第26章  二次函数-2026-2027学年九年级数学上册练培优（人教版）

第26章二次函数 26.1二次函数y=x2的图象和性质 1、[2025庆阳期中]对于抛物线y=x2，当-1≤x≤2时，y的取值范围是（) A.1≤y≤4 B.0<y≤4 C.0≤y≤4 D.1<y<4 2、[2025湖州月考]在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax(a≠0)与一次函数y=ax+ a的图象大致是() 平来 3、[2025北京期中]已知点A(-1,3),B(3,3),若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB只有一个公 共点，则a的取值范围是() 1 A.0<a≤3 1 B.0<a<3 c3<a<3 D3≤a<3 4、[2025吉林月考]如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系， 作出函数y=2x2与y=-2x的图象，则阴影部分的面积是（) A.2 B.4 C.6 D.8 5、[2025绍兴三模]已知点(x1,y1),(x2,y2)为二次函数y=x的图象上的两点（不为顶点）， 则以下判断正确的是() A.若x1>x2,则y1>y2 B.若x1<x2,则y1<y2 C.若x1x2>x号，则y1>y2 D.若x1x2<x号，则y1<y2 16/68 第26章二次函数 6、「2025广安月考1如图，已知点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上，过点A且平行于x轴的 直线交抛物线于点B。 (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A,B,P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐标。 7、[2026扬州期中]推理能力，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上。 (1)如图1，已知菱形ABCD的顶点B,C,D在二次函数y=x的图象上，且AD1y轴，求菱 形ABCD的边长； (2)如图2，已知正方形ABCD的顶点B,D在二次函数y=x的图象上，点B,D在y轴的同侧， 且点B在点D的左侧，设点B,D的横坐标分别为m,n,判断n一m是否为定值，并说明理由。 B 0 图1 图2 17/68 第26章二次函数 26.2二次函数y=ax2+k的图象和性质 1、[2026新乡期中]在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m 的图象可能是() 六 2、[2025孝感月考]抛物线y=x2+3上有两点A(x1y1),B(x2y2),若y1<y2,则下列结论 正确的是() A.0≤X1<X2 B.x2<x1≤0 C.x2<x1≤0或0≤x1<x2 D.以上都不对 3、如图，两条抛物线1=2+1，⅓=-1，与分别经过点（(-20，(20且平行于 y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 210 x2+1 x2-1 4、[2025苏州期中]如图，将二次函数y=x2一4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新 函数的图象（图中的实线）。当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 18/68 第26章二次函数 5、如图，抛物线y=ax2一3和y=一ax2+3都经过x轴上的A,B两点，两条抛物线的顶点分 别为C,D。当四边形ACBD的面积为24时，求a的值。 6、[2026广州期中]几何直观，如图，已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x 轴交于A,B两点，直线y=x十m过顶点C和点B。 (1)求m的值。 (2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式。 (3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明 理由。 19/68 第26章二次函数 26.3二次函数y=a(区-h)2的图象和性质 1、一题多解在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)的图象 大致为() .东头 2、若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是() A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 1 3、已知二次函数y=-2x-M)2,当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的 最大值为-2，则常数h的值为() A.1或3 B.-1或1 C.3或5 D.-1或5 4、如图，已知二次函数y=(x+2)的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,在对称轴上存在 一点P,使得以P,A,O,B四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点P的坐标为」 第4题图 第5题图 5、一题多解如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且0B=OA。 (1)求抛物线的解析式： (2)若点C(-3,b)在该抛物线上，求△ABC的面积。 20/68 第26章二次函数 6、「2026广东实验月考1推理能力，如图，抛物线y=(x+1)2的顶点为A,过点A左侧抛物线 上一点B作BC1x轴于点C,且BC=2AC。 (1)求AC的长； (2)若D是抛物线上的一点，且∠ABD=45°，求点D的坐标。 B D ◇ AO 21/68 第26章二次函数 26.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1、[2026鄞州月考]已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x-1)2-2上，点A 在点B左侧，下列选项正确的是() A.若c<0,则a<c<b B.若c<0,则a<b<c C.若c>0,则a<c<b D.若c>0,则a<b<c 2、[2026杨浦期末]如果将抛物线y=-(x+6)2+8向右平移10个单位长度，那么此抛物 线与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形？() A.持续向上 B.持续向下 C.先向上再向下 D.先向下再向上 3、一题多解，点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上若y1<y2, 则m的取值范围为() 3 A.m>2 B.m>2 C.m<1 D.2<m<2 4、[2026广州期末]长春南湖公园的石拱桥，桥中间的大拱截面OBA可视为抛物线的一部 分，水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m。 (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式。 (2)打捞船距0点1m处，环卫工人身高1.71m,船底与水面齐平，判断他直立时头顶是 否会触碰到大桥拱。 图1 图2 2268 第26章二次函数 5、[2025厦门期中]在平面直角坐标系中，设二次函数y=-2Cx-2m)2+3-m(m是实数)。 (1)当m=2时，若点A(8,n)在该函数的图象上，求n的值。 1 (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y=- x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？ (3)已知点P(Q+1,c)Q4m-5+a,c)都在该二次函数的图象上，求证：c≤8 23/68 第26章二次函数 26.5二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1、[2026长沙月考]已知一次函数y=ax-b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+b 在平面直角坐标系中的图象可能是() 2、[2026天津月考]如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+6上运动，过点A 作AC1x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 B 第2题图 第3题图 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0)，对称轴为直线 x=2,给出下列结论：(1)abc<0;(2)4a+c>2b;(3)3a-2c>0; 1 7 (4)若点A(-2,y),B(-22),C(2y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2 (5)4a+2b≥m(am+b)(m为常数)。其中正确的结论有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4、2025福建中考]新考法，已知二次函数y=2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(分y), B(3a,y2)两点，则下列判断正确的是() A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值，都有y1>a C.可以找到一个实数a,使得y2<0 D.无论实数a取什么值，都有y2<0 24/68 第26章二次函数 5、2026榆树月考1如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=2+bx+c与y轴交于点A(0.2), 2 与x轴交于B(-3,0),C两点（点B在点C的左侧)，抛物线的顶点为D。 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标。 2 E B PO C 6、[2025安徽中考]已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x 的顶点横坐标大1。 (1)求b的值。 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上。 ①若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； ②若x1=t-1,求h的最大值。 25/68 第26章二次函数 26.6二次函数与一元二次方程 1、一题多解，已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<x2), 关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为x3,x4(x3<x4),则下列结论正确的是() A.X3<X1<X2<X4 B.X1<X3<X4<X2 C.X1<X2<X3<X4 D.X3 X4<X1<X2 2、[2026遵义期末]点A(3,2)在抛物线y=a(x-2)2+c(a≠0)上，则关于x的一元二 次方程a(x-3)2+c+3=5的解是() A.X1=0,X2=2B.x1=x2=3 C.X1=2,X2=4 D.x1=1,x2=5 3、「2026交大月考1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值 如下表： X -2 1 则关于x的方程ax2+bx+c=m 的解为 y m 0 4、易错题，已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的 值为一。 5、2025玄武期中]把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平 移3个单位长度，如果平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足 的条件是 6、[2025临淄期中]已知二次函数y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数 在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，当直 线y=一x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 26/68 第26章二次函数 7、「2026深圳期末]小明为了探究函数M:y=-x2+4x-3的性质，他想先画出它的图象， 然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题。 (1)完成函数图象的作图，并完成填空。 ①列出y与x的几组对应值如下表： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 2 -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 表格中，a= ②结合上表，在如图所示的平面直角坐标系x0y中，画出当x>0时函数M的图象； ③观察图象，当x=时，y取最大值，为 (2)若关于x的方程-x2+4|x-3=a有4个实数根，则a的取值范围是 (3)已知P(m,y1)、Q(m+1,y2)两点在函数M的图象上，当y1<y2时，请直接写出m的 取值范围。 6-5-43-2-i0123456 5 6 27/68 第26章二次函数 26.7二次函数与面积最值问题 1、[2026南开期末]如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm。动点P从点A 出发，以2mm/s的速度沿边AB向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边BC 向终点C运动。设出发的时间为ts。给出下列结论： ①当t=2时，AP=CQ; ②当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2; 2 ③t有两个不同的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的2° 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 A ◆P/W R 165-- 第1题图B 第2题图 220V 3 4 I/A 2、跨学科·物理，某校物理兴趣小组对一款用电器的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从 一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化关系的图象，如图所示，该图象 是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率P的最大值为_W。 3、[2025龙湾期中]如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F,G,H分别在边AB,BC, CD,DA上，且DG=BE,AH=CF=2BE,设四边形EFGH的面积为y,BE为x。 (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)求y的最小值。 H 28/68 第26章二次函数 4、「2025佛山期中]某校九年级学生在数学活动课上进行项目式学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题。 图1 图2 素材1：利用一个边长为40c的正方形硬纸板可以设计成如图1所示的无盖纸盒。 素材2：如图2，在正方形硬纸板的四角处，各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折 成一个无盖纸盒。 设折成的无盖纸盒的侧面积为Scm2，剪掉的小正方形的边长为acm。 (1)求S与a之间的函数解析式。 (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形 的边长；如果没有，请说明理由。 29/68 第26章二次函数 26.8二次函数与最大利润问题 1、「2026慈溪期中]某酒店有150间标准房，当标准房价格为每间120元时，每天都满客。 市场调查表明标准房价格在每间120~170元范围内（含120元，170元)浮动时，每提 高10元，日均入住数量减少8间。如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到每间 元时，客房的日营业收入最大。 2、新考法综合与实践 问题情境，小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价， 小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况， 记录如下： 售价/（元/盆） 日销售量/盆 售价（元/盆） 日销售量/盆 20 50 A 20 50 30 30 B 30 30 C 18 54 A 18 54 D 22 46 E 26 38 B 22 46 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理， 填写在下表中。 售价/（元/盆)》 18 20 22 26 30 日销售量/盆 54 50 46 38 30 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系。 拓展应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 30/68 第26章二次函数 3、「2025新疆中考1某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之 间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为y1=5x;成本y2（万元)与销售量 .17 x(吨)的函数图象是抛物线的一部分，其中（吃，4）是其顶点。 (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式。 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 4y,万元 11 10 91 6 (2,4) 3 1 07 2 3x/吨 31/68 第26章二次函数 26.9生活中的抛物线形问题 1、[2026杭州期中]某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈 喷水头，使喷出的水柱距池中心6m处达到最高，高度为9m(示意图如下)，以水平方向 为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。若要在喷水池中心设计一个装饰物A,使 各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计的高度应为 mo B 0 2、[2025江西中考]如图，一小球从斜坡0点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函 数y=a2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y二4刻画，小球飞行的水平距离x(米) 与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表。 x/米 0 2 m 6 7 y/米 0 15 8 15 7 6 2 2 2 2 (1)①m= ,n= ②小球的落点是A,求点A的坐标。 (2)小球飞行高度y（米)与飞行时间t(秒)满足关系y=-5t2+vt。 ①小球飞行的最大高度为米； ②求v的值。 y/米 小球斜坡 x米 32/68 第26章二次函数 3、模型观念，如图1，灌溉车在为绿化带浇水。喷水口H离地面的竖直高度为h（单位：m)。 如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图 象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长。下边缘抛 物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2， 高出喷水口0.5m,灌溉车到绿化带的距离0D为d(单位：m)。 (1)若h=1.5m,EF=0.5m ①求上边缘抛物线的解析式，并求喷出水的最大射程0C; ②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围。 (2)若EF=1m,要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值。 y/m H 2 上边缘h+0.5 喷水 下边缘 B C x/m 图1 图2 33/68第26章二次函数 26.1二次函数y=x2的图象和性质 1、[2025庆阳期中]对于抛物线y=x2，当-1≤x≤2时，y的取值范围是（) A.1≤y≤4 B.0<y≤4 C.0≤y≤4 D.1<y<4 答案：C 解析：二次函数y=x2中，1>0，抛物线开口向上。 :抛物线的对称轴是y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小。 当x=0时，y取得最小值，为0；当x=-1时，y=1;当x=2时，y=4。 当-1≤x≤2时，0≤y≤4。 2、[2025湖州月考]在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=ax+a 的图象大致是() 答案：B 解析： 通解：当a>0时，函数y=ax的图象开口向上，函数y=ax+a的图象经过第一、第二、第 三象限，所以A、D错误，B正确； 当a<0时，函数y=ax的图象开口向下，函数y=ax+a的图象经过第二、第三、第四象限， 所以C错误。 另解：A项，由一次函数的增减性，知a<0,由一次函数的图象与y轴的交点，知a>0,故A 项不符合题意； B项，由二次函数的图象，知a>0,由一次函数的图象，知a>0,故B项符合题意； C项，由二次函数的图象，知a<0,由一次函数的图象，知a>0,故C项不符合题意； D项，由二次函数的图象，知a>0,由一次函数的图象，知a<0,故D项不符合题意。 3、[2025北京期中]已知点A(-1,3),B(3,3),若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB只有一个公 共点，则a的取值范围是() 23/129 第26章二次函数 1 A.0<a≤3 B.0<a<3 c3<a<3 D≤a<3 答案：D 解析：抛物线y=ax的对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)， 当a<0时，二次函数y=ax2有最大值0，抛物线y=ax2与线段AB没有交点。 当a>0时，~抛物线y=ax2与线段AB只有一个公共点， 11 当x=-1时，y-a<3;当x=3时，y=9a之3，解得a≥33≤a<3。 4、[2025吉林月考]如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系， 作出函数y=2x2与y=-2x2的图象，则阴影部分的面积是() A.2 B.4 C.6 D.8 答案：D 解析：由二次函数y=2x2和y=一2x2的图象关于x轴对称，可知阴影部分的面积是正方形面积 的一半，所以阴影部分的面积是×4=8。 5、[2025绍兴三模]已知点(x1,y1),(x2,y2)为二次函数y=x的图象上的两点（不为顶点)， 则以下判断正确的是（) A.若x1>X2,则y1>y2 B.若x1<x2,则y1<y2 C.若x1x2>x2,则y1>y2 D.若x1x2<x2,则y1<y2 答案：C 解析：在y=x2中，1>0，对称轴为y轴， ∴在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越 远，对应的函数值越大。 A项，当x1>x2时，y1不一定大于y2,如当x1=1,x2=-2时，y1=1,y2=4,此时x1>x2, 24/129 第26章二次函数 但y1<y2,故A项错误。 B项，当x1<x2时，y1不一定小于y2,如当x1=-2,x2=1时，y1=4,y2=1,此时x1<x2, 但y1>y2,故B项错误。 C项，当x1x2>x号，即x12>x2x2>0时，有x1<x2<0或x1>x2>0。 当x1<x2<0时，y1>y2;当x1>x2>0时，y1>y2,所以当x1x2>x2时，y1>y2,故C 项正确。 D项，当x1x2<x2时，y1不一定小于y2,如当x1=-2,x2=1时，y1=4,y2=1,此时x1x2=-2, x2=1,-2<1,但y1>y2,故D项错误。 6、[2025广安月考]如图，已知点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上，过点A且平行于x轴的 直线交抛物线于点B。 (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A,B,P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐标。 答案：(1)a=1,点B的坐标为(2,4)； (2)点P的坐标为(-√3,3)、(3,3)、(-V5,5)或(W5,5)。 解析：(1)把点A(-2,4)的坐标代入y=ax2(a≠0)，得4=a×(-2)2,解得a=1, 抛物线的解析式为y=x2,…抛物线的对称轴为y轴。 ABIx轴，且点B在抛物线上，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，即关于y轴对称，B(2,4)。 1 (2):△ABP的面积为2，ABIx轴，S△ABP=2AByP-4纠=2， 1 ×4×yp-4=2,解得yp=3或yp=5。 在y=x2中，当y=3时，x=±V3;当y=5时，x=±V5, ∴点P的坐标为(-V3,3)、(W3,3)、(-V5,5)或(5,5)。 25/129 第26章二次函数 7、「2026扬州期中]推理能力，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上。 (1)如图1，已知菱形ABCD的顶点B,C,D在二次函数y=x2的图象上，且AD1y轴，求菱 形ABCD的边长； (2)如图2，已知正方形ABCD的顶点B,D在二次函数y=x2的图象上，点B,D在y轴的同侧， 且点B在点D的左侧，设点B,D的横坐标分别为m,n,判断n-m是否为定值，并说明理由。 图1 图2 答案：①)菱形ABCD的边长为2；(2)nm为定值！ 解析：(1)设BC交y轴于点E,菱形ABCD的边长为2a,则AB=BC=CD=AD=2a。 ADLy轴，∴ADIx轴。又AD II BC,BCIx轴，B,C关于y轴对称，∴BE=CE=a。 AE=√AB2-BE2=V3a,把点D(2a,a2+V3a)的坐标代入y=x2,得a2+V3a=4a2, 解得a= V 2W3 或a=0(舍去)，菱形ABCD的边长为3。 EU 0 (2) n-m为定值。理由如下：如图，过点B作BF⊥y轴于点F,过点D作DE1y轴于点E。 :点B,D的横坐标分别为m,n,且点B,D在二次函数y=x2的图象上， ..B(m,m2),D(n,n2),..BF=m,OF =m2,DE =n,OE =n2. ~四边形ABCD是正方形，LDAB=90°，AD=AB,∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA。 :LAFB=∠DEA=90°，△AFB兰△DEA（一线三垂直全等模型)， ..BF AE m,AF DE =n,..m n2-n-m2,.m+n=(n-m)(n+m). :点B,D在y轴的同侧，m+n≠0，n-m=1。 26/129 第26章二次函数 26.2二次函数y=ax2+k的图象和性质 1、[2026新乡期中]在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m 的图象可能是() 答案：D 解析：二次函数y=x2+中，1>0，抛物线开口向上，排除选项B。选项A、C、D中 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，m<0,-m>0。n2≥0，一次函数y=-mx+n2 的图象经过第一、第二、第三象限（当n=0时，经过第一、第三象限)，只有D项符合题意。 2、[2025孝感月考]抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1<y2,则下列结论 正确的是（) A.0≤x1<X2 B.x2<x1≤0 C.X2<x1≤0或0≤x1<x2 D.以上都不对 答案：D 解析：“抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1<y2,x1|<x2（关键点拨： 抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，点离对称轴越远，函数值越大)，0≤x1<x2或x2<x1≤ 0或0<-x1<X2或0<x1<-x2 3,如图，两条抛物线y1=72+1,y2三口 5x21,与分别经过点(-2,0)，(2,0)且平行于 y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 x2+1 x2-1 答案：8 27/129 第26章二次函数 x2+1 x21 解析：如图， -1的顶点(0，-)作平行于轴的直线与抛物线y1=2+1围成封闭 1 过抛物线y2=一 图形，过点(0，一3)作平行于x轴的直线与抛物线2= 女-1围成封闭图形，则这两个封闭 图形的面积相等，故所求阴影部分的面积为4×2=8。 4、[2025苏州期中]如图，将二次函数y=x2-4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新 函数的图象（图中的实线）。当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 答案：-2<x<0或x>2 解析：如图，粗线表示y随x的增大而增大的图象，其对应的自变量的取值范围为一2<x<0 或x>2。 5、如图，抛物线y=ax2-3和y=-ax2+3都经过x轴上的A,B两点，两条抛物线的顶点分 别为C,D。当四边形ACBD的面积为24时，求a的值。 28/129 第26章二次函数 、3 答案：a=16 解析：抛物线y=ax2-3和y=-ax2+3的顶点分别为C,D,C(0,-3),D(0,3),CD=6。 “S四边形aCBD=S6ABD+SAA8c=2AB-0D+2AB-0C=乞AB-CD=24,AB=8,A(-4,0)。 1 1 将点A(-4,0)的坐标代入y=ax2-3,得16a-3=0,解得a=16 6、「2026广州期中]几何直观，如图，已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x 轴交于A,B两点，直线y=x十m过顶点C和点B。 B (1)求m的值。 答案：m=-3 解析：将C(0,-3)的坐标代入y=x+m,得m=-3。 (2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式。 答案：y2-3 解析：将y=0代入y=x-3,得x=3,B(3,0)。 将0-.30分别代入y=o2+a,得lb3。 解得a-子山-3，y方-3 1 (3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明 理由。 答案：存在，点M的坐标为(3V3,6)或(V3,-2) 29/129 第26章二次函数 A 图1 图2 解析：存在，分以下两种情况： ①如图1，若点M在BC上方，设MC交x轴于点D,则L0CD=45°-15°=30°，：.CD=20D。 在Rt△0CD中，由勾股定理，得0D2+0C2=CD2,即0D2+9=(20D)2,解得0D=V3, D(W3,0)。 设直线DC的解析式为y=kx-3,将D(V3,0)的坐标代入，得V3k-3=0,解得k=V3, 直线DC的解析式为y=V3x一3。 (y=V3x-3 联立抛物线的解析式与直线DC的解析式得 1 9合法，3 M(3V3,6)。 ②如图2，若点M在BC下方，设直线MC交x轴于点E,则L0CE=45°+15°=60°， ∠0EC=30°，CE=20C=6,.0E=√CE2-0C2=√62-32=3V3,÷E(3V3,0)。 设直线EC的解析式为y=nx-3,将E(3V3,0)的坐标代入，得3V3m-3=0,解得= 3 ∴直线EC的解析式为y= √ 3x-3。 联立抛物线的解析式与直线EC的解析式得 3x3 解9含去，货 1 y=x2-3 M(W3,-2) 综上所述，点M的坐标是(3√3,6)或(3，-2)。 30/129 第26章二次函数 26.3二次函数y=a(区-h)2的图象和性质 1、一题多解在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)的图象 大致为() 行.木， 答案：B 解析： 通解：当>0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象过第一、第三象限，排除D项； 当α<0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象过第二、第四象限，排除A项； 当a>0,c>0时，二次函数的图象的顶点在x轴负半轴上，一次函数的图象过第一、第二、 第三象限，排除C项。故选B。 另解：A项，由一次函数的图象，知a>0,c>0,由二次函数的图象，知a<0,c<0,故A 项不符合题意；B项，由一次函数的图象，知a<0,c>0,由二次函数的图象，知a<0,c>0, 故B项符合题意；C项，由一次函数的图象，知a>0,c<0,由二次函数的图象，知a>0, c>0,故C项不符合题意；D项，由一次函数的图象，知a<0,c>0,由二次函数的图象， 知a>0,c<0,故D项不符合题意。 2、一题多解，若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的 是() A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 答案：D 解析： 通解：由点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，可得n=am2。将选项中各点的坐标分别代入 y=a(x+1)验证，可知当x=m-1时，y=a(x+1)2=a(m-1+1)2=am2=n,即点 (m-1,n)在抛物线y=a(x+1)2上。 另解：易知将抛物线y=ax2向左平移1个单位长度得到抛物线y=a(x+1)2,点P(m,n)向 左平移1个单位长度后得到的点的坐标为(m-1,n),点(m-1,n)在抛物线y=a(x+1)2 上。 31/129 第26章二次函数 3、已知二次函数y=一2(x-h)2,当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的 最大值为-2，则常数h的值为() A.1或3 B.-1或1 C.3或5 D.-1或5 答案：D 解析： 由y=一2(x-2,得函数图象开口向下，对称轴为直线x=h。 若h<1,当1≤x≤3时，y随x的增大而减小。当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对 应的函数值y的最大值为-2，当x=1时，y=-2,即-7(1-h)2=-2,解得h=-1或h=3 （舍去)。 若1≤h≤3，y的最大值为0，不符合题意。 若h>3,当1≤x≤3时，y随x的增大而增大。，当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对 1 应的函数值y的最大值为-2，当x=3时，y=-2,即-2(3-h)2=-2,解得h=1（舍去) 或h=5。综上，h的值为-1或5。 4、[2026凉州期中]如图，已知二次函数y=(x+2)的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B, 在对称轴上存在一点P，使得以P,A,O,B四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点P的坐 标为 答案：(-2,4)或(-2，-4) 解析：对于y=(x+2)2,当x=0时，y=4;当y=0时，x=-2,A(-2,0),B(0,4)。 抛物线y=(x+2)的对称轴是直线x=-2,点P的横坐标为-2。 由平行四边形的性质可得PA=OB。设P(-2,m),分两种情况： ①当点P在点A的上方时，m=4;②当点P在点A的下方时，m=-4。 综上，点P的坐标为(-2,4)或(-2，-4)。 32/129 第26章二次函数 5、一题多解如图，抛物线y=α(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且0B=OA。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(-3,b)在该抛物线上，求△ABC的面积。 答案：(1)抛物线的解析式为y=-(x+1)2;(2)△ABC的面积为3。 解析：(1)由题意，得A(-1,0),0A=1,将(0，-1)代入y=a(x+1)2,得a=-1, 抛物线的解析式为y=-(x+1)2。 (2)通解：如图，过点C作CD1x轴于点D。 将(-3，b)代入y=-(x+1)2,得b=-4,C(-3,-4)。 由(1)知0A=0B=1,AD=2。 SAARG=S梯0RcD-SA4cD=S△40B三)×(4+1)×3-7×4×2-ラ×1×1=3。 另解1：如图，连接0C。 由(1)知0A=0B=1,把(-3，b)代入y=-(x+1)2,得b=-4,点C的坐标为(-3，-4) 1 1 SAnnG SAoAc SAOBG -SAo=1x41x3x 1x1=3. 33/129 第26章二次函数 另解2：如图，过点A作x轴的垂线， 交BC于点D。将(-3，b)代入y=-(x+1)2,得b=-4,.C(-3,-4)。 设直线BC的解析式为y=kx+m,将点B(0,-1),C(-3,-4)的坐标分别代入， 得m4解(-1y=×-1.令x=-1,则y=-2,a0=2, A0×。x+240×1ol-2x2x2+2x2x1=3. 1 1 SAABC=S△ADG+SAADB= 6、「2026广东实验月考1推理能力，如图，抛物线y=(x+1)的顶点为A,过点A左侧抛物线 上一点B作BC1x轴于点C,且BC=2AC。 (1)求AC的长； (2)若D是抛物线上的一点，且LABD=45°，求点D的坐标。 2 B 答案： (1)AC=2; 225、 (2)点D的坐标是（亏9）。 解析： (1)设AC=a,抛物线y=(x+1)的顶点A的坐标是(-1,0)，点C的坐标是(-1-a,0)。 当x=-1-a时，y=(-1-a+1)2=a2,BC=a2。 BC=2AC,“a2=2a,解得a=2或a=0(不符合题意，舍去)， ∴AC=2。 34/129 第26章二次函数 (2)如图， 过点A作AE L AB,延长BD,交AE于点E,过点E作EF1x轴于点F, LBAE=90°，.LBAC+∠EAF=90°。 BC1x轴，LBCA=90°，LBAC+∠ABC=90°，LABC=∠EAF。 :∠ABD=45°，∠BAE=90°，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE。 (LACB=∠EFA 在△ABC和△EAF中， ∠ABC=∠EAF,由(1)可知A(-1,0),B(-3,4),AF=BC=4。 AB-AE A(-1,0),A0=1,0F=AF-A0=3。 由(1)可知AC=2,EF=2,E(3,2)。 设直线BE的解析式是y=kx+b(k≠O), 把点B的坐标(-3,4)和点E的坐标(3,2)分别代入y=kx+b(k≠0)， 1 得3十2 解得 ,直线B的解析式是y=-3x+3。 b=3 2 1 联立抛物线与直线BE的解析式得 y x+3,解得 11,与点重合，舍去》 (y=(x+1)2 y1=9 225 点D的坐标是(9)。 解题思路：由∠ABD=45°可联想到作等腰直角三角形，由BC1x轴，联想到一线三垂直全等 模型，故可作AE L AB,延长BD,交AE于点E,易知AB=AE,作EF1X轴于点F,求出点B, E的坐标，进而求出直线BE的解析式，联立直线BE和抛物线的解析式求出点D的坐标。 35/129 第26章二次函数 26.4二次函数y=a(x-)2+k的图象和性质 1、[2026鄞州月考]已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x-1)2-2上，点A 在点B左侧，下列选项正确的是() A.若c<0,则a<c<b B.若c<0,则a<b<c C.若c>0,则a<c<b D.若c>0,则a<b<c 答案：D 解析：抛物线y=(x-1)2-2的对称轴为直线x=1,开口向上；当x>1时，y随x的 增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小。 点A(a,2)、B(b,2)纵坐标相同，关于对称轴x=1对称，且A在B左侧。 若c<0,则c<a<b,A、B错误；若c>0,则a<b<c,C错误，D正确。 2、[2026杨浦期末]如果将抛物线y=一(x+6)2+8向右平移10个单位长度，那么此抛物 线与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形？() A.持续向上 B.持续向下 C.先向上再向下 D.先向下再向上 答案：C 解析：原抛物线与y轴交点P(0,-28)。 设向右平移m个单位长度(0<m≤10)，解析式为y=-(x+6-m)2+8,与y轴交点 纵坐标为-(6-m)2+8。当m=6时，纵坐标取得最大值8，因此点P先向上再向下。 y=-(x+2)2+8 10 y=-x-4)2+8 y=-(x+6)2+8 5 0 10 36/129 第26章二次函数 3、-题多解，点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1<y2, 则m的取值范围为() 3 B.m>2 3 A.m>2 C.m<1 D.2<m<2 答案：B 解析：y1=m-1-1)2+n=(m-2)2+n,y2=(m-1)2+n。 3 由y1<y%得：0m-22+n<0m-12+n,(m-22-(0m-1)2<0,-2m+3<0,m>2 2-m0x=1m 4、「2026广州期末]长春南湖公园的石拱桥，桥中间的大拱截面OBA可视为抛物线的一部 分，水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m。 (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式。 (2)打捞船距0点1m处，环卫工人身高1.71m,船底与水面齐平，判断他直立时头顶是 否会触碰到大桥拱。 图1 图2 答案 1 (①)抛物线解析式为y=-4x-4)2+4(0≤x≤8) (②)环卫工人直立时头顶不会触碰到大桥拱。 解析：(1)由题意得顶点B(4,4),设解析式为y=a(x-4)2+4, 将0(0,0)代入：0=a(0-4+4,解得a三 故解析武为y=一x-4)2+(0≤x≤8)。 (2)把x=1代入解析式：y=-1-4+4=1,75,175>1.71,所以头顶不会触碰桥拱： 1 37/129 第26章二次函数 5、[2025厦门期中]在平面直角坐标系中，设二次函数y=-2(c-2m)2+3-m(m是实数)。 (1)当m=2时，若点A(8,n)在该函数的图象上，求n的值。 (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y=- x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？ 1 13 (3)已知点P(a+1,c)、Q(4m-5+a,0)都在该二次函数的图象上，求证：c≤8· 答案 (1)n=-7 (2)小明的说法正确 (③)证明成立，c≤ 8 1 解析：（①当m=2时，函数为y=-之c-42+1, 将A(8,四代入：n=-2×(8-4)2+1=-7 1 (2)函数顶点为(2m,3-m,将x=2m代入直线y=-2x+3: y=2×2m+3=3-m,与顶点纵坐标-致，故顶点在该直线上。 (3)点P、Q纵坐标相同，关于对称轴对称， 对称轴为-a+)+(4m-5+四=a+2m-2, 2 又抛物线对称轴为x=2m,故a+2m-2=2m,得a=2,即P(3,c), 5213 折式：c36-2m+3m=2m2+5m-32m +8 因为0m-年2之0，所以-20m-2≤0，故c≤8 5 5 13 38/129 第26章二次函数 26.5二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1、[2026长沙月考1已知一次函数y=ax-b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+b 在平面直角坐标系中的图象可能是() 答案：C 解析：由题中一次函数的图象可知，α>0，b<0。因为二次函数的解析式为y=ax2+bx+b, 所以抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，显然只有C选项符合题意。 2、[2026天津月考]如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+6上运动，过点A 作AC1x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 B 答案：C 解析：y=x2-2x+6=(x-1)2+5,抛物线的开口向上，顶点坐标为(1,5)。当x=1时， y取最小值，为5，∴AC的最小值为5。AC,BD是矩形ABCD的对角线，BD=AC,BD的最 小值为5。 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0)，对称轴为直线 x=2,给出下列结论：(1)abc<0;(2)4a+c>2b;(3)3a-2c>0; (④若点A(-2y,B(3n.C(7⅓在该函数图象上，则1<为5⅓ (5)4a+2b≥m(am+b)(m为常数)。其中正确的结论有(） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 39/129 第26章二次函数 答案：C 解析： b (1)“二次函数的图象开口向下，a<0。