专题2.2 有理数的乘法和除法【导图+知识卡片+知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦有理数的乘法和除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负及绝对值相乘）、倒数概念与求法、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、多个有理数相乘符号法则、除法法则（除以非零数等于乘其倒数）及乘除混合、四则运算顺序，构建从基础运算到综合应用的学习支架，衔接有理数加减法与后续复杂运算。 资料以思维导图直观呈现知识脉络，13个题型讲练涵盖实际应用（如出租车行程计费）、数轴综合判断等，搭配中考真题与分层训练。通过题型变式培养运算能力和推理意识，实际问题情境发展应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题2.2 有理数的乘法和除法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数乘法法则 2 知识点二 倒数的概念与求法 3 知识点三 有理数的乘法运算律 3 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 4 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 4 题型讲练 4 题型一 两个有理数的乘法运算 4 题型二 多个有理数的乘法运算 5 题型三 有理数乘法的实际应用 6 题型四 倒数 7 题型五 有理数乘法运算律 7 题型六 有理数的除法运算 8 题型七 有理数除法的应用 9 题型八 有理数乘除混合运算 9 题型九 有理数乘除中的简便运算 10 题型十 有理数四则混合运算 11 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 12 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 14 题型十三 数轴上的翻折 15 中考真题演练 15 难度分层训练 20 【基础夯实】 20 【培优拔高】 26 知识点一 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点二 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点三 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 题型一 两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先把原式变形为，再根据异分母分数加减法运算，可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， ； （2） ， ， ， ； （3） ， ． 题型二 多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 题型三 有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·广东茂名·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北方向的人民路上连续接送5位客人，规定向北为正方向，向南为负方向行驶记录如下（单位：）：，，，，． (1)接送完第5位客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车的计价标准为行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米元收费，求该驾驶员接送5名客人共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司的北边，距离公司10千米处 (2)68元 【分析】（1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：． 答：该驾驶员在公司的北边，距离公司10千米处． （2）解： （元）． 答：该驾驶员接送5名客人共收到车费68元． 【变式训练】（25-26七年级上·江西吉安·期末）交警大队一辆警车从警局出发沿着一条南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，约定向北为正方向，当天执勤行驶记录如下（单位：千米），下午结束工作后回到警局．问： (1)警车离出发点最远在警局的什么位置？ (2)若该警车每千米耗油升，那么该天共耗油多少升？ 【答案】(1)警车离出发点最远在警局的北面21千米处 (2)该天消耗了升油 【分析】（1）把每次行驶记录相加，可判断最远的位置； （2）根据行车路程可算出耗油量． 【详解】（1）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 第五次：， 第六次：， 第七次：， ∵ ∴警车离出发点最远在警局的北面21千米处； （2）解：（升）， 答：该天消耗了升油； 题型四 倒数 【典例精讲】（2026·山东济南·二模）的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数是． 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知，则它的倒数为________． 【答案】/0.5 【详解】解：的倒数为． 题型五 有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由有理数加减运算律恒等变形后计算即可； （2）先由有理数乘法分配律展开后计算有理数乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东滨州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先算绝对值，再算除法即可． 【详解】解：． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）某种药品的说明书上贴有如下的标签，用法用量：口服，每天60～90，分2-3次服，规格：########，贮藏：########，一次服用这种药品的剂量范围是______～______．（    ） A．20～30 B．20～45 C．30～45 D．25～45 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，解题的关键是求出一次服用这种药品的剂量的最小值和最大值．根据每日服用剂量范围，分别计算分2次、3次服用时单次剂量的范围，再合并两个范围得到最终单次剂量范围． 【详解】设一次服用剂量为 ∵每日分2次服用时， ∴解得 ∵每日分3次服用时， ∴解得 ∴一次服用这种药品的剂量范围是20~45， 故选：B． 题型七 有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【答案】 【详解】解：根据题意得 （升）． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】要求准考证号是218号应该在第几考场，就用，如果能整除商是几就在几考场，如果不能整除就在商加1的考场，据此解答即可． 【详解】解：（人）， （考场）． 题型八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： 【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 【答案】20 【分析】先计算乘除法，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 题型九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： . 题型十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【答案】(1)4； (2)1423元 【分析】（1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据每千克售价乘以重量列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，“精品杨梅”的质量大于等于5千克，即其与标准质量的差值大于等于0．表格中差值大于等于0的有，共4盒，所以“精品杨梅”有4盒， 最重的一盒杨梅（千克）． （2）解：由题意得： （元） 答：出售这批杨梅总共1423元． 【变式训练】（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上的点、分别表示数、，下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知，，， ，，， 只有C选项正确． 【变式训练】（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据数轴判断式子大小，相反数的意义，以及有理数的运算法则． 根据数轴得到，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 题型十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 【变式训练】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 【真题演练1】（2025·浙江杭州·中考真题）有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（） A． B．0或1 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值、有理数的混合计算、代数式求值等知识点，明确a，b，c不能全正或全负是解题的关键． 由可得，代入x的表达式化简可得．由于a，b，c均不为0且，它们不能全正或全负，因此中两个同号一个异号，其和为，即．然后分两种情况代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设， ∵有理数a，b，c均不为0，且， ∴a，b，c不能全正或全负， 当为两正一负时，则三个结果中有两个1，一个， ∴； 当为两负一正时，则三个结果中有一个1，两个， ∴； ∴s的值为1或， ∴当时，；当时，； ∴x的值可能为1或， 当时，； 当时，． ∴代数式的值为或． 故选D． 【真题演练2】（2025·重庆南川·中考真题）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 【真题演练3】（2025·辽宁阜新·中考真题）周末小明和爸爸去体育馆练习骑自行车，体育馆有一个如图所示的长为200m的环形跑道，跑道上有A，B，C，D四个起始点，把跑道分成长度相等的四段，小明和爸爸分别从两个起始点同时出发，沿箭头方向相向而行，平均速度分别为，．当他们第35次相遇时，相遇的位置离最近的起始点的跑道长度为___________m． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．先计算得到小明和爸爸均骑行了，再计算求得小明骑行了圈还多，相当于小明从开始逆时针骑行了，即在处，据此结合图形即可求解． 【详解】解：第一次相遇时，两人的路程和为， 以后每一次相遇时，两人的路程和为， ∴他们第35次相遇时，路程和为， 相遇时间为，即小明和爸爸均骑行了， ∴小明从开始逆时针骑行了， 圈…，即小明骑行了圈还多， 相当于小明从开始逆时针骑行了，即在处， ∵段段， ∴段，段， ∵， ∴相遇的位置离最近的起始点的跑道长度为， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·广东肇庆·中考真题）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数； ⑤正有理数和负有理数统称有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，相反数和倒数的定义求解即可． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，符合有理数的定义，原说法正确； ②有理数包含正有理数、负有理数和0，原说法错误； ③0没有倒数，0的相反数是0，原说法错误； ④整数分为正整数、0和负整数，符合整数的分类，原说法正确； ⑤有理数包含正有理数、0和负有理数，原说法错误； ∴正确的说法共有2个，故选B． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，，计算判断即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴；，， 故，， 由是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小， 得. 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确. 4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【答案】7 【分析】由前两个图可知一个大球与一个小球的体积是9立方厘米，再由第三个图可知一个大球与五个小球的体积是17立方厘米，就用一个大球与五个小球的体积减去一个大球与一个小球的体积，就是四个小球的体积：立方厘米，再用四个小球的体积除以4就是一个小球的体积，据此求解即可． 【详解】解：四个小球的体积：立方厘米， 每一个小球的体积为立方厘米， 每一个大球的体积为立方厘米． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 【答案】200 【分析】列车通过隧道行驶的总路程等于隧道长度与列车车身长度之和，先根据路程等于速度乘时间求出总路程，再减去隧道长度即可得到列车车身长度 【详解】解：列车通过隧道行驶的总路程为（米） 因为列车通过隧道的总路程隧道长度列车车身长度 所以列车车身长为（米）. 6．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】（或） 【分析】先根据有理数的混合运算法则计算括号内的，再根据有理数的乘除法法则计算． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1)达到了，见解析 (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 10．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程 （单位： ）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)出租车在行驶过程中，离九洲体育馆门口最远的距离是多少？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2 元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西侧处； (2)离出发点最远的距离是； (3)小李这天上午共得车费58元． 【分析】（1）将小李上午所接送8位乘客的行车里程相加即可求解； （2）逐次计算每次接送乘客后的位置即可求解； （3）8位乘客均有起步价，再求出超出部分的加价即可． 【详解】（1）解：， 即小李在九洲体育馆门口西侧处； （2）解：第1位乘客后： (距离出发点) 第2位乘客后： (距离出发点) 第3位乘客后： (距离出发点) 第4位乘客后： (距离出发点) 第5位乘客后： (距离出发点) 第6位乘客后： (距离出发点) 第7位乘客后： (距离出发点) 第8位乘客后： (距离出发点) 对比知最大的是，所以离出发点最远的距离是； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费58元． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项A不符合题意； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项B不符合题意； 如果，则，所以，所以一定会有，故选项C符合题意； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据前两组运算规律，对于输入，输出由及它们的和组成，组合成六位数字． 【详解】解：∵对于：，组成； 对于：，组成； ∴对于：，组成； ∴密码为， 故选：B． 4．（25-26七年级上·河南·期末）联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后开始．一个节目完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_____的先后顺序彩排． 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 【答案】 【分析】本题考查了统筹优化问题，有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． 先确定在的前面，在前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：由题意得节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ②按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ③按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ④按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ⑤按照顺序，则候场时间为：（分钟）； ⑥按照顺序，则候场时间为：（分钟）． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖南·期末）观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法求和，关键是仿照题干将每一项进行拆分；通过观察分母为连续奇数的乘积，将每一项拆分为差的形式，利用裂项相消法求和． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南开封·期中）有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 【答案】8100 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，根据，可得的和，即可求得． 【详解】解：设，，，， 则、、、是四个不同的整数，且， 要将4分解成四个不同整数的乘积， 只能是， 则、、、的组合是， ． 故答案为：8100． 7．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 【答案】(1)， (2)点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为 【分析】本题主要考查数轴上数的表示、数轴的折叠，根据数轴的折叠求对称中心表示的数是解题的关键． （1）首先根据已知条件求出对称中心为1，即可求解与5和重合的点表示的数； （2）首先根据题意分两种情况进行讨论：①点B在点A右侧，即可得到求解A点和B点表示的数；②点A在点B右侧，即可得到求解A点和B点表示的数． 【详解】（1）解：∵折叠后表示的点与表示3的点重合， ∴对称中心为， 设与5重合的点表示的数为x，与重合的点表示的数为y， ∴，解得：；，解得：； ∴与5重合的点表示的数为，与重合的点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由①得：对称中心为1，设点A表示的数为a，点B表示的数为b， ∵A、B两点之间的距离为9， ∴a距离1的距离为，b距离1的距离为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为． 8．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确运算是解题的关键．按运算顺序先算括号里的，再算乘除，最后算加减． 【详解】解： 9．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算． 【答案】2021 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 分别计算分子和分母，进而计算商即可． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）在400米环形跑道上，两点相距100米（如图），甲、乙两人分别从两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒，那么，甲追上乙需要多少秒？ 【答案】77.5秒 【分析】本题考查了行程问题中的追及问题，解题的关键是结合跑步与停留的周期，分析实际追及的路程与时间． 先计算不考虑停留时的追及时间与路程，再结合每跑米停留5秒的规则，调整追及时长，确定最终时间． 【详解】解：不考虑停留，甲追及乙的路程差为米，速度差为米/秒， 追及时间为秒，此时甲跑了米，乙跑了米． 甲跑米，需停留次（），停留时间秒； 乙跑米，需停留次（），停留时间秒． 甲停留时乙仍在跑，实际追及时需补时间差：甲多停留秒，乙在这秒跑了米， 需再追米，时间秒，此时甲跑米（无需停留）． 总时间：秒． 答：甲追上乙需要秒． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题2.2 有理数的乘法和除法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数乘法法则 2 知识点二 倒数的概念与求法 3 知识点三 有理数的乘法运算律 3 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 4 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 4 题型讲练 4 题型一 两个有理数的乘法运算 4 题型二 多个有理数的乘法运算 4 题型三 有理数乘法的实际应用 5 题型四 倒数 5 题型五 有理数乘法运算律 5 题型六 有理数的除法运算 6 题型七 有理数除法的应用 6 题型八 有理数乘除混合运算 6 题型九 有理数乘除中的简便运算 7 题型十 有理数四则混合运算 7 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 8 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 8 题型十三 数轴上的翻折 9 中考真题演练 9 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 13 知识点一 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点二 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点三 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 题型一 两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【变式训练】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 题型二 多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 题型三 有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·广东茂名·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北方向的人民路上连续接送5位客人，规定向北为正方向，向南为负方向行驶记录如下（单位：）：，，，，． (1)接送完第5位客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车的计价标准为行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米元收费，求该驾驶员接送5名客人共收到车费多少元？ 【变式训练】（25-26七年级上·江西吉安·期末）交警大队一辆警车从警局出发沿着一条南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，约定向北为正方向，当天执勤行驶记录如下（单位：千米），下午结束工作后回到警局．问： (1)警车离出发点最远在警局的什么位置？ (2)若该警车每千米耗油升，那么该天共耗油多少升？ 题型四 倒数 【典例精讲】（2026·山东济南·二模）的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知，则它的倒数为________． 题型五 有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型六 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东滨州·期末）计算：______． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）某种药品的说明书上贴有如下的标签，用法用量：口服，每天60～90，分2-3次服，规格：########，贮藏：########，一次服用这种药品的剂量范围是______～______．（    ） A．20～30 B．20～45 C．30～45 D．25～45 题型七 有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 题型八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 题型九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【变式训练】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【变式训练】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【变式训练】（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上的点、分别表示数、，下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 题型十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【变式训练】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【真题演练1】（2025·浙江杭州·中考真题）有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（） A． B．0或1 C． D．或 【真题演练2】（2025·重庆南川·中考真题）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【真题演练3】（2025·辽宁阜新·中考真题）周末小明和爸爸去体育馆练习骑自行车，体育馆有一个如图所示的长为200m的环形跑道，跑道上有A，B，C，D四个起始点，把跑道分成长度相等的四段，小明和爸爸分别从两个起始点同时出发，沿箭头方向相向而行，平均速度分别为，．当他们第35次相遇时，相遇的位置离最近的起始点的跑道长度为___________m． 【真题演练4】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【真题演练5】（2025·广东肇庆·中考真题）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数； ⑤正有理数和负有理数统称有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 6．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 9．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 10．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程 （单位： ）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)出租车在行驶过程中，离九洲体育馆门口最远的距离是多少？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2 元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 2．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南·期末）联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后开始．一个节目完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_____的先后顺序彩排． 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 5．（25-26七年级上·湖南·期末）观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 6．（25-26七年级上·河南开封·期中）有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 7．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 8．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 9．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）在400米环形跑道上，两点相距100米（如图），甲、乙两人分别从两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒，那么，甲追上乙需要多少秒？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $