____． 【真题演练5】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，直接写出t的值：_____． (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当_____时，． 【基础夯实】 1．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）估算的值（   ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）______． 5．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若，则代数式的值为______． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 8．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）计算或化简 (1) (2)． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期中）计算题： (1) (2) 10．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）观察下列各式： ； ； ； … (1)请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； (2)利用上述规律计算：． 【培优拔高】 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 2．（25-26八年级上·重庆·期末）已知整式，此时，其中n，为正整数且，若，下列说法： ①若，满足条件的整式M之和为； ②若，满足条件的二次三项式M共有4个； ③若，满足条件的整式M共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算：______． 7．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 9．（25-26八年级上·全国·寒假作业）求比大的最小整数． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ，再如： ； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题2.3 二次根式『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 二次根式的概念 3 知识点二 二次根式的乘除法 3 知识点三 二次根式的性质 3 知识点四 最简二次根式 4 知识点五 分母有理化(拓展点) 4 知识点六 二次根式的加减法 4 知识点七 二次根式的混合运算 4 题型讲练 5 题型一 二次根式的识别 5 题型二 求二次根式的值 5 题型三 求二次根式中的参数 6 题型四 二次根式有意义的条件 7 题型五 利用二次根式的性质化简 7 题型六 复合二次根式的化简 8 题型七 二次根式的乘法 9 题型八 二次根式的除法 9 题型九 二次根式的乘除混合运算 10 题型十 最简二次根式的判断 11 题型十一 化为最简二次根式 12 题型十二 已知最简二次根式求参数 13 题型十三 同类二次根式 13 题型十四 二次根式的加减运算 14 题型十五 二次根式的混合运算 15 题型十六 分母有理化 16 题型十七 已知字母的值，化简求值 16 题型十八 已知条件式，化简求值 18 题型十九 比较二次根式的大小 19 题型二十 二次根式的应用 19 题型二十一 实数的混合运算 21 题型二十二 新定义下的实数运算 21 题型二十三 实数运算的实际应用 23 题型二十四 与实数运算相关的规律题 24 中考真题演练 25 难度分层训练 31 【基础夯实】 31 【培优拔高】 35 知识点一 二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点二 二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点三 二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点四 最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点五 分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。(二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。) 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点六 二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点七 二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 题型一 二次根式的识别 【典例精讲】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 题型二 求二次根式的值 【典例精讲】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段检测）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 题型三 求二次根式中的参数 【典例精讲】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 【变式训练】（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型四 二次根式有意义的条件 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）要使得有意义，则的取值应满足_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式中被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数需满足 解得. 【变式训练】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足是非负数，即 解得 ． 题型五 利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（2025·山西吕梁·二模）计算：______． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型六 复合二次根式的化简 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算． （1）利用二次根式的性质化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）首先把转化为的形式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，再开平方即可． 【详解】（1）解： = =； （2） ． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南永州·期中）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 _____ ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出的整数部分为，小数部分为，代入计算即可求出值． 将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故答案为：5． 题型七 二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期中）要使算式 的运算结果最小，则表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ． ∵． ∴表示的运算符号是． 题型八 二次根式的除法 【典例精讲】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C正确． 选项D：，D错误． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过二次根式的运算法则计算各选项等式左右两边的值，比较后即可判断等式是否成立． 【详解】解：、∵左边：，右边：，， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵左边：，右边：，左边右边， ∴等式成立，符合题意； 、∵左边：，右边：，， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵左边：，右边：，， ∴等式不成立，不符合题意． 题型九 二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（2024·江苏南京·中考真题）计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则、零次幂的定义以及分母有理化的方法． （1）先利用二次根式乘法法则计算，再将化简，最后合并同类二次根式． （2）先分别化简各项二次根式，再依次进行乘除运算，接着去括号并合并同类二次根式，最后计算零次幂并完成加减运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型十 最简二次根式的判断 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个二次根式的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式为最简二次根式． 【详解】A、，因为被开方数含能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； B、因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数是整数或是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、被开方数含分母，因此不是最简二次根式； B、被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数 ，因此不是最简二次根式． 故选：B． 题型十一 化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·阶段检测）化简:____． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件，结合已知，确定，保证开方结果符合算术平方根的非负性，再将被开方数拆分为可开尽的与最简根式部分的乘积，把平方因式开方后移出根号即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，先利用二次根式的除法法则拆分被开方数，再将含完全平方数的部分开方，最后通过分母有理化得到最简二次根式． 【详解】解：=====． 题型十二 已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·广东河源·期末）最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．由最简二次根式可以合并可知它们是同类二次根式，被开方数相同，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并， ∴ 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得 ． 故答案为：． 题型十三 同类二次根式 【典例精讲】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：两个最简二次根式 与 能合并， 与 的被开方数相同， ， 解得：． 故答案为：. 题型十四 二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）m，n分别表示的整数部分和小数部分，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算；先将各二次根式化为最简二次根式．再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： ． 题型十五 二次根式的混合运算 【典例精讲】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用平方差公式进行计算． （2）利用乘法分配律展开，再结合二次根式的乘法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再加减法即可； （2）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十六 分母有理化 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 先化为最简二次根式，利用乘法分配律计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 题型十七 已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)33 (2) 【分析】（1）先求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解； （2）先判断，求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 【变式训练】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十八 已知条件式，化简求值 【典例精讲】（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型十九 比较二次根式的大小 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·期末）比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键． 根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵， ∴比较它们的平方：， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）比较大小：______ 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，关键是利用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 题型二十 二次根式的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 题型二十一 实数的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项：，该三角形不是直角三角形，符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意． 题型二十二 新定义下的实数运算 【典例精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 【变式训练】（25-26八年级上·四川广元·期末）定义，如，已知，（n为常数）， (1)若，求x的值； (2)若将A整理成二次三项式配方后为求n的值； (3)若n满足且，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，列出关于x的方程求解； （2）先根据新定义得出，再结合，得到关于n的方程求解； （3）先根据，求得n，再得出，结合，得到关于x的方程，再将待求式子变形后整体代入求值． 【详解】（1）解∶根据定义得； ， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， 解得∶ ， ， ∵， ∴， 化简得：， 即， ∴． 题型二十三 实数运算的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是分别计算各组数的平方，判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，，此选项不符合题意； D、，，，此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 综上所述：的值为或1． 题型二十四 与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴, ∴, 则． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 【真题演练1】（2025·上海·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【真题演练2】（2025·河北石家庄·中考真题）如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 【真题演练3】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是_______；一个“星空数”，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为，M的百位数字与个位数字组成的两位数记为．若被5除余2，且（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是________． 【答案】 9867 11968 【分析】首先，根据“星空数”的定义，数字互异且不为零，且千位与十位数字之和等于百位与个位数字之和．为求最大“星空数”，千位取9，百位取8，根据条件得个位比十位大1，且数字互异，因此十位取6，个位取7，得9867．  对于第二部分，由得或4．由除以5余2，可得7或12或17．通过分析可得当时，或9，或8；当时，，，列出所有满足条件的M，其中最大为9834，最小为2134，求和得11968． 本题考查了新定义，整式的加减运算，整除等知识点，解题的关键是熟练掌握知识点并运用． 【详解】解：答题空1： 要使最大，则千位a取最大值9，百位b取最大值8， 由得， 即． ∵数字互异且不为零， ∴c取6，d取7，得，且，满足条件． ∴最大的“星空数”是9867． 故答案为：9867． 答题空2： ∵， ∴由题意得， ，， 由， 得， ∵9是完全平方数， ∴是完全平方数， ∴或4． ∵被5除余2， ∴7或12或17， 当时， ∵， ∴， ∴7或12或17， ∵d为正整数， ∴或9，或8， 若，则，M为2134、6534、7634、8734、9834． 若，则，M为2189、3289、4389、5489、6589、7689． 当时，， 则7或12或17， ∵d为正整数， ∴，， ∴，，M为5148、6248、7348、9548． 所有M中，最大值为9834，最小值为2134，和为． 故答案为：11968． 【真题演练4】（2025·北京·中考真题）对任意一个各个数位上的数字均不相等的四位数，若其千位数字的2倍与百位数字的和为13，十位数字的2倍与个位数字的和为14，则称为“结合数”．最大的“结合数”为_____：将“结合数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新数，定义．如果是一个自然数的平方，则满足条件的最小的数为_____． 【答案】 6170 4562 【分析】本题主要考查新定义、整式混合运算等知识点，理解新定义、熟练掌握整式运算法则是解题的关键． 根据“结合数”的定义可知和，且各位数字互不相同．最大的“结合数”需使a最大，进而确定b、c、d，且数字互异．对于为自然数平方的条件，通过推导的表达式，得出，再结合“结合数”的条件及数字互异，即可找到最小的数n． 【详解】解：由“结合数”的定义可得：，， ∴对于最大的“结合数”：a最大为6，此时；c最大为7且数字互异，此时， ∴最大的“结合数”为6170． ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵a、c为整数， ∴，， ； ∴； ∵是自然数的平方，设， ∴，即 ∴必须是4的倍数，且3与4互质，故必须是3的倍数，即k是3的倍数． 设，则： ∴ ∵，最小，得，即． 要 n 最小，优先让 a 最小： 当时，，则，故这种情况（无效）， 当时，，则（与重复，无效） 当时，，则，，符合题意． 由数字 4，5，6，2 互不相等，故． 验证：，是，满足条件． 所以满足条件的最小 “结合数” 为 4562​． 故答案为：6170，4562​． 【真题演练5】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，直接写出t的值：_____． (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当_____时，． 【答案】(1) (2)、、 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解； （3）根据动点运动，分点P在线段上，点P在的延长线上两种不同情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得； 则的长为； （2）解：在中，， 根据勾股定理，得 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 当为等腰三角形时，t的值为、、； 故答案为：、、； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，能使． 故答案为：或． 【基础夯实】 1．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）估算的值（   ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式的除法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴ ∴估算的值在6和7之间． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】根据完全平方公式得到，利用因式分解法把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 则 ． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 【答案】89 【分析】将原式中四个乘数合理分组，通过变形凑出平方差公式，再利用二次根式的性质计算出结果即可． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，设直角边为未知数，运用勾股定理求出直角边长，再计算三角形的周长． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为， 根据勾股定理可得， ∴， ∴， ∵边长为正数， ∴， ∴该三角形的周长为． 8．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）计算或化简 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．（25-26八年级上·福建漳州·期中）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）先计算除法、平方差公式进行计算，再合并即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 10．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）观察下列各式： ； ； ； … (1)请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； (2)利用上述规律计算：． 【答案】(1)①，；②， (2)2 【分析】（1）根据已知算式的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）先将原式变形，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意可知，； ②根据题意可知，． （2）解：． 【培优拔高】 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】D 【分析】根据推出、的关系，再结合集合性质求解、的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，， ∴，， 又∵，集合，且， ∴ ∴，即 ∵，此时，， 由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得， ∴， ∵，两边同除以得， ∴， ∴，即D选项符合题意． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）已知整式，此时，其中n，为正整数且，若，下列说法： ①若，满足条件的整式M之和为； ②若，满足条件的二次三项式M共有4个； ③若，满足条件的整式M共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】 本题主要考查了整式的定义、系数条件限制下多项式构造等知识点，合理分析给定条件是解题的关键． 当时，满足条件的整式M包括常数项和一次、二次多项式，求和后应为，即可判断①；当时，满足条件的二次三项式M有4个，即可判断②；当时，满足条件的整式M有8个，即可判断③． 【详解】解：由题意可知： N为系数乘积，此时，其中n，为正整数且，且序列非递减， ①若时， 当时，； 当时，； 求和得，故①正确； ②若，二次M∶ ，， 、，共4个，故②正确．   ③若， 当时，，即有1个整式M； 当时，，即有3个整式M； 当时，，即有3个整式M； 当时，，即有1个整式M． 所以整式M共有8个，即③正确． 综上，正确的有3个． 故选A． 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，首先分别联立求出三个函数的交点，求的最大值，需找到使三个函数的最小值最大，最大值出现在函数交点处． 【详解】解：设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第一个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， ∵ ∴最大值为． 故选：C． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______． 【答案】 9 4752 【分析】要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除即可，进而可得的值；是完全平方数，则N能被33整除，且是完全平方数，列举出各值，找出符合题意的数，再作差求值． 本题考查了因式分解的应用，读懂题意，找出各数值之间的内在关系，通过估算列举找出符合题意的值是解本题的关键，综合性较强． 【详解】解：要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除，只需能被9整除，则能被9整除，而c与d都是大于0且小于10的整数，所以； N是四位数，则， 即， 是完全平方数，，则N的值有： ，不是四位数，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； 不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，不满足，的要求，不符合要求； ，不是四位数，不符合要求， 的最大值为7425，最小值为2673，， 的最大值与最小值的差为4752 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径． 先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解． 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．由指数运算法则将原式化为，再利用平方差公式化简中括号，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算的新定义问题。根据新定义，将和转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法性质建立与的关系 【详解】解：由，得. 由，得. ∵， ， . 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 9．（25-26八年级上·全国·寒假作业）求比大的最小整数． 【答案】10582 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及无理数的估值，设，，，，，，可得，从而得出，最后可得答案． 【详解】解：设，，，， 又：，， ∴， 又，从而， 故， ∴比大的最小整数为10582． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ，再如： ； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 【答案】（1）①；②； （2）或； （3）． 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理、完全平方公式等，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． （1）①将拆成，构造完全平方式即可求解；②将拆成，构造完全平方式即可求解； （2）将式子两边平方，根据等式的性质，推出，，的方程组，求解即可； （3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【详解】解：（1）①， ②； （2）∵， ∴， ， ∴，即， ∵，，为正整数， ∴或， ∴或， ∴综上，或； （3）∵中，，， ∴根据勾股定理：， ， ， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $