精品解析：山西太原市2025-2026学年高二下学期7月期末学业诊断数学试卷

2025~2026学年第二学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00—10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在统计中，属于连续型随机变量分布的是（ ） A. 两点分布 B. 二项分布 C. 超几何分布 D. 正态分布 2. 已知离散型随机变量，则（ ） A. 7 B. 3 C. 2.1 D. 0.7 3. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知随机变量满足，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 7. 对某试验的一个数学量做次测量，并以测量结果的平均值作为该试验此数学量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于，则该试验至少需要测量的次数为（ ） （附：若，则） A. 8 B. C. D. 8. 已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 B. 独立性检验是对两个分类变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，它与反证法有所不同 C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 在回归分析中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 10. 将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（ ） A. 若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24 B. 若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144 C. 若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120 D. 若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36 11. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和．例如正整数．设方程的解集为，其中均为自然数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 中存在全不相等的元素 C. 中存在满足的元素 D. 中元素的个数为54 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_________． 13. 已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则_________． 14. 已知袋子装有标号分别为，，，，，的6个小球（仅标号不同），从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球．记为3次取球试验中，这6个小球至少被取出1次的球的个数，则的数学期望_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五．端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节．为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表： 年龄 不了解 了解 合计 30岁以下 25 15 40 50岁以上 20 40 60 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？ （2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道．规定每次甲、乙都从备选试题中各随机抽出3道试题进行回答，答对一题得5分，答错一题得0分． ①求甲答对试题数的分布列； ②乙答题得分的数学期望． 附：； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． （1）求小明在前3次射击得到1分的概率； （2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； （3）求小明第n次在场景下射击的概率． 19. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00—10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在统计中，属于连续型随机变量分布的是（ ） A. 两点分布 B. 二项分布 C. 超几何分布 D. 正态分布 【答案】D 【解析】 【详解】根据连续型随机变量的定义知，正态分布是连续型随机变量分布. 2. 已知离散型随机变量，则（ ） A. 7 B. 3 C. 2.1 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，所以 ，. 由二项分布的数学期望公式 ，得 . 3. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可； 【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，， 又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高， 图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以； 故选：A 4. 已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 又因为随机变量平移不改变方差，所以. 5. 已知随机变量满足，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用数学期望得出，再应用方差公式计算求解. 【详解】随机变量满足，，， 若，则， 则. 6. 甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由题意应用分步乘法计数原理计算求解. 【详解】先安排甲乙去其中任意一组，有2种，由于丙丁不能同组，从丙丁2人中选1人与甲乙同组， 另一人去另一组，有2种，剩余4人选1人加入甲乙一组，另外3人去另一组，有4种， 故不同的分配方案有种． 7. 对某试验的一个数学量做次测量，并以测量结果的平均值作为该试验此数学量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于，则该试验至少需要测量的次数为（ ） （附：若，则） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则， 由题意知，即， 解得． 8. 已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合古典概型概率公式讨论出摸到不同球的概率，最后求解总概率即可. 【详解】从甲袋中随机摸出两个球，共有种情况， 从甲袋中摸出两个红球的情况数为种，则摸出两个红球的概率为， 而从甲袋中摸出一黑一红的情况数为种，可得摸出一黑一红的概率为， 而从甲袋中摸出两个黑球的情况数为种，可得摸出两个黑球的概率为， 由题意得从乙袋中随机摸出一个球，共有4种情况， 从乙中摸出一个红球的概率为，摸出一个黑球的概率为，摸出一个白球的概率为， 后面依据中奖规则讨论中奖的情况数， 当从甲袋中摸出两个红球，从乙袋中摸出一个黑球，此时概率为， 当从甲袋中摸出一黑一红，从乙袋中摸出一个红球，此时概率为， 当从甲袋中摸出两个黑球，从乙袋中摸出一个白球，此时概率为， 当从甲袋摸出一个红球和一个黑球，从乙袋中摸出一个白球，此时概率为， 综上可得中奖的概率为，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 B. 独立性检验是对两个分类变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，它与反证法有所不同 C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 在回归分析中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 【答案】BC 【解析】 【详解】独立性检验是基于小概率原理进行的推断，结果可能犯错误，故A错误； 独立性检验用于推断两个分类变量是否关联，依据小概率原理，与反证法相似， 但反证法结论是确定的，即与反证法有所不同，故B表述正确； 残差平方和反映的是实际值与估计值间的差异，值越小，说明拟合效果越好， 故C正确； 决定系数越接近1，模型的拟合效果越好；决定系数越小，拟合效果越差， 故D错误． 10. 将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（ ） A. 若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24 B. 若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144 C. 若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120 D. 若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用捆绑法、插空法，以及元素定序法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，把3本数学书看成一个整体，则有种排法，所以A错误； 对于B，先排3本不同的物理书，再在4个空隙中插入3本不同的数学书， 则有种不同的排法，所以B正确； 对于C，先对6本书进行全排列，有种不同的排法， 因为3本数学书按年级从小到大顺序排列，则有种排法，所以C正确； 对于D，将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书， 可先分数学书，再分物理书，则有种不同的排法，所以D正确. 11. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和．例如正整数．设方程的解集为，其中均为自然数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 中存在全不相等的元素 C. 中存在满足的元素 D. 中元素的个数为54 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接计算可知满足条件；对于C，直接给出一组构造验证即可；对于BD，考虑中最大的数，分类列出所有的可能即可判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于C，由于，且，故C正确； 对于BD，均为不超过7的自然数，下面分情况讨论， 最大数为7的情况：， 此时共有个有序数组； 最大数为6的情况：， 此时共有个有序数组； 最大数为5的情况：， 此时共有个有序数组； 最大数为4的情况：由于，故至少有3个4， 而不是完全平方数，因此不满足题意； 若最大数小于等于3，由于，故均不满足题意， 由上可知，不存在全不相等的可能，且满足条件的有序数组的总数是，故B错误，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_________． 【答案】2或5 【解析】 【详解】由组合数的对称性可知， 或． 13. 已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用已知条件求出样本中心点坐标，再代入回归方程即可. 【详解】，， 所以，得. 14. 已知袋子装有标号分别为，，，，，的6个小球（仅标号不同），从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球．记为3次取球试验中，这6个小球至少被取出1次的球的个数，则的数学期望_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到每个球被取到的概率均为，且，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解. 【详解】由题意知，有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球，可得每个球被取到的概率均为， 又由为3次取球试验中，至少被取出1次的球的个数，可得， 可得，， , 所以数学期望. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）60；（2）91种；（3）120种. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案； （2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案； （3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案． 试题解析： (1)； (2)方法1：(间接法) 在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为： (种)； 方法2：(直接法) 甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有： (种). (3)方法1：(间接法) 在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为： (种)； 方法2：(直接法) 分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为： (种). 点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）364 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用二项式定理求出项的系数即可得到的值； （2）分别令，，两式相加即可得到的值； （3）分别令，，两式相减即可得到的值． 【小问1详解】 由题意得， 的展开式的通项是，， 当时，； 当时，； 故． 【小问2详解】 令，则， 即，① 令，则， 即，② ①+②可得． 【小问3详解】 令，则，③ 令，则，④ ③-④可得． 17. 2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五．端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节．为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表： 年龄 不了解 了解 合计 30岁以下 25 15 40 50岁以上 20 40 60 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？ （2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道．规定每次甲、乙都从备选试题中各随机抽出3道试题进行回答，答对一题得5分，答错一题得0分． ①求甲答对试题数的分布列； ②乙答题得分的数学期望． 附：； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为对“端午节”民俗了解程度存在年龄差异. （2）①的分布列为 0 1 2 3 ②12 【解析】 【分析】（1）先作零假设，再计算，根据所给参考数据得解； （2）①分别计算随机变量对应的概率，得出分布列；②求出分布列根据期望公式求解. 【小问1详解】 零假设为：受调居民中对“端午节”民俗的了解程度不存在年龄差异， ， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过0.01． 【小问2详解】 ①由题意得的可能取值为，，，，， ，，， 用表格表示的分布列为 0 1 2 3 ②由题意得的可能取值为，，， ，，， 用表格表示的分布列为 5 10 15 ． 18. 男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． （1）求小明在前3次射击得到1分的概率； （2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； （3）求小明第n次在场景下射击的概率． 【答案】（1） （2） （3）（）． 【解析】 【分析】（1）利用分类计算概率即可求解. （2）利用条件概率可解. （3）利用全概率公式算出与的关系，再利用数列的递推关系求通项公式即可解出. 【小问1详解】 设事件“小明在前3次射击中得到1分”， 由题意得． 【小问2详解】 设事件“小明在前3次射击中得到2分”，“这2分均在场景B下获得”， 由题意得， ， ． 【小问3详解】 设“小明第次在场景A下射击”，， 由题意得，且，，， 由全概率公式得， 即， ∵，且， ∴数列是以为首项、为公比的等比数列. ∴， ∴（）． 19. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 【答案】（1） （2） （3）（2）中经验回归方程的拟合效果好． 【解析】 【分析】（1）求出，根据公式计算出得线性回归方程； （2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程； （3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得． 【小问1详解】 由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为， 关于的非线性经验回归方程为． 【小问3详解】 由题意得（1）中的线性经验回归方程为，其残差平方和为 ， （2）中的非线性经验回归方程为，其残差平方和为 因为，所以（2）中经验回归方程的拟合效果好． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $