精品解析：贵州遵义天立学校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

遵义天立学校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题的否定为. 3. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，，解得. 4. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设扇形的半径为，圆心角，因为扇形的弧长为， 所以扇形的半径，所以扇形的面积为. 5. 设，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 6. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为. 8. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出的关系，然后根据的值求解出结果. 【详解】因，则 则， 则，即，故. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】因为角的终边经过点， ， 所以， ， ， 所以AC错误，BD正确. 10. 已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（ ）. A. 与方向相反 B. 与方向相同 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 11. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 的解析式可能为 D. 的解析式可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，直接求出，判断A，B；由奇偶性的定义，结合题意，判断C，D. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B正确； 若，则其定义域为，且，则是偶函数，不是奇函数，所以C错误； 若，则其定义域为，且， 则是奇函数，且，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则________________. 【答案】##0.8 【解析】 【详解】因为，且，所以，则 13. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 14. 如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得t的最小值. 【详解】由题意，又共线，则， ，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且． （1）求; （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先求出，利用平行关系构造方程求出，进而求出； （2）利用，结合已知条件构造方程求出，从而求解． 【小问1详解】 由题意得，，， ， ，解得，故， 故． 【小问2详解】 ， ，解得， ． 16. 已知． （1）化简； （2）已知，且为第二象限角，求和的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）结合（1）的结论，由同角三角函数关系式，可求得和的值. 【小问1详解】 ． 因为，且有意义，所以. 所以，. 【小问2详解】 由，得，所以. 因为为第二象限角，所以. 所以. 17. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 【答案】（1），平均成绩为分 （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，可得出关于的等式，解之即可，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得竞赛的平均成绩； （2）分析可知竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为、、、，竞赛成绩在的教职工人数为人，分别记为、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得. 竞赛的平均成绩为分. 【小问2详解】 用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人， 其中竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为、、、， 竞赛成绩在的教职工人数为人，分别记为、， 样本空间为 ，则， 记事件从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内， 则，则， 故. 18. 计算： （1）已知为第二象限角，，求 （2）已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； （2）（i）利用同角商数关系可求得，再利用齐次式可求值；（ii）利用，结合齐次式即可求值. 【小问1详解】 由为第二象限角，得，由，得， 所以， 【小问2详解】 由，得，解得. （i）； （ii） . 19. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. （1）以为基底表示. （2）若，求的值； （3）若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【小问1详解】 由图，. 【小问2详解】 因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. 【小问3详解】 因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义天立学校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 6. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（ ）. A. 与方向相反 B. 与方向相同 C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 的解析式可能为 D. 的解析式可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则________________. 13. 若，则___________ 14. 如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且． （1）求; （2）若，求的值． 16. 已知． （1）化简； （2）已知，且为第二象限角，求和的值； 17. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 18. 计算： （1）已知为第二象限角，，求 （2）已知 （i）求的值 （ii）求的值 19. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. （1）以为基底表示. （2）若，求的值； （3）若点为线段的中点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $