13.3.1 三角形的内角同步提升练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本试卷聚焦三角形内角及直角三角形性质与判定，通过“刷基础-刷提升-刷素养”分层设计，融入“灵动三角形”新定义、折叠分类讨论等情境，考查推理意识与空间观念，适配开学初巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|三角形内角和定理、直角三角形判定|“灵动三角形”新定义题，培养模型意识| |填空|8题|角平分线性质、平行线与内角综合|折叠问题分类讨论，发展空间观念| |解答|6题|内角和定理应用、直角三角形性质|三角尺位置探究题，提升推理能力|

13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形的内角 刷基础 知识点1 三角形内角和定理 1如图,在证明△ABC 内角和等于 180°时,延长 BC 至 D,过点 C 作 CE∥AB,得到∠ABC = ∠ECD, ∠BAC =∠ACE,由于∠BCD = 180°,可得到 ∠ABC +∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是( ) A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化 2在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:6,则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 3如图,在△ABC 中,∠A=40°,∠B=68°,E是△ABC 的角平分线 CF延长线上一动点(不与 F 点重合)，过E 点作ED⊥AB于D 点,当 E 点运动时,∠E 的度数( ) A.随E 点运动而变化，离F 点越近，度数越大 B.不变,为16° C.随E 点运动而变化，离F 点越远，度数越大 D.不变,为14° 4.如图,在△ABC 中,∠C=60°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2= . 5【模型理解】(1)如图(1),AB 和 CD 交于点 O,求证:∠A+∠C=∠B+∠D; 【模型应用】(2)如图(2),AE,CE 分别平分∠BAD,∠BCD,求证:∠B+∠D=2∠E. 知识点2 三角形内角和定理与平行线的综合 6如图所示，以下描述错误的是 ( ) A.点A 位于点 B 北偏西20°方向 B.点A 位于点 C 北偏东40°方向 C.点 C 位于点 B 北偏西63°方向 D.∠ABC=53° 7如图，∠P 的两边被一张长方形纸片遮挡部分,若∠1=120°,∠2=68°,则∠P= . 刷提升 1一个零件的形状如图所示，按照规定，AB 所在直线和CD所在直线的夹角为40°的零件为合格零件.要检验该零件是否合格，有以下三种方案： 甲：延长BA 和 CD，设交点为O，然后测量∠O是否等于40°就可以检验该零件是否合格； 乙：只需测量出∠B 和∠C的度数； 丙：测量出∠BAD 和∠ADC 的度数也可以检验该零件是否合格. 则正确的方案有 ( ) A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙 2三角形中，如果一个角是另一个角的3 倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”.例如，三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“灵动三角形”.如图,∠MON=60°,在射线OM 上找一点A,过点A作AB⊥OM 交ON于点 B,以A 为端点作射线AD,交线段OB 于点 C(0°<∠OAC<90°). ①∠ABO 的度数为30°; ②△AOB 是“灵动三角形”; ③若∠BAC=70°,则△AOC是“灵动三角形”; ④当△ABC 为“灵动三角形”时,∠OAC 的度数为30°或52.5°. 正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3如图，在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=100°,M 是射线AB上的一个动点,过点 M 作 MN∥BC 交射线AC于点 N,连接 BN,若△BMN中有两个角相等,则∠MNB 的度数为 . 