第29讲 三角恒等变换·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦三角恒等变换公式的灵活应用，通过分层题型构建从基础运算到综合拓展的知识逻辑链 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题（8单3多）|给值求值、角范围判断、公式逆用|从同角关系到两角和差、二倍角公式的递进应用| |填空|3题|条件等式化简、三角函数值计算|强化公式变形与隐含条件挖掘能力| |解答|5题|三角形、函数性质、向量综合|实现三角公式与几何、函数、向量知识的跨模块整合|

第29讲 三角恒等变换 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2025·河北NT20名校·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·深圳高级中学·一模）（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·广东深圳·一模）已知，，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·山东九五协作体·一模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·湖北楚天协作体·二模）已知、均为锐角，，，则（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·安徽华师联盟·4月检测）若，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·江西三新教研·3月联考）已知为第一象限角，，则（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·山东潍坊·二模）已知，且，，则（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 10.（2026·福建厦门双十中学·适应性练习）若，，则（ 　　） A. B. C. D. 11.（2026·江苏苏北四市·一模）已知锐角，满足，，则下列结论可能成立的是（ 　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·河北石家庄·二模）已知，则＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·浙江宁波·二模）若，则＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·湖北黄冈·4月调研）若，则＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2025·河北沧州运东五校·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，. （1）求； （2）求边上的高. 16.已知. （1）求在上的单调递减区间； （2）若，，求的值. 17.已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时的值. 18.（2026·湖北武汉·三模）已知函数的图象关于点中心对称. （1）求； （2）在中，角所对的边分别为，若，且，求角. 19.（2026·湖北随州六校·一模）已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 第 2 页，共 17 页 $第29讲 三角恒等变换 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C C B C D 6 7 8 9 10 A D C BC ACD 11 12 13 14 15 ABD （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2） （1）最小正周期为，单调递增区间为 （2）最大值为，此时 （1） （2）或 （1）， （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2025·河北NT20名校·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，可得，则，则，故选：C. 【点拨】本题考查两角和与差的余弦公式，通过展开并移项即可求出正切值的乘积. 2.（2025·深圳高级中学·一模）（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：.故选：C. 【点拨】本题考查诱导公式及两角差的正切公式，将转化为，再利用展开计算即可. 3.（2026·广东深圳·一模）已知，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于，则，于是. 【点拨】本题考查同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式，先求出，再展开计算即可. 4.（2026·山东九五协作体·一模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，则，故选：C. 【点拨】本题考查两角差的正弦公式及辅助角公式的应用，将已知等式左边展开并合并同类项，再逆用正弦的和角公式即可求解. 5.（2026·湖北楚天协作体·二模）已知、均为锐角，，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为、为锐角，所以，，所以，所以.因为，所以，，因为，所以，则，所以，，. 【点拨】本题考查给值求值问题，利用求出的三角函数值，再利用两角和的正切公式求解. 6.（2026·安徽华师联盟·4月检测）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，解得，所以.故选：A. 【点拨】本题考查同角三角函数关系及二倍角公式，将正切化为正余弦，利用二倍角正弦公式求出，再结合诱导公式即可求解. 7.（2025·江西三新教研·3月联考）已知为第一象限角，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】(解法一)因为，所以，解得或.因为为第一象限角，所以，，所以(舍去).(解法二)因为为第一象限角，，所以.因为，所以，解得或.因为为第一象限角，所以，，所以(舍去). 【点拨】本题考查半角公式的应用，利用万能公式将或转化为的方程，结合角的范围取舍即可. 8.（2026·山东潍坊·二模）已知，且，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，即.所以，，从而.因为，所以，又，所以.又因为，所以，则.所以.对应选项C. 【点拨】本题考查两角和与差的余弦公式，通过正切乘积转化为正弦乘积与余弦乘积的关系，进而建立与的联系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误； 对于B：利用和差化积公式：，因为且，所以，则对任意的成立，故B正确； 对于C：已知，，不妨设，则，因为，，且，所以，又因为余弦函数在上单调递减，所以，两边同乘正数得：，即，故C正确； 对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得：，当时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立；当时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误.故选：BC. 【点拨】本题考查和差化积公式及三角函数单调性的综合应用，通过作差或化积将不等式转化为三角函数值的比较. 10.（2026·福建厦门双十中学·适应性练习）若，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由两边平方得，解得，故B错误.因为，，所以，从而，，所以.由，解得，故C正确.联立与，解得，，所以，故A正确.，故D正确.故选：ACD. 【点拨】本题考查同角三角函数的基本关系及二倍角公式，利用平方法求出，再结合角的范围求出是解题关键. 11.（2026·江苏苏北四市·一模）已知锐角，满足，，则下列结论可能成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由，所以.因为为锐角，所以，即.又，所以.所以.将代入得，解得.因为为锐角，所以或.当时，，此时；当时，，此时.所以可能成立的是，，.对应选项ABD. 【点拨】本题考查三角恒等变换及诱导公式的应用，利用半角公式将已知条件化简为正切形式，进而求出角之间的关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·河北石家庄·二模）已知，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，得，即，所以，解得. 【点拨】本题考查两角和的正弦公式及同角三角函数关系，展开后移项化简即可求出正切值. 13.（2026·浙江宁波·二模）若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，解得. 【点拨】本题考查两角差的正切公式，直接展开代入数值即可求解. 14.（2026·湖北黄冈·4月调研）若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得：.因此得：.由二倍角余弦公式得：. 【点拨】本题考查三角恒等变换及二倍角公式，将正切化为正余弦并利用辅助角公式化简是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2025·河北沧州运东五校·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，. （1）求； （2）求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】（1），，，.因为且，，. 2 分 由正弦定理可得，即，解得. 4 分 因为，. 6 分 （2）如图，过作交于点， 在中. 10 分 如图所示，在中，，. 12 分 故边上的高为. 13 分 【点拨】本题考查正弦定理及两角和的正弦公式，先利用正弦定理求出角，再利用和角公式求出，最后在直角三角形中求高. 16.已知. （1）求在上的单调递减区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）. 3 分 由，解得. 5 分 又，函数在上的单调递减区间为. 7 分 （2）由（1）知，又，. 9 分 ，，. 12 分 . 15 分 【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质，利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为正弦型函数是解题关键. 17.已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2）最大值为，此时 【解析】（1）因为，所以的最小正周期为. 3 分 令，解得，所以的单调递增区间为. 7 分 （2）因为，所以，所以，所以. 11 分 当，即时，，所以的最大值为，此时. 15 分 【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质，利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式是解题关键. 18.（2026·湖北武汉·三模）已知函数的图象关于点中心对称. （1）求； （2）在中，角所对的边分别为，若，且，求角. 【答案】（1） （2）或 【解析】（1）由题. 4 分 又且函数的图象关于点中心对称，所以，解得. 7 分 （2）由（1）知. 又，所以，即，所以.又，所以.又，所以. 12 分 又，， 又，所以，所以或，或，又，所以或. 17 分 【点拨】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用，利用降幂公式化简函数解析式，再结合对称性求参数是解题关键. 19.（2026·湖北随州六校·一模）已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）因为，，且，所以，即，代入，得，，因为，所以，，故，则， 4 分 根据二倍角的正余弦公式：，. 8 分 （2）因为，，所以，又，所以，，所以， 13 分 故，因为，所以. 17 分 【点拨】本题考查向量垂直的坐标表示及三角恒等变换，利用求出是解题关键. 第 2 页，共 17 页 $