分式与不等式-2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接练

**基本信息** 聚焦初高衔接核心，以分式方程与不等式为载体，通过分层题型系统构建"解法-变式-综合"三阶训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程|6（单1-4、填10-12、解13-16）|去分母化整式、换元法降次、增根验根三步法|从整式方程到分式方程，通过最简公分母构建转化桥梁，突出增根产生的逻辑必然性| |不等式（组）|8（单5-9、填11、解17-18）|数轴标根法、参数分类讨论、绝对值几何意义|从一元一次不等式到含参不等式组，通过解集交集思想建立逻辑推导链，渗透数形结合思想| |综合应用|2（解19-20）|方程组与不等式组联动、解集参数互求|整合代数工具，体现"方程解→不等式关系→参数范围"的知识迁移路径，培养应用意识|

初高衔接点--分式与不等式 衔接练 2026-2027学年新高一暑期初高中数学衔接 一、单选题 1．解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，最适宜的做法是（   ） A．设 B．设 C．设 D．设 3．关于的方程产生增根，则的值及增根的值分别为（   ） A． B． C． D． 4．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．不等式的解是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式组的解是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的正整数解有一个 B．是不等式的一个解 C．不等式的解是 D．不等式的整数解有无数个 8．对于不等式组，下列说法正确的是（   ） A．此不等式组的正整数解为1，2，3 B．此不等式组的解为 C．此不等式组有5个整数解 D．此不等式组无解 9．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知是方程一个根，求的值_________． 11．解不等式的解为______. 12．去分母解分式方程，分母的最简公分母是_________． 三、解答题 13．试确定实数的值，使关于的方程有增根． 14．取何值时，方程会产生增根？ 15．解方程． 16．解方程： 17．解不等式. 18．解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解. 19．关于，的方程组的解，满足，求的取值范围. 20．已知不等式组的解集是，则的值是多少？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A B C B C A D 1．B 结合分式方程去分母的特征求解即可. 左右同乘以最简公分母，得. 故选：B. 2．D 结合题设条件特征，分析可得. 由， 利用换元法，使之变为的方程，故可设， 方程变为，即可求解. 故选：D. 3．A 应用已知方程化简求解. 方程两边都乘，得， ∵方程有增根， ∴最简公分母，即增根是，把代入整式方程，得． 故选：A. 4．B 求出方程的根，再列式求解. 解方程，得，且， 而原方程的解为负数，因此，且， 解得，且， 所以的取值范围是且. 故选：B 5．C 将不等式移项变形后求解即可. 不等式移项得，， 再两边同时乘以，得. 所以不等式的解为. 故选：C 6．B 先求出的解，再与取交集，利用已知条件即可得出结果. 由题意得： ， 又，且不等式组的解是， 则. 故选：B. 本题主要考查了利用不等式组的解集求参数的问题.属于容易题. 7．C 根据不等式的解集和不等式的解逐项判断即可. 不等式的正整数解只有1，故A正确； 不等式的解为， 因为，所以是不等式的一个解，故B正确； 不等式即的解是，故C错误； 不等式的整数解有无数个，故D正确. 故选：C 8．A 求出不等式组的解，再求出不等式组的整数解，逐项判断即可. ，解①得，解②得， 所以不等式组的解为， 所以不等式组的整数解为共4个，不等式组的正整数解为1，2，3. 故选：A 9．D 根据集合的关系可得的范围. 因为，不等式（1）的解集是：； 不等式（2）的解集是：， 因为，不等式组的解集是， 所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，    仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是. 故选：D. 10． 把代入方程可得答案. 因为是方程一个根， 所以，解得. 故答案为：. 11． 分和去绝对值符号可解. 当时，即时，则或， 解得或， 又，所以； 当时，由绝对值的意义可得不等式恒成立，即， 综上可得不等式的解集为. 故答案为：. 12． 将分式方程的分母分解因式，易得各分母的最简公分母. 由可得， 故该方程的分母的最简公分母是. 故答案为：. 13．或 方程化为整式方程后求得的根，若使原方程的分母为零，则为增根. 原方程去分母，两边同时乘以，得， 去括号、移项、合并同类项得，解方程得． 若使方程有增根，只要或即可，故或，即或． ∴当或时，关于的方程有增根． 14．1或2． 根据分式方程的增根定义，由去分母时使最简公分母为0时的的值代入原方程即可求得参数值. 因，两边同乘以， 可得，即. 若原分式方程产生增根，则当时，；当时，． 故 或. 15． 去分母解方程可得答案. 方程两边同时乘以，得， 即．解得，或．经检验，是增根． 所以原方程的根是． 16．，， 设，再将原式转化为关于设的二次方程，解得或，再分别讨论和两种情况，结合二次方程的方法求解即可. 设，则 原方程可化为：，解得或 （ⅰ）当时，； （ⅱ）当时， ，解得或. 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是，，． 17．，或. 解法一分与3的关系去掉绝对值符号可解；解法二由绝对值的意义画图可得；解法三由绝对值的意义改写成不等式组，再数形结合可得. 解法一：当时，原不等式可化为，即， 此时，不等式的解为. 当时，原不等式可化为，此时不等式无解. 当时，原不等式可化为，即. 此时不等式的解为. 综上所述，原不等式的解为，或. 解法二：如下图，设数轴上与，3对应的点分别为，，那么，两点之间的距离为6， 因此区间上的数都不是不等式的解. 设在点左侧存在一点，使得到，的距离之和为8，即， 设点对应的数为，则有，∴.    同理，设点的右侧存在一点，使， 设点对应的数为，则有，∴. 从数轴上可以看到，与之间的点到、的距离之和都小于8， 而点的左侧或点的右侧的任何点到，的距离之和都大于8. 所以不等式的解为，或. 解法三：原不等式可转化为， 构造函数，即 作出函数的图象（如图）.    函数的零点是，4.由图象可知，当或时，，即. 所以原不等式的解为，或. 18．，作图见解析 先求出不等式组中每一个不等式的解，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解，表示在数轴上即可. 解①得：， 解②得：. 则不等式组的解是：. 19． 解不等式可得，，进而可得，求解即可. 解方程组，得，； 因为，所以，解得. 所以的取值范围为. 20． 解不等式①，②，结合不等式组的解集可得，，求解即可. 不等式组， 不等式①的解集是：； 不等式②的解集是：； 因为不等式组的解集是， 所以且，解得：，； 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $