第17讲 科学记数法小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.3.2 用科学记数法表示大数 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　理解科学记数法的意义与形式 能准确说出科学记数法的定义与三要素：形如 a × 10ⁿ，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数；理解其「用乘方压缩大数」的核心思想。 目标 2　掌握大数转科学记数法的三部曲 能对任意大数（正数、负数、含末尾零）按 「数位数 → 定 n = 位数-1 → 定 a = 小数点归首位」 的步骤完成转化，得数正确率 ≥ 95%。 目标 3　灵活运用科学记数法处理科技/天文/生活情境 能在光速、人口、GDP、宇宙尺度等真实语境中双向转化，并能对科学记数法进行 大小比较（先比 n、再比 a） 与简单运算，做到「读得懂、写得对、比得清」。 二、重难点 重点 ① 科学记数法的标准形式 a × 10ⁿ（1 ≤ |a| < 10，n 为正整数）；　② n = 整数位数 − 1 的判定；　③ 科学记数法 ⇄ 普通数的双向转化。 难点 ① a 的小数点定位（首位非零数字之后）；　② 负大数、末尾多零大数、含小数的大数的特殊处理；　③ 两个科学记数法数比较大小时 「先比 n、再比 a」 的策略选择。 易错点 ① a 超出 [1, 10) 范围 —— 例如写成 12 × 10⁵、0.35 × 10⁷、30 × 10⁴ 均不合规范，正确的 a 只能是 1 位整数（1~9）加若干位小数。 ② n 记成整数位数（应是位数 − 1） —— 把 3 400 000（7 位数）写成 3.4 × 10⁷（错），正确 n = 7 − 1 = 6，答案 3.4 × 10⁶。 ③ 负号丢失 —— −6 400 000 = −6.4 × 10⁶，学生常写成 6.4 × 10⁶，忘了负号「保号」原则。 ④ 10 的幂算错 —— 10⁴ = 10 000（不是 1 000 或 100 000），10ⁿ 的规律是「1 后面 n 个 0」，与 2.2.5 乘方规则一致。 ⑤ 小数点定位错 —— 例如 8 100 000 = 8.1 × 10⁶（正确），学生易写成 81 × 10⁵ 或 0.81 × 10⁷ —— 小数点必须落在首位非零数字后。 ⑥ 有效数字丢失（末尾零处理） —— 把 3 400 000 写成 3 × 10⁶（错，丢了 4 这个有效数字），正确 3.4 × 10⁶ —— a 中的所有非零数字与首尾之间的数字都必须保留。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】10 的正整数幂速览表 —— 承接 2.2.5 乘方 请回忆学过的「乘方」，把 10 的正整数幂对应值与「1 后 n 个 0」的规律填入下表：特别提示：10 的正整数幂 = 1 后面 n 个 0，位数 = n + 1。 乘方形式 展开写法 中文数量词 规律与总位数 10¹ 10 十 1 个 0 · 共 2 位数 10² 100 百 2 个 0 · 共 3 位数 10³ 1 000 千 3 个 0 · 共 4 位数 10⁴ 10 000 万 4 个 0 · 共 5 位数 10⁵ 100 000 十万 5 个 0 · 共 6 位数 10⁶ 1 000 000 百万 6 个 0 · 共 7 位数 10⁷ 10 000 000 千万 7 个 0 · 共 8 位数 10⁸ 100 000 000 亿 8 个 0 · 共 9 位数 【教学建议】这张表是本节最重要的「地基」，务必让学生自己数 0 的个数、数总位数，从「感性发现」到「理性抽象」——先看到 10ⁿ 有 n 个 0，再引导「位数 = n + 1」，最后自然过渡到「已知位数如何反求 n」，也就是探究二的三部曲第 ② 步。 【回顾二】生活里的大数 —— 你能读出几个 0 ？ 请把下列大数中的 0 数出来，并试着填空：你会发现，普通写法在「数 0」这件事上极其容易出错。 生活/科技情境 普通写法 整数位数 中国人口约 14 亿 1 400 000 000 10 位 光在真空中的速度（m/s） 300 000 000 9 位 地球到太阳的距离（km） 150 000 000 9 位 一颗西红柿约含细胞（个） 1 000 000 000 10 位 【情境导入】太阳质量 —— 30 位数怎么写 ？ 科学家告诉我们，太阳质量约为 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg（30 位整数）。 请你想一想： ① 数一数上面这个数，一共有多少个 0 ？（提示：从 1989 后开始数，共 27 个 0） ② 如果每天写 10 次这个数，抄错的可能性有多大 ？ ③ 天文学家/物理学家如果都用「普通写法」交流，会有多痛苦 ？ 于是，人们发明了一种「用乘方压缩大数」的写法 —— 科学记数法。太阳质量可以简写为 1.989 × 10³⁰ kg，只用 4 个非零数字 + 一个 10 的乘方就完成了。 【教学建议 · 情境导入的三层递进】 1. 第 1 层 · 感受痛点：先让学生尝试把太阳质量默写一遍，几乎无人成功 → 普通写法在大数场景下失效。 1. 第 2 层 · 期待压缩：引导学生说出「有没有更短的写法」→ 承接 2.2.5 乘方，让学生自己猜出「用 10 的多少次方来压缩 0 的个数」。 1. 第 3 层 · 揭示范式：给出标准写法 1.989 × 10³⁰，并强调「1 ≤ |a| < 10」是全世界统一约定，为的是让 同一个数只有唯一一种科学记数法写法（唯一性）。 四、新知探究 ★ 探究一 · 科学记数法的定义与三要素 阅读教材 P54.55，完成下列填空，把定义「拆」成三要素： 要素 含义 规范约束 a （系数） 首位非零数字后带小数点的实数（可正可负）。 1 ≤ |a| < 10 10 （基数） 永远是 10，来自十进制的天然属性。 固定为 10，不能改成 100、1000 等 n （指数） 表示 a 需要被「放大」多少倍才能回到原数。 n 是正整数（本节只讨论大数） 因此，科学记数法的标准形式为 a × 10ⁿ（1 ≤ |a| < 10，n 为正整数）。 【判断以下写法是否合规范】 1. ① 12 × 10⁵ 　→ 不合规范（a = 12，超出1 ≤ |a| < 10 范围） 1. ② 0.35 × 10⁷ → 不合规范（|a| = 0.35 < 1） 1. ③ 3.4 × 10⁶ 　→ 规范（1 ≤ 3.4 < 10，n = 6 是正整数） 1. ④ −6.4 × 10⁵ → 规范（|a| = 6.4，负号跟着 a 走） 1. ⑤ 5 × 10⁰ 　　→ 在本节不合规范（n = 0 不是正整数，虽然数值 = 5 正确，但 n 必须 ≥ 1） ★ 探究二 · 转化三部曲：普通大数 → 科学记数法 以 3 400 000 为例，按以下三步完成转化： 步骤 动作 以 3 400 000 为例 ① 数整数位数 k 3 400 000 一共 7 位，故 k = 7 ② 定 n = k − 1 n = k − 1 = 7 − 1 = 6 ③ 定 a：小数点从原数末尾左移 n 位，落在首位非零数字后 从 3 400 000 末尾向左移 6 位 → 落在 3 后面 → a = 3.4 答 组合 a × 10ⁿ 3 400 000 = 3.4 × 10⁶ ★ 一句话口诀： 位数减一定 n，小数点归首位后。 【教学建议】务必让学生反复演示「小数点从末尾向左跳 n 次，每跳一次经过一位数字」，动作要慢、要板书。板书时可用一支不同颜色的粉笔在原数下方画一条弧线，从末尾跳到 3 后面，一目了然。学生自己完成 3~5 例即可内化。 ★ 探究三 · 还原三部曲：科学记数法 → 普通大数 以 1.05 × 10⁴ 为例，按以下三步还原： 步骤 动作 以 1.05 × 10⁴ 为例 ① 读 n n = 4 ② 把 a 的小数点向右移 n 位 1.05 → 小数点向右移 4 位 → 10500. ③ 缺位补 0（不足处补 0） 1.05 向右移 4 位，有效位只有 3 位（1、0、5），故需补 1 个 0 得 10 500 答 组合成普通数 1.05 × 10⁴ = 10 500 ★ 判位数总结： 科学记数法 a × 10ⁿ 还原后的普通数，整数位数 = n + 1（前提是 |a| 是 1 位整数加若干位小数）。 ★ 探究四 · 位数—n 换算速查表 · 常见量级对照 这张表把「整数位数 ↔ n ↔ 中文数量词 ↔ 现实量级」四层信息全部串起来，请务必牢记： 整数位数 k n = k − 1 10ⁿ 中文数量词 现实量级举例 2 位 1 10¹ 十 班级人数 30 = 3×10¹ 3 位 2 10² 百 教室座位数 100 4 位 3 10³ 千 小学生人数 5000 5 位 4 10⁴ 万 小县城人口 5万 7 位 6 10⁶ 百万 大城市人口 1000万 9 位 8 10⁸ 亿 中国人口 14亿 11 位 10 10¹⁰ 百亿 银河系恒星千亿颗 30 位 29 10²⁹ 秭（兆，京，垓） 太阳质量 1.989 × 10³⁰ kg 【教学建议 · 三大信号】引导学生看到大数时快速识别 —— ① 数位数 → ② 减 1 得 n → ③ 小数点归位；三步一气呵成。帮学生感受量级 —— 30 位数字有多离谱地大。 五、例题精讲 例1　把下列大数用科学记数法表示 （1）3 000 000　　（2）40 000 000　　（3）8 100 000　　（4）−6 400 000 解： 按「数位数 → 定 n → 定 a」三部曲，逐题演示： （1） 3 000 000 共 7 位，n = 7 − 1 = 6，a = 3；故 3 000 000 = 3 × 10⁶ （2） 40 000 000 共 8 位，n = 8 − 1 = 7，a = 4；故 40 000 000 = 4 × 10⁷ （3） 8 100 000 共 7 位，n = 7 − 1 = 6，a = 8.1（保留有效数字 8 和 1）；故 8 100 000 = 8.1 × 10⁶ （4） −6 400 000 的绝对值为 7 位，n = 6，a = 6.4；负号跟着 a 走 → −6 400 000 = −6.4 × 10⁶ 【规范提示】（3）(4) 两题最容易踩坑：末尾的 0 被「压缩到 10 的幂里」了，但中间的非零数字（如 1、4）必须保留在 a 里，否则就丢失了有效数字。 例2　把下列科学记数法还原为普通大数 （1）1.05 × 10⁴　　（2）3 × 10⁷　　（3）−2.3 × 10⁵ 解： 按「读 n → 小数点右移 n 位 → 缺位补 0」三部曲： （1） n = 4，1.05 → 10500. → 10 500（1.05 有效位 3 位，右移 4 位需补 1 个 0） （2） n = 7，3 → 30000000 → 30 000 000（3 是整数，直接后面加 7 个 0） （3） n = 5，负号先放一边，2.3 → 230000 → 加回负号 → −230 000 【常见错法】 学生易把 1.05 × 10⁴ 写成 1050（只右移 3 位，忘了 1.05 只有 2 位小数 → 需要 2 位 + 补 2 位 0），正确做法是数 a 的小数位再补零。 例3　★ 天文/科技/人口三大应用 （1）2023 年中国大陆人口约 14.12 亿，用科学记数法表示为多少人 ？ （2）地球到太阳的平均距离约为 1.5 × 10⁸ km，请把它还原为普通写法，并读出中文数量词。 （3）1 光年（光在真空中走 1 年的距离）约为 9.46 × 10¹² km，请说明它相当于多少「亿千米」。 解： （1） 14.12 亿 = 14.12 × 10⁸ = 1.412 × 10⁹，共 10 位数。答：约 1.412 × 10⁹ 人。 【思路点拨】 14.12 × 10⁸ 中 a = 14.12 > 10，不符合规范，需要把小数点再向左移 1 位：14.12 × 10⁸ = 1.412 × 10 × 10⁸ = 1.412 × 10⁹。 （2） 1.5 × 10⁸ = 150 000 000 km = 1.5 亿 km（一亿五千万千米）。 （3） 9.46 × 10¹² = 9.46 × 10⁴ × 10⁸ = 9.46 万亿 km；换算成「亿千米」→ 10¹² = 10⁴ × 10⁸ = 万亿 = 94 600 亿 km。所以 1 光年 ≈ 9.46 万亿千米 ≈ 9.46 × 10⁴ 亿 km。 【教学总结】 天文数字是本节最能激发学生兴趣的场景 —— 从「教室座位数」到「宇宙尺度」，量级横跨 20 多个数量级，而科学记数法把这一切「压缩到一张 A4 纸上」。 六、当堂检测 Part 1 · 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 科学记数法的标准形式是 a × 10ⁿ，其中 a 的取值范围是 1 ≤ |a| < 10，n 是 正整数。 1. 把 260 000 用科学记数法表示为 2.6 × 10⁵。 1. 已知某数用科学记数法表示为 5 × 10⁷，则该数是 50 000 000，共 8 位。 1. 已知一个大数共有 12 位，它用科学记数法表示为 a × 10ⁿ，则 n = 11。 Part 2 · 转化计算题（每题 6 分，共 24 分） （1）把 8 700 000 用科学记数法表示。 （2）把 −9 300 000 000 用科学记数法表示。 （3）把 6.02 × 10⁵ 还原为普通数。 （4）把 −4.1 × 10⁸ 还原为普通数。 解： （1） 8 700 000 共 7 位，n = 6，a = 8.7 → 8.7 × 10⁶ （2） |−9 300 000 000| 共 10 位，n = 9，a = 9.3 → −9.3 × 10⁹ （3） n = 5，6.02 → 602000. → 602 000（6.02 有 3 位有效数字，右移 5 位需补 3 个 0） （4） n = 8，4.1 → 410000000. → 加负号 → −410 000 000 Part 3 · 比较大小（每题 6 分，共 12 分） 比较下列每组数的大小，用 「>」「<」或「=」填空： （1）3.2 × 10⁵ 　 < 　 5.1 × 10⁵ （2）9.8 × 10⁶ 　 < 　 1.2 × 10⁷ 解题策略： 比较两个用科学记数法表示的正数时 —— ① 先比 n：n 大的数就大；　② 若 n 相同再比 a。 （1） 两数 n 都是 5，比较 a：3.2 < 5.1，故 3.2 × 10⁵ < 5.1 × 10⁵。 （2） 两数 n 不同：6 < 7，故 9.8 × 10⁶ < 1.2 × 10⁷（尽管 9.8 > 1.2，但 n 更小的数就更小）。 【教学提醒】 学生常犯 「只比 a 忽略 n」 的错误，务必强调「n 是量级、a 是精细数值」，先粗后细。 Part 4 · 应用题（16 分） 中国国土面积约 9 600 000 km²，某科考队测得某遥远星系距离地球约 4.2 × 10¹⁰ km。请回答： 1. 把国土面积用科学记数法表示。 1. 把星系距离还原为普通数。 1. 如果地球赤道一周约 4 × 10⁴ km，则该星系距离相当于绕赤道多少圈 ？（用科学记数法表示） 解： （1） 9 600 000 共 7 位，n = 6，a = 9.6 → 9.6 × 10⁶ km² （2） 4.2 × 10¹⁰ → 4.2 右移 10 位 → 42 000 000 000 km（读作四百二十亿千米） （3） 相当于 (4.2 × 10¹⁰) ÷ (4 × 10⁴) = (4.2 ÷ 4) × 10¹⁰⁻⁴ = 1.05 × 10⁶ 圈（约 105 万圈） 【思路点拨】 第 (3) 问已经用到「同底数幂相除」的思想（预告 8 年级同底数幂）—— 学生只需理解「10¹⁰ ÷ 10⁴ = 10⁶」直觉即可。 七、思维导图与口诀 请你用一分钟看一遍下面的思维导图，把本节的知识主干串起来： 2.3.2 用科学记数法表示大数 │ ┌────────────────────────┼────────────────────────┐ │ │ │ ① 定义 ② 转化 ③ 比较与应用 a × 10ⁿ 两个方向 量级思维 │ │ │ 1 ≤ |a| < 10 普通数 → 科学记数法 先比 n、再比 a n 是正整数 数位数 → n = k−1 → a n 是量级 10 是基数 科学记数法 → 普通数 a 是精细数值 小数点右移 n 位补零 天文/科技/人口 ★★ 三大口诀 ★★ 口诀一（转化）： 位数减一定 n，小数点归首位后。 口诀二（还原）： 看 n 右移小数点，缺位补 0 不漏项。 口诀三（比大小）： 正数先比 n，n 同再比 a。 一句话总结： 科学记数法 = 「乘方压缩大数」的通用语言，让 30 位太阳质量、9 位光速都能优雅地写在一行里。 八、分层作业 🅰 基础层 · 6 判断 + 6 计算 (一) 判断（每题 2 分，共 12 分） 1. 科学记数法中 a 的取值范围是 1 ≤ a ≤ 10。　　(×) 解析：应为 1 ≤ |a| < 10（右端开区间，且要看绝对值） 1. 科学记数法 a × 10ⁿ 中，n 可以是 0。　　(×) 解析：本节 n 只能是正整数 1. 3 × 10⁴ 表示的数是 30 000。　　(√) 解析：n = 4，3 后加 4 个 0 1. 把 −520 000 写成科学记数法为 5.2 × 10⁵。　　(×) 解析：负号丢失，应为 −5.2 × 10⁵ 1. 12 × 10⁴ 是标准的科学记数法。　　(×) 解析：a = 12 > 10，不合规范；应写成 1.2 × 10⁵ 1. 6.7 × 10⁵ > 5.9 × 10⁶。　　(×) 解析：n 更大者更大，故 5.9 × 10⁶ > 6.7 × 10⁵ (二) 用科学记数法表示 / 还原（每题 3 分，共 18 分） 1. 把 700 000 用科学记数法表示。 答：7 × 10⁵ 1. 把 25 000 000 用科学记数法表示。 答：2.5 × 10⁷ 1. 把 −1 800 000 用科学记数法表示。 答：−1.8 × 10⁶ 1. 把 4 × 10³ 还原为普通数。 答：4 000 1. 把 6.28 × 10⁵ 还原为普通数。 答：628 000 1. 把 −3.5 × 10⁴ 还原为普通数。 答：−35 000 🅱 进阶层 · 4 复杂转化 + 3 比较大小 (一) 复杂转化（每题 5 分，共 20 分） 1. 把 14.12 亿用科学记数法表示。 1. 把 3 万亿 5 千亿（合计 3.5 万亿）用科学记数法表示。 1. 把 8.4 × 10⁶ + 2.3 × 10⁶ 用科学记数法表示。 1. 已知 2ⁿ = 1024，n 是正整数，请把 2ⁿ 用科学记数法表示。 解： （1） 14.12 亿 = 1.412 × 10 × 10⁸ = 1.412 × 10⁹ （2） 3.5 万亿 = 3.5 × 10¹² = 3.5 × 10¹²（1 万亿 = 10¹²） （3） 8.4 × 10⁶ + 2.3 × 10⁶ = (8.4 + 2.3) × 10⁶ = 10.7 × 10⁶ = 1.07 × 10⁷（同底数幂相加提公因子后 a 超范围要再调整） （4） 2ⁿ = 1024 → n = 10；1024 共 4 位，n = 3，a = 1.024 → 1.024 × 10³ (二) 比较大小（每题 4 分，共 12 分） 1. 比较：3.4 × 10⁸ 与 1.2 × 10⁹ 1. 比较：7.9 × 10⁵ 与 8.1 × 10⁵ 1. 把下列三个数按从大到小排列：4.5 × 10⁶、5.2 × 10⁵、9.8 × 10⁶ 解： （1） n 不同：8 < 9，故 3.4 × 10⁸ < 1.2 × 10⁹ （2） n 相同，比 a：7.9 < 8.1，故 7.9 × 10⁵ < 8.1 × 10⁵ （3） 按 n 从大到小分组：n = 6 组有 4.5 × 10⁶ 和 9.8 × 10⁶（9.8 > 4.5）；n = 5 组只有 5.2 × 10⁵。 故 9.8 × 10⁶ > 4.5 × 10⁶ > 5.2 × 10⁵ 🅲 挑战层 · 天文/数量级/章节交叉 完成以下 3 题，任选 2 题即可。★ 表示核心思维训练题，★★★ 表示章节交叉终极题。 (1) ★ 天文：光年与千米的换算 1 光年 ≈ 9.46 × 10¹² km，请回答： 1. ① 请把 1 光年用「万亿千米」为单位表示。 1. ② 距地球最近的比邻星约 4.24 光年，请用科学记数法表示它到地球的距离（km）。 解： ① 9.46 × 10¹² km = 9.46 万亿 km（因为 1 万亿 = 10¹²）。答：约 9.46 万亿千米 ② 距离 = 4.24 × (9.46 × 10¹²) = (4.24 × 9.46) × 10¹² ≈ 40.11 × 10¹² = 4.011 × 10¹³ km（约 40 万亿千米） 【思维价值】 学生第一次感受到「a 相乘、n 相加」这一同底数幂乘法的雏形（预告 8 年级）。 (2) ★ 数量级：A4 纸叠多高 一张 A4 纸厚度约为 0.1 mm，累计一万张（1 × 10⁴ 张）叠起来大约有多厚 ？请用米（m）为单位，写成普通数与科学记数法两种形式。 解： 一万张厚度 = 0.1 mm × 10⁴ = 10³ mm = 1 m。 答： 约 1 m（= 1 × 10⁰ m），本节 n ≥ 1，所以此题的更好表达是「1 米，正好一米高」。 【生活直觉】 学生常常低估纸的厚度累加效应 —— 1 万张 A4 纸叠起来正好 1 米，10 万张就是 10 米（三层楼高）—— 量级思维就是这样练出来的。 (3) ★★★ 章节交叉终极战 · GDP 人均 已知某国某年国内生产总值（GDP）约为 1.2 × 10¹⁴ 元，人口约为 1.4 × 10⁹ 人。请回答： 1. ① 人均 GDP 约为多少元 ？（结果保留科学记数法，a 精确到百分位） 1. ② 若把 GDP 换算成「万亿元」为单位，是多少 ？ 1. ③ 若下一年 GDP 增长 5%，请把新 GDP 用科学记数法表示。 解： ① 人均 GDP = GDP ÷ 人口 = (1.2 × 10¹⁴) ÷ (1.4 × 10⁹) = (1.2 ÷ 1.4) × 10¹⁴⁻⁹ ≈ 0.857 × 10⁵ = 8.57 × 10⁴ 元（约 8.57 万元/人） ② 换算： 1 万亿元 = 10¹² 元，故 1.2 × 10¹⁴ = 1.2 × 10² × 10¹² = 120 万亿元 ③ 增长 5%： 新 GDP = 1.2 × 10¹⁴ × 1.05 = 1.26 × 10¹⁴ = 1.26 × 10¹⁴ 元 【思维价值】 ① 用到「同底数幂相除 → 指数相减」预告；　② 用到「不同数量单位与科学记数法互换」的实用技能；　③ 综合了「乘方 + 增长率 + 科学记数法」，为 2.3.1 综合运算 · 3.1 一元一次方程 · 4.1 百分数应用 的交叉打下基础。 九、学习反思 请对照下表，如实评估本节学习的达成度，并在「后续行动」栏写下具体的补习计划： 检核维度 自评 我的证据 / 后续行动 ① 我能背出科学记数法的标准形式 a × 10ⁿ 与 1 ≤ |a| < 10、n 为正整数的规范。 ☆☆☆☆☆ 　 ② 我能对任意大数按「数位数 → 定 n → 定 a」三部曲完成转化，正确率 ≥ 95%。 ☆☆☆☆☆ 　 ③ 我能把 a × 10ⁿ 形式还原为普通数，缺位补 0 不漏项。 ☆☆☆☆☆ 　 ④ 我能比较两个用科学记数法表示的正数（先比 n、再比 a）。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑤ 我能在天文、人口、科技情境中双向转化并读出中文数量词。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑥ 我知道科学记数法与「乘方（2.2.5）」「综合运算（2.3.1）」的联系，并能预判 2.3.3 有效数字。 ☆☆☆☆☆ 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 用科学记数法表示大数 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 目标 1　理解科学记数法的意义与形式 能准确说出科学记数法的定义与三要素：形如 a × 10ⁿ，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数；理解其「用乘方压缩大数」的核心思想。 目标 2　掌握大数转科学记数法的三部曲 能对任意大数（正数、负数、含末尾零）按 「数位数 → 定 n = 位数-1 → 定 a = 小数点归首位」 的步骤完成转化，得数正确率 ≥ 95%。 目标 3　灵活运用科学记数法处理科技/天文/生活情境 能在光速、人口、GDP、宇宙尺度等真实语境中双向转化，并能对科学记数法进行 大小比较（先比 n、再比 a） 与简单运算，做到「读得懂、写得对、比得清」。 二、重难点 重点 ① 科学记数法的标准形式 a × 10ⁿ（1 ≤ |a| < 10，n 为正整数）；　② n = 整数位数 − 1 的判定；　③ 科学记数法 ⇄ 普通数的双向转化。 难点 ① a 的小数点定位（首位非零数字之后）；　② 负大数、末尾多零大数、含小数的大数的特殊处理；　③ 两个科学记数法数比较大小时 「先比 n、再比 a」 的策略选择。 易错点 ① a 超出 [1, 10) 范围 —— 例如写成 12 × 10⁵、0.35 × 10⁷、30 × 10⁴ 均不合规范，正确的 a 只能是 1 位整数（1~9）加若干位小数。 ② n 记成整数位数（应是位数 − 1） —— 把 3 400 000（7 位数）写成 3.4 × 10⁷（错），正确 n = 7 − 1 = 6，答案 3.4 × 10⁶。 ③ 负号丢失 —— −6 400 000 = −6.4 × 10⁶，学生常写成 6.4 × 10⁶，忘了负号「保号」原则。 ④ 10 的幂算错 —— 10⁴ = 10 000（不是 1 000 或 100 000），10ⁿ 的规律是「1 后面 n 个 0」，与 2.2.5 乘方规则一致。 ⑤ 小数点定位错 —— 例如 8 100 000 = 8.1 × 10⁶（正确），学生易写成 81 × 10⁵ 或 0.81 × 10⁷ —— 小数点必须落在首位非零数字后。 ⑥ 有效数字丢失（末尾零处理） —— 把 3 400 000 写成 3 × 10⁶（错，丢了 4 这个有效数字），正确 3.4 × 10⁶ —— a 中的所有非零数字与首尾之间的数字都必须保留。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】10 的正整数幂速览表 —— 承接 2.2.5 乘方 请回忆学过的「乘方」，把 10 的正整数幂对应值与「1 后 n 个 0」的规律填入下表：特别提示：10 的正整数幂 = 1 后面 n 个 0，位数 = n + 1。 乘方形式 展开写法 中文数量词 规律与总位数 10¹ 　 　 　 10² 　 　 　 10³ 　 　 　 10⁴ 　 　 　 10⁵ 　 　 　 10⁶ 　 　 　 10⁷ 　 　 　 10⁸ 　 　 　 【回顾二】生活里的大数 —— 你能读出几个 0 ？ 请把下列大数中的 0 数出来，并试着填空：你会发现，普通写法在「数 0」这件事上极其容易出错。 生活/科技情境 普通写法 整数位数 中国人口约 14 亿 　　　　　　　　 　 光在真空中的速度（m/s） 　　　　　　　 　 地球到太阳的距离（km） 　　　　　　　 　 一颗西红柿约含细胞（个） 　　　　　　　 　 【情境导入】太阳质量 —— 30 位数怎么写 ？ 科学家告诉我们，太阳质量约为 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg（30 位整数）。 请你想一想： ① 数一数上面这个数，一共有多少个 0 ？（提示：从 1989 后开始数，共 ____） ② 如果每天写 10 次这个数，抄错的可能性有多大 ？ ③ 天文学家/物理学家如果都用「普通写法」交流，会有多痛苦 ？ 于是，人们发明了一种「用乘方压缩大数」的写法 —— 科学记数法。太阳质量可以简写为 1.989 × 10³⁰ kg，只用 4 个非零数字 + 一个 10 的乘方就完成了。 四、新知探究 ★ 探究一 · 科学记数法的定义与三要素 阅读教材 P54.55，完成下列填空，把定义「拆」成三要素： 要素 含义 规范约束 a （系数） 首位非零数字后带小数点的实数（可正可负）。 　 10 （基数） 永远是 10，来自十进制的天然属性。 　 n （指数） 表示 a 需要被「放大」多少倍才能回到原数。 　 因此，科学记数法的标准形式为 a × 10ⁿ（1 ≤ |a| < 10，n 为正整数）。 ★ 探究二 · 转化三部曲：普通大数 → 科学记数法 以 3 400 000 为例，按以下三步完成转化： 步骤 动作 以 3 400 000 为例 ① 数整数位数 k 3 400 000 一共 _____，故 k = ___ ② 定 n = k − 1 n = k − 1 = _______ ③ 定 a：小数点从原数末尾左移 n 位，落在首位非零数字后 从 3 400 000 末尾向左移 6 位 → 落在 3 后面 → a = _____ 答 组合 a × 10ⁿ 3 400 000 = ________________ ★ 一句话口诀： 位数减一定 n，小数点归首位后。 ★ 探究三 · 还原三部曲：科学记数法 → 普通大数 以 1.05 × 10⁴ 为例，按以下三步还原： 步骤 动作 以 1.05 × 10⁴ 为例 ① 读 n n = ___ ② 把 a 的小数点向右移 n 位 1.05 → 小数点向右移 4 位 → _______ ③ 缺位补 0（不足处补 0） 1.05 向右移 4 位，有效位只有 3 位（1、0、5），故需补 ___ 得 ________ 答 组合成普通数 1.05 × 10⁴ = ________________ ★ 判位数总结： 科学记数法 a × 10ⁿ 还原后的普通数，整数位数 = n + 1（前提是 |a| 是 1 位整数加若干位小数）。 ★ 探究四 · 位数—n 换算速查表 · 常见量级对照 这张表把「整数位数 ↔ n ↔ 中文数量词 ↔ 现实量级」四层信息全部串起来，请务必牢记： 整数位数 k n = k − 1 10ⁿ 中文数量词 现实量级举例 2 位 1 10¹ 　 　 3 位 2 10² 　 　 4 位 3 10³ 　 　 5 位 4 10⁴ 　 　 7 位 6 10⁶ 　 　 9 位 8 10⁸ 　 　 11 位 10 10¹⁰ 　 　 30 位 29 10²⁹ 　 　 五、例题精讲 例1　把下列大数用科学记数法表示 （1）3 000 000　　（2）40 000 000　　（3）8 100 000　　（4）−6 400 000 例2　把下列科学记数法还原为普通大数 （1）1.05 × 10⁴　　（2）3 × 10⁷　　（3）−2.3 × 10⁵ 例3　★ 天文/科技/人口三大应用 （1）2023 年中国大陆人口约 14.12 亿，用科学记数法表示为多少人 ？ （2）地球到太阳的平均距离约为 1.5 × 10⁸ km，请把它还原为普通写法，并读出中文数量词。 （3）1 光年（光在真空中走 1 年的距离）约为 9.46 × 10¹² km，请说明它相当于多少「亿千米」。 六、当堂检测 Part 1 · 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 科学记数法的标准形式是 a × 10ⁿ，其中 a 的取值范围是 __________________，n 是 ________。 1. 把 260 000 用科学记数法表示为 ________________。 1. 已知某数用科学记数法表示为 5 × 10⁷，则该数是 ________________，共 __ 位。 1. 已知一个大数共有 12 位，它用科学记数法表示为 a × 10ⁿ，则 n = ____。 Part 2 · 转化计算题（每题 6 分，共 24 分） （1）把 8 700 000 用科学记数法表示。 （2）把 −9 300 000 000 用科学记数法表示。 （3）把 6.02 × 10⁵ 还原为普通数。 （4）把 −4.1 × 10⁸ 还原为普通数。 Part 3 · 比较大小（每题 6 分，共 12 分） 比较下列每组数的大小，用 「>」「<」或「=」填空： （1）3.2 × 10⁵ 　 ____ 　 5.1 × 10⁵ （2）9.8 × 10⁶ 　 ____ 　 1.2 × 10⁷ Part 4 · 应用题（16 分） 中国国土面积约 9 600 000 km²，某科考队测得某遥远星系距离地球约 4.2 × 10¹⁰ km。请回答： 1. 把国土面积用科学记数法表示。 1. 把星系距离还原为普通数。 1. 如果地球赤道一周约 4 × 10⁴ km，则该星系距离相当于绕赤道多少圈 ？（用科学记数法表示） 七、思维导图与口诀 请你用一分钟看一遍下面的思维导图，把本节的知识主干串起来： 2.3.2 用科学记数法表示大数 │ ┌────────────────────────┼────────────────────────┐ │ │ │ ① 定义 ② 转化 ③ 比较与应用 a × 10ⁿ 两个方向 量级思维 │ │ │ 1 ≤ |a| < 10 普通数 → 科学记数法 先比 n、再比 a n 是正整数 数位数 → n = k−1 → a n 是量级 10 是基数 科学记数法 → 普通数 a 是精细数值 小数点右移 n 位补零 天文/科技/人口 ★★ 三大口诀 ★★ 口诀一（转化）： 位数减一定 n，小数点归首位后。 口诀二（还原）： 看 n 右移小数点，缺位补 0 不漏项。 口诀三（比大小）： 正数先比 n，n 同再比 a。 一句话总结： 科学记数法 = 「乘方压缩大数」的通用语言，让 30 位太阳质量、9 位光速都能优雅地写在一行里。 八、分层作业 🅰 基础层 · 6 判断 + 6 计算 (一) 判断（每题 2 分，共 12 分） 1. 科学记数法中 a 的取值范围是 1 ≤ a ≤ 10。　　( ) 1. 科学记数法 a × 10ⁿ 中，n 可以是 0。　　( ) 1. 3 × 10⁴ 表示的数是 30 000。　　( ) 1. 把 −520 000 写成科学记数法为 5.2 × 10⁵。　　( ) 1. 12 × 10⁴ 是标准的科学记数法。　　( ) 1. 6.7 × 10⁵ > 5.9 × 10⁶。　　( ) (二) 用科学记数法表示 / 还原（每题 3 分，共 18 分） 1. 把 700 000 用科学记数法表示。 1. 把 25 000 000 用科学记数法表示。 1. 把 −1 800 000 用科学记数法表示。 1. 把 4 × 10³ 还原为普通数。 1. 把 6.28 × 10⁵ 还原为普通数。 1. 把 −3.5 × 10⁴ 还原为普通数。 🅱 进阶层 · 4 复杂转化 + 3 比较大小 (一) 复杂转化（每题 5 分，共 20 分） 1. 把 14.12 亿用科学记数法表示。 1. 把 3 万亿 5 千亿（合计 3.5 万亿）用科学记数法表示。 1. 把 8.4 × 10⁶ + 2.3 × 10⁶ 用科学记数法表示。 1. 已知 2ⁿ = 1024，n 是正整数，请把 2ⁿ 用科学记数法表示。 (二) 比较大小（每题 4 分，共 12 分） 1. 比较：3.4 × 10⁸ 与 1.2 × 10⁹ 1. 比较：7.9 × 10⁵ 与 8.1 × 10⁵ 1. 把下列三个数按从大到小排列：4.5 × 10⁶、5.2 × 10⁵、9.8 × 10⁶ 🅲 挑战层 · 天文/数量级/章节交叉 完成以下 3 题，任选 2 题即可。★ 表示核心思维训练题，★★★ 表示章节交叉终极题。 (1) ★ 天文：光年与千米的换算 1 光年 ≈ 9.46 × 10¹² km，请回答： 1. ① 请把 1 光年用「万亿千米」为单位表示。 1. ② 距地球最近的比邻星约 4.24 光年，请用科学记数法表示它到地球的距离（km）。 (2) ★ 数量级：A4 纸叠多高 一张 A4 纸厚度约为 0.1 mm，累计一万张（1 × 10⁴ 张）叠起来大约有多厚 ？请用米（m）为单位，写成普通数与科学记数法两种形式。 (3) ★★★ 章节交叉终极战 · GDP 人均 已知某国某年国内生产总值（GDP）约为 1.2 × 10¹⁴ 元，人口约为 1.4 × 10⁹ 人。请回答： 1. ① 人均 GDP 约为多少元 ？（结果保留科学记数法，a 精确到百分位） 1. ② 若把 GDP 换算成「万亿元」为单位，是多少 ？ 1. ③ 若下一年 GDP 增长 5%，请把新 GDP 用科学记数法表示。 九、学习反思 请对照下表，如实评估本节学习的达成度，并在「后续行动」栏写下具体的补习计划： 检核维度 自评 我的证据 / 后续行动 ① 我能背出科学记数法的标准形式 a × 10ⁿ 与 1 ≤ |a| < 10、n 为正整数的规范。 ☆☆☆☆☆ 　 ② 我能对任意大数按「数位数 → 定 n → 定 a」三部曲完成转化，正确率 ≥ 95%。 ☆☆☆☆☆ 　 ③ 我能把 a × 10ⁿ 形式还原为普通数，缺位补 0 不漏项。 ☆☆☆☆☆ 　 ④ 我能比较两个用科学记数法表示的正数（先比 n、再比 a）。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑤ 我能在天文、人口、科技情境中双向转化并读出中文数量词。 ☆☆☆☆☆ 　 ⑥ 我知道科学记数法与「乘方（2.2.5）」「综合运算（2.3.1）」的联系，并能预判 2.3.3 有效数字。 ☆☆☆☆☆ 　 ───────────────────────────────────────── 学科网（北京）股份有限公司 $