二次函数图象的对称轴为直线x=一2a2,b>0。 :图象与y轴交于正半轴，c>0,∴abc<0。结论正确 (2)由题图可知，当x=-2时，y<0,即4a-2b+c<0,.4a+c<2b。结论错误 b (③)由对称轴x=2得-2a=2,即b=-4a。图象过点(-1,0)，a-b+c=0,c=b-a -4a-a=-5a,3a-2c=3a-2×(-5a=13a>0。结论正确 (4)“二次函数的图象开口向下，图象上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。一 2-2引=41-员2引=多员2引-多1<%<%：结论错误 (5)当x=2时，二次函数取最大值，为4a+2b+c,4a+2b+c≥am2+bm+c,4a+ 2b≥m(am+b)(m为常数)。结论正确 综上，正确的结论有(1)(3)(5)，共3个。 4、[2025福建中考]新考法，已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(),y1), B(3a,y2)两点，则下列判断正确的是（) A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值，都有y1>a C.可以找到一个实数a,使得y2<0 D.无论实数a取什么值，都有y2<0 答案：C -2a 解析：二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象开口向上，且对称轴为直线x=- 2×1 =a, 顶点坐标为(a,a-a2)。 40/129 第26章二次函数 将x-代入解析式，得，-（宁分2弘受a-口，a子0助<a,放A项、B项错 a 误，不符合题意。 将x-3a代入解折式，得为-(aP-2a+a-3a+a-3a+名-立当，-一言时， 1 ⅓有最小值，为立当>0时，为>0，故C项符合题意，D项不符合题意。 2 5、[2026榆树月考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线)y=-2+bx+c与y轴交于点A(0,2), 与x轴交于B(一3,0)，C两点（点B在点C的左侧)，抛物线的顶点为D。 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标。 2 IB P 答案： ()抛物线解析式为y= 3? P 3x+2,顶点D坐标为(-1，)： 35、 (2)点E的坐标为(-22)。 解析： （①将点40,2，B(-3,0)的坐标分别代入y=号2+bx+c,得c=2\6-3b+c=0, 2 解得巾=3， C=2 抛物线的解析式为y=一 2 x24 3x+2。 32 2 2 ，8 8 y= 分t十2=x11少2+3，点D(-1,B 32、49 （2)对于y三2-x+2,令y=0,则22 3x+2=0,解得x1=1,2=-3,点c(1,0)。 2 设点P(m,0,其中-3≤m≤0，则点Om,m2-号m 3m+2)。 41/129 第26章二次函数 PE PC, 3m3、4 3 m+2=1-m,解得m1=1（舍去)，m2=- 35、 点(-2'2) 6、[2025安徽中考]已知抛物线y=一x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x 的顶点横坐标大1。 (1)求b的值。 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上。 ①若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； ②若x1=t-1,求h的最大值。 答案： (1)b=4; (2)①h=3;②h的最大值为1 。 解析： 2 (1)- 2x(-万=1，抛物线y=-2+2x的顶点横坐标为1。 抛物线y=一x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=一x2+2x的顶点横坐标大1， 抛物线y=一x2+bx(b为常数)的顶点横坐标为2， b 2X(1)=2,b=4。 (2)由(1)得y=-x2+bx=-x2+4x, ~点A(x1y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上， y1=-x+2x1,y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t), 整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t。 ①h=3t,3t=-t2-2x1t+2x1+4t,整理得t(t+2x1)=t+2x1, x1≥0，t>0,t=1,h=3。 ②将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t,整理得h=-3t2+8t-2=-3(t 3)2+ 10 30 :3<0,当：专即，对，h取得苑大值，为 42129 第26章二次函数 26.6二次函数与一元二次方程 1、一题多解，已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<x2), 关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为x3,x4x3<x4),则下列结论正确的是() A.X3<X1<X2<X4 B.X1<X3<X4<X2 C.x1<x2<X3<x4 D.X3<X4<X1<X2 答案：B y=x2+2x-3 -y=m -y=n 42衣 解析： 关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为抛物线y=x2+2x-3与直线y=m的交点 的横坐标，关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为抛物线y=x2+2x-3与直线y=n 的交点的横坐标。m>n>0,·由函数图象可知，x1<x3<x4<x2 1-y=x2+2x-3 -y=x2+2x-3-n -1y=x2+2x-3-m 抛物线y=x2+2x-3-m是由抛物线y=x2+2x-3向下平移m个单位长度得到的， 抛物线y=x2+2x-3-n是由抛物线y=x2+2x-3向下平移n个单位长度得到的，因 为m>n>0,所以抛物线y=x2+2x-3-m向下平移的更多，故x1<x3<x4<x2。 2、[2026遵义期末]点A(3,2)在抛物线y=a(x-2)2+c(a≠0)上，则关于x的一元二 次方程a(x-3)2+c+3=5的解是() 43/129 第26章二次函数 A.X1=0,X2=2 B.X1=x2=3 C.x1=2,x2=4 D.x1=1,x2=5 答案：C 解析：点A(3,2)在抛物线y=a(x-2)+c(a≠0)，上，且其对称轴为直线x=2,·点 (1,2)也在这个抛物线上。 将抛物线y=a(x一2)2+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所 得到的抛物线的解析式为y=a(x-2-1)2+c-2,即为y=a(x-3)2+c-2。 ·抛物线y=a(x-3)2+c-2经过点(1+1,2-2)、(3+1,2-2)，即(2,0)、(4,0)。 “关于x的一元二次方程α(x-3)2+c-2=0的两个解为x1=2,x2=4,即关于x的一 元二次方程Q(x-3)2+c+3=5的解是x1=2,x2=4。 另解： :点A(3,2)在抛物线y=a(x-2)2+c(a≠0)上， a(3-2)2+c=2,a十c=2,c=2-a, ·a(x-3)2+c+3=a(x-3)2+2-a+3=5,.a(x-3)2-a=0, a[(x-3)2-1]=0。a≠0，(x-3)2-1=0,解得x1=2,x2=4。 3、[2026交大月考]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值 如下表： 0 则关于x的方程ax2+bx+c=m的解为 答案：x1=-2,x2=4 解析：对于y=ax2+bx+c,当x=0时，y=c,·.抛物线过点(0，c)。 由题中表格数据可知抛物线过点(2，c),·抛物线的对称轴为直线x=1。 ∴点(-2，m)与(4，m)关于抛物线的对称轴对称，·关于x的方程ax2+bx+c=m的 解为x1=-2,x2=4。 4、易错题，已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的 值为 答案：1或- 4 44/129 第26章二次函数 解析：当m=0时，y=-1,与坐标轴只有一个交点，不符合题意。 当m≠0时，：函数y=mx2+3mx+m一1的图象与坐标轴恰有两个公共点： ①若一个交点是原点，一个交点在x轴上，则m-1=0,且(3m)2-4m(m-1)>0, 解得m=1; ②若与x、y轴各一个交点，则(3m)2-4m(m-1)=0,解得m=0(舍去)或m=- 4 综上所述，m的值为1或 4 5、[2025玄武期中]把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平 移3个单位长度，如果平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足 的条件是 -0 答案：m>3 解析：y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4, 则平移后的抛物线的解析式为y=(x+2-3)2+m-4+1=(x-1)2+m-2=x2-2x+ m-1。 :平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ·.平移后的抛物线与x轴没有交点， ·.△=(-2)2-4×1×(m-1)<0,即4-4(m-1)<0,解得m>3。 6、[2025临淄期中]已知二次函数y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数 在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，当直 线y=-x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 答案： 29 <b<-1 4 45/129 第26章二次函数 解析： 当y=0时，-x2+4x+5=0,解得x1=-1,x2=5,则点A(-1,0),B(5,0)。 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方部分的图象的解析式为y=(x+ 1)(x-5)(-1≤x≤5)，即y=x2-4x-5(-1≤x≤5)。 当直线y=-x+b经过点A(-1,0)时，1+b=0,解得b=-1; 当直线y=-x+b与抛物线y=x2-4x-5(-1≤x≤5)有唯一一个公共点时，方程 x2一4x一5=一x+b有两个相等的实数根， 整理得x2-3x-5-b=0,“△=(-3)2-4×1×(-5-b)=0,解得b=- 29 49 29 六当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为-军<b<-1。 7、[2026深圳期未]小明为了探究函数M:y=-x2+4x|一3的性质，他想先画出它的图象， 然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题。 (1)完成函数图象的作图，并完成填空。 ①列出y与x的几组对应值如下表： -5 -4 -3 -2 -1 0 2 4 5 -8 -3 0 1 0 -3 0 0 a -8 表格中，a= ②结合上表，在如图所示的平面直角坐标系x0y中，画出当x>0时函数M的图象； ③观察图象，当x=时，y取最大值，为 (2)若关于x的方程-x2+4|x-3=a有4个实数根，则a的取值范围是 (3)已知P(m,y1)、Q(m+1,y2)两点在函数M的图象上，当y1<y2时，请直接写出m的 取值范围。 46/129 第26章二次函数 y 65-4-2-01.23456 -6 "r 6-5-43-2-10 563 4 5 7 答案：(1)①-3； ③2或-2；1 (2)-3<a<1 (3)m<-2.5或-0.5<m<1.5 解析： (1)①根据题中表格数据可知y与x的几组对应值关于直线x=0对称，x=4与x=一 4对应的函数值相等，故α=一3； ③观察图象可得，当x=2或x=-2时，y取最大值，为1。 (2):关于x的方程-x2+4x-3=a有4个实数根，.函数y=-x2+4x-3的图 象与y=a的图象有4个交点，根据图象可得-3<a<1。 (3)根据函数图象，可得m的取值范围为m<-2.5或-0.5<m<1.5。 47/129 第26章二次函数 26.7二次函数与面积最值问题 1、[2026南开期末]如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm。动点P从点A 出发，以2mm/s的速度沿边AB向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边BC 向终点C运动。设出发的时间为ts。给出下列结论： ①当t=2时，AP=CQ; ②当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2; ③t有两个不同的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的吃 1 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 B 0 答案：B 解析：由题意得：AP=2tmm,BQ=4tmm,∴BP=(12-2t)mm,CQ=(24-4t)mm。 ①当t=2时，AP=2×2=4mm,CQ=24-4×2=16mm,AP≠CQ,结论①错误。 1 1 ②SaB0=2BP.BQ=2·(12-2):4t=-4+24t=-4(t-32+36。 :-4<0,t=3在1≤t≤5范围内，∴当t=3时，S△B0取最大值36mm,结论②正确。 1 1 ③SaBc=ZAB.BC=2×12×24=144mm2,S西边形AP0c=SAARC-SAW· 1 设S=S△80，则S=2(144-S),解得S=48。-4t2+24t=48,即t2-6t+12=0。 △=(-6)2-4×1×12=36-48=-12<0，方程无实数解，结论③错误。 综上所述，正确结论个数为1。 2、跨学科·物理，某校物理兴趣小组对一款用电器的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从 一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化关系的图象，如图所示，该图象 是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率P的最大值为W。 48/129 第26章二次函数 AP/W R R 165 220V 3 4 I/A 答案：220 解析：由抛物线过原点，设解析式为P=αI2+bl。 由图象得地物线过点(40，（G165,一(4他16的解得8二28。 P=-5512+220I=-55(1-2)2+220。-55<0,当1=2A时，P取得最大值220W。 3、[2025龙湾期中]如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F,G,H分别在边AB,BC, CD,DA上，且DG=BE,AH=CF=2BE,设四边形EFGH的面积为y,BE为X。 (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)求y的最小值。 G B 23 答案：（①）y=4x2-10x+12(0≤x≤2)，(2)y的最小值为 解析：(1)四边形ABCD是矩形，AB=CD=3,AD=BC=4,∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 BE=x,.DG=BE=x,AH CF=2x,.AE=CG=3-x,DH=BF=4-2xo S四边EFGH=S矩形ABGD-S△AHE-SABEF-SACFG-S△DHG 1 1 1 1 =3×4-2×2x(3-)-2x(4-2x)-2×2x(3-)-2x4-2) =12-3x+x2-2x+x2-3x+x2-2x+x2 =4x2-10x+12 0x得0≤x≤2，y=4-10x+120≤x≤2. 0②y42-10x+12-4x-2+2经 .23 49/129 第26章二次函数 5 :4>0,抛物线开口向上，对称轴为直线x= 4,且在0≤x≤2范围内， 当x=时，取得最小值 3 49 4、「2025佛山期中]某校九年级学生在数学活动课上进行项目式学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题。 图1 图2 素材1：利用一个边长为40cm的正方形硬纸板可以设计成如图1所示的无盖纸盒。 素材2：如图2，在正方形硬纸板的四角处，各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折 成一个无盖纸盒。 设折成的无盖纸盒的侧面积为Scm,剪掉的小正方形的边长为acm。 (1)求S与a之间的函数解析式。 (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形 的边长；如果没有，请说明理由。 答案：(1)S=-8a2+160a(0<a<20) (2)有最大值，最大侧面积为800cm,此时剪掉的小正方形边长为10cm 解析：(1)无盖纸盒四个侧面为全等长方形，长为(40-2a)cm,宽为acm, S=4a(40-2a=-8a2+160a(0<a<20)。 (2)S=-8a2+160a=-8(a-10)2+800, :-8<0,当a=10时，S取最大值800， 即无盖纸盒侧面积有最大值800cm2,此时剪掉小正方形边长为10cm。 50/129 第26章二次函数 26.8二次函数与最大利润问题 1、「2026慈溪期中]某酒店有150间标准房，当标准房价格为每间120元时，每天都满客。 市场调查表明标准房价格在每间120~170元范围内（含120元，170元)浮动时，每提 高10元，日均入住数量减少8间。如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到每间 元时，客房的日营业收入最大。 答案：150 解析：设标准房价格每间提高x个10元(0≤x≤5)，日营业收入为y元， 则标准房价格为每间(120+10x)元，日均入住数量为(150-8x)间。 根据题意，得：y=(120+10x)(150-8x)=-80x2+540x+18000 该函数图象的对称轴为直线：X一 540 =3.375 2×(-80) 函数图象开口向下，该函数有最大值，且距离对称轴越远，函数值越小。 0≤x≤5，且x为整数，x=3是离对称轴最近的点的横坐标， “当x=3时，y最大，此时标准房价格为每间120+10×3=150（元）。 2、新考法综合与实践 问题情境，小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价， 小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况， 记录如下： 售价/（元/盆) 日销售量/盆 售价（元/盆） 日销售量/盆 20 50 20 50 30 30 B 30 30 C 18 54 A 18 54 D 22 46 E 26 3 B 22 46 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理， 填写在下表中。 售价/（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量/盆 54 50 46 38 30 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系。 51/129 第26章二次函数 拓展应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉的过程中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 答案 (1) 售价/（元/盆） 18 20 22 22 26 30 日销售量/盆 54 50 46 46 38 30 (2)由(1)中表格可知，每盆售价每涨2元，日销售量减少4盆。 (3)①当每盆花卉的定价为25元或35元时，每天可获得400元的利润。 ②当售价定为每盆30元时，每天能够获得最大利润。 解析 (3)①设每盆花卉应定价为x元，每天可获得的利润为w元， w=x-15)(54-2x4） x-18 =-2x2+120x-1350 当w=400时，可得：-2x2+120x-1750=0,解得x1=25,x2=35。 ②w=-2x2+120x-1350=-2(x-30)2+450,且-2<0， ∴当x=30时，w取得最大值，为450。 3、「2025新疆中考1某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之 间时，销售额y1（万元)与销售量x(吨)的函数解析式为y1=5x;成本y2（万元)与销售量 17 x(吨)的函数图象是抛物线的一部分，其中(2,4)是其顶点。 (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式。 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 52/129 第26章二次函数 万元 11 10 9 1 5 4- 7(2,4) 3 26 4 2 3x/吨 ,7 答案：(y2=(-2)2+4 (2)成本最低时，所获利润为0.75万元。 (3)当销售量为3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元。 解析：（①~（吃子）为拢物线的顶点，可设抛物线的解析式为y,-c-》+子 17 .7 1 1 7 将(24代入2=ax-2+4得：4=a×(2-之P+军 解得a=1, y,关于x的函数解析式为y2=(x-)2+年 7 (2)ra>0,…当x= 2时，yz取最小值，最小值为 5 573 y1 5x,当x=2时，h=2此时1-=24-=0.75。 (3)设当销售量为x吨时，利润为w万元。 w=5x-(人-子-Pt6-2=-g-y+7 0.4≤x≤3.5，且-1<0，当x=3时，w取最大值，最大值是7。 53/129 第26章二次函数 26.9生活中的抛物线形问题 1、[2026杭州期中]某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈 喷水头，使喷出的水柱距池中心6m处达到最高，高度为9m(示意图如下)，以水平方向 为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。若要在喷水池中心设计一个装饰物A,使 各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计的高度应为 mo B 答案：5 解析：由题意，右边喷出的水柱抛物线顶点坐标为(6,9)，且过点C(15,0)。 1 设抛物线解析式为y=a(x-6)2+9,将C(15,0)代入得：0=a(15-6)2+9,解得a= 则抛物线解析式为y=一司 6(x62+9。当x=0时，y二×36+9 2、[2025江西中考]如图，一小球从斜坡0点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函 数y-a2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y-年x刻画，小球飞行的水平距离x(米) 与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表。 x划米 0 2 m 4 5 6 y/米 0 6 15 8 15 7 2 2 2 (1)①m= n=-; ②小球的落点是A,求点A的坐标。 (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系y=一5t2+vt。 ①小球飞行的最大高度为米； ②求v的值。 y/米 小球斜坡 x米 54/129 第26章二次函数 答案与解析：(1)①3,6 7 解析：由表中数据，x=1和x=7时y=之 可知抛物线对称轴为直线x=4, 故x=2与x=6时y值相等，即n=6;x=3与x=5时y值相等，即m=3。 1515 ②点A的坐标为(2,8 x=1 1 解析：通解：将 y= =6代入y=ar2+bx,得 7、任=2 a+b=2,解得 a二 2 4a+2b=6 b=4 y=- 二次函数解析式为y= 22+4x。联立 22+4 1 y=4x 得-一子+红，解荷=0（含去，名 15 2 15 15 ,1515 将x=2代入y=x,得y=8,故点A坐标为（气·8）。 另解：设y=ax-4+8,将(2,6)代入得a(2-42+8=6,解得a=- 2 即y=-2x-4P+8=- 1515 22+4x,后续联立求解与通解一致，得点A(元·8)。 (2)①8，②v=4v10 102 2 解析：通解：y-5r+t=-5(t-10)2+205<0,y有最大值20 由最大高度为8，得8，解得三4W10,2三一4W0 飞行时间>0，对称轴t= 10>0,v>0,故v=4V10。 另解：抛物线顶点纵坐标为8，由顶点纵坐标公式4如c。 =8, 4a 得4×(-5)×0-2 =8,解得v1=4√10，v2=-4V10, 4×(-5) 当v=-4V10时，y=-5t2-410t,t>0时y≤0，不符合题意，舍去，故v=4v10。 55/129 第26章二次函数 3、模型观念，如图1，灌溉车在为绿化带浇水。喷水口H离地面的竖直高度为h(单位：m)。 如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图 象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长。下边缘抛 物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2， 高出喷水口0.5m,灌溉车到绿化带的距离0D为d(单位：m)。 (1)若h=1.5m,EF=0.5m ①求上边缘抛物线的解析式，并求喷出水的最大射程0C; ②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围。 (2)若EF=1m,要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值。 y/m↑ h+0.5- G B d D C x/m 图1 图2 答案与解析 (1)①上边缘抛物线解析式：y=- 8(x-2)2+2;最大射程0c=6m 解析：由题意得顶点A(2,2),设上边缘抛物线解析式为y=α(x-2)+2, 1 将(0,1.5)代入得1.5=4a+2,解得a= 8 故解析式为y= 8-20+2.y=0,则0=x-2y+2, 解得x1=6,x2=-2（舍去)，即0C=6m。 ②点B的坐标为(2,0) 解析：上边缘抛物线对称轴为直线x=2,点(0,1.5)关于直线x=2的对称点为(4,1.5)， 下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，与x轴正半轴交点B(2,0)。 ③2≤d≤25-1 解析：EF=0.5m,点F纵坐标为0.5，将y=0.5代入y= 8-22+2, 2 得0.5=- x-22+2,解得x=2+2W3或x=2-2(舍去)， 当0<x<6时，y>0.5的范围是0<x≤2+23 56/129 第26章二次函数 DE=3,dmax=2+2V3-3=2V3-1; 下边缘抛物线浇灌条件为0B<d,即dmn=2,综上，2<d<2W3-1。 (2)h的最小值为2 5 1 解析：上边缘抛物线解析式：y= x-2)2+h+0.5, 1 下边缘抛物线解析式：y=8x+2)》2+h+05, 1 设D(m,- m+2)2+h+0.5),F0m+3,-8m+12+h+0.5), 1 由EF=1得：-gm+1)2+h+0.5-[-8m+2+h+0.5]=1 65 解得m=2.5,点D纵坐标为h-2》令其为0，得m=32 57/129