刷素养 4将三角尺(△MPN,∠MPN=90°)放置在△ABC 上(点P 在△ABC内),如图(1)所示,三角尺的两边 PM,PN恰好经过点 B 和点 C.探究∠ABP与∠ACP 是否存在某种数量关系. (1)特例探索:若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB= °,∠ABP+∠ACP= °; (2)类比探索:写出∠ABP,∠ACP,∠A 之间满足的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图(2)，改变三角尺的位置，使点 P 在△ABC外,三角尺的两边 PM,PN恰好经过点 C 和点B,写出∠ABP,∠ACP,∠A 之间满足的数量关系，并说明理由. 课时2直角三角形的性质与判定 刷基础 知识点1 直角三角形的性质 1如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是( ) A.45° B.35° C.55° D.25° 2在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=2∠B,则∠A= ( ) A.60° B.30° C.45° D.90° 3如图，在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,DE⊥AC,DF⊥AB,AD⊥BC,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC,∠C=90°,并画出了两锐角的平分线AD，BE 及其交点 F.小明发现，无论怎样变动Rt△ABC 的形状和大小,∠AFB 的度数是定值.这个定值为 . 5如图,△ABC 是直角三角形,∠C=90°,∠A=30°,过AB边上一点 D 剪下△ADE,点 E 在AC 上,当△ADE 是直角三角形时,∠AED 的度数是 . 6如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC. (1)若∠C=40°,求∠ADB 的度数. (2)在图中画出△ABC 的边 BC 上的高AE,与BD 交于点 F.试说明:①∠BAE=∠C;②∠AFD=∠ADF. 知识点2 直角三角形的判定 7如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,直线DE与AC,BC分别交于D,E 两点.若∠DEC=∠A,则△EDC是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 8如图,CE⊥AD,垂足为 E,∠A=∠C.求证:△ABD 是直角三角形. 刷易错 易错点 忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解 9在直角三角形 ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:m:3,则m的值是 . 刷提升 1如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP₁，OP₂与线绳(线绳垂直于地面)的夹角分别是35°和80°，则吊杆前后两次的夹角∠P₁OP₂的度数为( ) A.55° B.45° C.40° D.35° 2如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中,以AB 为边画 Rt△ABC,使点 C 在格点上，满足这样条件的点 C 共有 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 3已知非直角三角形 ABC 中，∠A=45°,高 BD 与高 CE 所在直线交于点 H,则 ∠BHC 的 度 数 是 4在△ABC 中,AB=AC,将△ABC折叠,使A,B两点重合,折痕所在直线与 AC 边所在直线的夹角为 40°，则∠A 的度数为 . 5如图,AB∥CD,AC平分∠BAD,BD平分∠ADC,AC 和 BD 交于点 E.写出图中所有的直角三角形. 刷素养 6 如图,AB∥CD,点E是AB上一点,连接CE. (1)如图(1),若CE 平分∠ACD,过点 E 作EM⊥CE交CD 于点 M,试说明∠A=2∠CME; (2)如图(2),若 AF 平分∠CAB,CF 平分∠DCE,且∠F=70°,求∠ACE 的度数; (3)如图(3),过点 E 作 EM⊥CE 交∠DCE 的平分线于点 M,MN⊥CM 交 AB 于点 N,CH⊥AB,垂足为 H. 若 请直接写出∠MNB 与∠A 之间的数量关系. 13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形的内角 刷基础 1. D 【解析】∵ CE∥AB,∴ ∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE.∵∠BCD=180°,即∠ECD+∠ACB +∠ACE = 180°,∴ ∠ABC+ ∠ACB +∠BAC=180°，这个证明方法体现了转化的数学思想，故选 D. 2. C 【解析】∵ ∠A:∠B:∠C=1:2:6,∴ 设∠A=x,∠B=2x,∠C=6x.∵∠A+∠B+∠C=180°,即x+2x+6x=180°,解得x=20°,∴最大角为∠C=120°，∴此三角形是钝角三角形，故选 C. 3. D 【解析】∵ ∠A=40°,∠B=68°,∠A+∠B+∠BCA= 180°,∴ ∠BCA = 180°-40°-68°=72°.∵ CF 平分∠BCA,. 36°,∴∠BFC=∠EFD=180°-36°-68°=76°.∵ED⊥AB,∴∠FDE=90°, ∴ ∠FED=180°-90°-76°=14°,∴ 当E 点运动时,∠E 的度数不变,为14°.故选 D. 4.240°【解析】如图.∵ ∠1+∠DEC=180°,∠2+∠EDC=180°,∴ ∠1+∠2+∠DEC+∠EDC=360°. ∵ ∠C= 60°,∴ ∠DEC+∠EDC=180°-60°= 120°,∴ ∠1+∠2=360°-(∠DEC+∠EDC)= 240°,故答案为240°. 5.【证明】(1)在△AOC 中,∠A+∠C+∠AOC=180°,在△BOD 中,∠B+∠D+∠BOD=180°.∵ ∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D. (2)同(1)中模型可得,在△ABF 和△CEF中,有∠B+∠BAF=∠E+∠ECF,在△CDG 和△AEG 中,有∠D +∠DCE = ∠E +∠EAD,∴ ∠B+∠D+∠DCE+∠BAF=2∠E+∠ECF+∠EAD.∵ AE,CE 分别平分∠BAD,∠BCD,∴∠DCE=∠ECF,∠BAF =∠EAD,∴ ∠B+∠D=2∠E. 6. C 【解析】如图.由题意得AD∥BE,∴∠ABE=∠BAD = 20°,∴ ∠CAB = 40°+20°= 60°.∵∠ACB = 67°,∴ ∠ABC = 180°-∠ACB -∠BAC=53°,∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=73°.A 选项,点 A 位于点 B 北偏西20°方向,故 A不符合题意；B选项，点A 位于点 C 北偏东40°方向，故B 不符合题意；C选项，点 C 位于点 B 北偏西73°方向，故C 符合题意；D选项，∠ABC=53°,故D 不符合题意.故选 C. 7.52°【解析】如图,由题意可得∠1=∠3=120°,∴ ∠4=180°-120°=60°. ∵ ∠2=68°,∴ ∠P=180°-∠2-∠4=180°-68°-60°=52°.故答案为52°. 刷提升 1. A 【解析】甲:延长BA和CD,设交点为O,则测量∠O 是否等于40°可以检验该零件是否合格，符合题意；乙：只需测量出∠B和∠C的度数，由三角形内角和定理即可检验该零件是否合格，符合题意；丙：测量出∠BAD 和∠ADC 的度数，利用邻补角的定义和三角形内角和定理即可检验该零件是否合格，符合题意.故选 A. 2. C 【解析】∵AB⊥OM,∴∠BAO=90°.∵∠AOB=60°,∴∠ABO=90°-60°=30°.∵90°=3×30°,∴ △AOB 是“灵动三角形”,故①②正确.∵∠OAB=90°,∠BAC=70°,∴∠OAC=20°.∵∠AOC=60°=3×20°,∴△AOC 是“灵动三角形”,故③正确.∵ △ABC 是“灵动三角形”,分三种情况讨论:当∠ACB=3∠ABC 时,∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠OAC=30°;当∠ABC=3∠CAB 时,∠CAB = 10°,∴ ∠OAC = 80°;当∠ACB=3∠CAB 时,∵∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°,即 4 ∠CAB +30°= 180°,∴∠CAB =37.5°,∴∠OAC=52.5°.综上所述,满足条件的∠OAC 的度数为30°或52.5°或 80°,故④错误.综上所述，正确的有①②③，共3 个.故选 C. 3.25°或50°或65°或80°【解析】(1)当点 M在线段 AB 上时,如图(1). ∵ MN∥BC,∴ ∠ABC= ∠AMN = 50°,∴ ∠BMN = 180°-50°=130°.∵△BMN 中有两个角相等,∴ 只有∠MBN=∠BNM 这一种情况,∴∠MNB= (2)当点 M 在AB 的延长线上时,如图(2).①当∠BMN=∠BNM 时,由MN∥BC,得∠BMN=∠ABC=50°,∴ ∠BNM=50°.②当∠BMN=∠MBN时,∠BMN=∠ABC=50°,∴∠MBN=50°,∴ ∠MNB = 180°-50°-50°= 80°. ③当∠MBN=∠MNB 时,∠BMN = ∠ABC = 50°, 综上所述,∠MNB 的度数为25°或50°或65°或80°,故答案为25°或50°或65°或80°. 刷素养 4.【解】(1)∵ ∠A =50°,∴ ∠ABC+∠ACB =130°.∵ ∠P=90°,∴ ∠PBC+∠PCB =90°, ∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°,故答案为90,40. (2) ∠ABP + ∠ACP = 90° - ∠A. 理 由:∵(∠PBC+∠PCB) + (∠ABP + ∠ACP) +∠A= 180°, ∴ (180° - ∠P) + ( ∠ABP +∠ACP)+∠A=180°.∵ ∠P=90°,∴∠ABP+∠ACP + ∠A = 90°, ∴ ∠ABP + ∠ACP =90°-∠A. (3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由:设AB交PC 于O, 如 图. ∵ ∠AOC =M∠POB,∴∠ACO+∠A =∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A =90°+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 课时2 直角三角形的性质与判定 刷基础 1. B【解析】∵直角三角形的两锐角互余，∴需要补的角的度数为90°-55°=35°,故选 B. 2. A 【解析】在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∴∠A+∠B = 90°. ∵ ∠A = 2 ∠B,∴ 3 ∠B = 90°,∴∠B=30°,∴∠A=60°.故选 A. 3. A 【解析】∵ ∠BAC=90°,AD⊥BC,DF⊥AB,∴∠C+∠B=90°,∠BAD+∠B=90°,∠BDF+∠B = 90°,∴∠C= ∠BDF = ∠BAD. 同理,∠DAC+∠C = 90°, ∠DAC + ∠ADE = 90°,∴∠C=∠ADE,∴题图中与∠C(∠C 除外)相等的角的个数是3个，故选 A. 4.135°【解析】∵∠C=90°,∴ ∠CAB+∠CBA=90°. ∵ AD 平分∠CAB, BE 平分∠ABC, ∴ ∠AFB=180°-45°=135°.故答案为 135°. 5.60°或90°【解析】当点 D 为直角顶点时,如图(1) 所示,则∠ADE = 90°. ∵ ∠A = 30°,∴ ∠AED=90°-30°=60°. 当点 E 为直角顶点时，如图(2)所示，则∠AED=90°.综上,∠AED 的度数为60°或90°. 6.【解】(1)在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=40°,∴∠ABC=90°-40°=50°.∵ BD 平分∠ABC, 90°-∠ABD=65°. (2)如图所示.①∵AE 是BC 边 上 的 高 线,∴∠AEC= 90°,∴∠C+∠CAE= 90°. ∵ ∠BAC= 90°, ∴ ∠BAE +∠CAE=90°,∴∠BAE=∠C.②∵AE是BC 边上的高线,∴∠AEB=90°,∴∠DBC+∠BFE=90°. ∵∠BFE= ∠AFD, ∠ABD = ∠DBC,∴ ∠AFD+∠ABD = 90°. ∵ ∠ABD+∠ADF =90°,∴ ∠AFD=∠ADF. 7. B 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∴∠A+∠C=90°.∵ ∠DEC=∠A,∴ ∠DEC+∠C=90°,∴△EDC 是直角三角形.故选 B. 8.【证明】∵ CE⊥AD,∴ ∠CED=90°,∴ ∠C+∠D=90°. ∵ ∠A =∠C,∴ ∠A+∠D =90°,∴∠ABD=90°,∴ △ABD 是直角三角形.. 刷易错 9.2或4 【解析】设∠A=x°,∠C=3x°.当∠C=90°时, ,解得x=30,∴ ∠A =30°,∠B=90°-30°=60°,∴ ∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴m=2;当∠B=90°时,∠A+∠C=90°,即x°+3x°=90°,解得x=22.5,∴ ∠A=22.5°,∠C=67.5°,∴∠A:∠B:∠C=1:4:3,∴m=4,故m的值是2或4. 刷提升 1. B【解析】如图，由题意知. 垂直于OA.在 中， 在 Rt△OBP₁ 中,. 45°.故选 B. 2. D【解析】根据题意可得以 AB 为边画Rt△ABC，使点 C 在格点上，满足这样条件的点 C 共8个，如图所示.故选 D. 3.135°或45°【解析】①如图(1),△ABC 是锐角三角形时,∵ BD,CE 是△ABC 的高线,∴ ∠ADB = 90°,∠BEC = 90°. 在△ABD 中,∵ ∠A=45°,∴ ∠ABD = 90°-45°= 45°. 在Rt△BEH 中, ∠EHB = 90° - 45°= 45°,∴ ∠BHC=180°-∠EHB=180°-45°=135°. ②如图(2),△ABC 是钝角三角形时,∵ BD,CE 是△ABC 的高线,∴ ∠A +∠ACE = 90°,∠BHC+∠HCD=90°.∵∠ACE=∠HCD(对顶角相等),∴∠BHC=∠A=45°. 综上所述,∠BHC 的度数是135°或45°. 4.50°或130°【解析】分两种情况讨论:①如图(1), 由 折 叠 的 性 质 可 知 EF ⊥ AB,∴∠AEF=90°.∵折痕所在直线与AC 边所在直线的夹角为40°,∴ ∠AFE=40°,∴ ∠A =90°-40°=50°. ②如图(2),由折叠的性质可知 EF⊥AB,∴∠AFD=90°.∵折痕所在直线与AC 边所在直线的夹角为40°,∴∠D=40°,∴ ∠DAB=90°-∠D=90°-40°=50°,∴∠BAC=180°-∠DAB= 180°-50°= 130°. 故答案为 50°或130°. 5.【解】∵ AB∥CD,∴ ∠ADC+∠BAD = 180°. ∵AC平分∠BAD,BD 平分∠ADC,∴∠DAE= ∠BAD)=90°,∴ ∠AED=90°.∵AC 和 BD 交于点 E,∴∠DEC= ∠AEB = ∠AED = 90°,∴△AED,△AEB,△DEC均为直角三角形. 刷素养 6.【解】(1) ∵ EM ⊥ CE,∴ ∠CEM = 90°,∴∠ECD+∠CME=90°,∴2∠ECD+2∠CME=180°.∵CE平分∠ACD,∴∠ACD=2∠ECD,∴∠ACD+2∠CME=180°.∵AB∥CD,∴∠ACD+∠A=180°,∴∠A=2∠CME. (2)如图(1),过点 F作 FM∥AB. ∵AB∥CD,∴FM∥AB∥CD,∴∠AFM=∠BAF,∠CFM=∠DCF,∴ ∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF,即∠AFC=∠BAF+∠DCF.∵AF 平分∠CAB,CF 平分∠DCE,∴ ∠CAB=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.∵∠AFC=70°,∴∠CAB+∠DCE=140°.∵AB∥CD,∴ ∠CAB+∠ACD=∠CAB+∠ACE+∠DCE= 180°,∴ ∠ACE =180°-(∠CAB+∠DCE)=180°-140°=40°. (3)∠MNB 与 ∠A 之间的数量关系是∠MNB=135°-∠A.如图(2),延长CM 交AB于点 G. ∵ MN ⊥ CM,∴ ∠NMG = 90°,∴∠MNB=90°-∠MGN,同理∠HCG=90°-∠MGN, ∴∠MNB = ∠HCG. ∵ ∠ACH = ∴ 设∠ACH = x,则∠ECH = 2x. ∵CM平分∠DCE,∴设∠ECM=∠DCM=y, ∴∠MNB=∠HCG=2x+y.∵ AB∥CD,CH⊥ AB,∴ CH⊥CD,∴ ∠HCD=90°,∴ ∠ECH+ ∠ECD=90°,∴ 2x+2y= 90°,∴x+y=45°. ∵CH⊥AB,∴ ∠A = 90°-∠ACH = 90°-x, ∴ ∠A+∠MNB=90°-x+2x+y=90°+x+y=135°,∴∠MNB=135°-∠A. 学科网（北京）股份有限公司 $