5.3.1形积问题-课件-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程形积问题，涵盖等积变形、等周长变形及周长面积公式应用。通过饮料罐改造、铁丝围图形等活动引入，承接方程解法，以表格梳理信息、分步设未知数为支架，构建几何应用脉络。 其亮点在于以实际问题为载体，用“问题链”引导学生用数学眼光观察形积关系，通过推理等量关系发展数学思维，借助表格与方程强化数学语言表达。如饮料罐容积不变问题、铁丝围长方形变正方形实例，课堂小结分类梳理方法，助力学生培养模型意识，教师可高效开展分层教学。

北师大版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月7日 5.3.1形积问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.1形积问题练习题 本套练习题围绕一元一次方程形积问题核心知识点设计，重点考查形积问题核心思想——等积变形（形变积不变）、长方形、正方形、圆形的周长与面积公式、圆柱体体积变形、锻造/拉伸/拼接类等积问题、利用方程求解几何边长、半径等未知量。聚焦学生公式记忆混淆、变形前后体积/面积不相等、列式漏条件、单位不统一等高频易错点，题型循序渐进，贴合课本同步考点，是一元一次方程几何应用的核心专项训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 形积问题的核心解题原理是（ ） A. 图形形状改变，面积或体积不变 B. 图形形状改变，面积一定改变 C. 图形形状不变，体积改变 D. 形状和体积都会改变 2. 将一根圆柱形铁块锻造成长方体铁块，不变的量是（ ） A. 底面积 B. 高 C. 体积 D. 表面积 3. 长方形周长为40cm，长为$$x$$cm，则宽为（ ） A. $$40-x$$ B. $$20-x$$ C. $$40-2x$$ D. $$20+x$$ 4. 正方形边长增加2cm，周长增加（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm 5. 用一根铁丝围成长方形，再改围成正方形，相等的量是（ ） A. 面积 B. 周长 C. 边长 D. 长和宽 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 铁丝围图形变换形状，________不变；物体锻造变形，________不变。 2. 长方形周长公式：C=________；长方形面积公式：S=________。 3. 已知长方形长为$$x$$，宽比长少3，周长为30，可列方程：________。 4. 圆柱体体积公式V=________（$$S$$为底面积，$$h$$为高）。 5. 周长为24的正方形，边长为________cm。 三、解答题（共60分） 1.（20分）长方形周长、面积基础方程应用题： 一个长方形的周长是36cm，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽。 2.（20分）铁丝等周长变形问题： 用一根长80cm的铁丝围成一个长方形，若长方形的长是25cm，现将铁丝重新围成一个正方形，求正方形的边长。 3.（20分）圆柱等积变形拔高问题： 一个底面半径为4cm、高为9cm的圆柱形钢块，锻造成底面半径为6cm的新圆柱，求新圆柱的高。（锻造过程体积不变） 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：形积问题核心：形变积不变，形状改变，面积、体积保持恒定。 2.C 解析：锻造只改变物体形状，不改变体积大小。 3.B 解析：周长=2(长+宽)，长+宽=20，宽=$$20-x$$。 4.C 解析：正方形4条边，边长增加2cm，周长增加$$4\times2=8\mathrm{cm}$$。 5.B 解析：同一根铁丝长度不变，围成图形周长相等，面积不相等。 二、填空题 1. 周长；体积 2. $$2(a+b)$$；$$ab$$（a为长，b为宽） 3. $$2[x+(x-3)]=30$$ 4. $$Sh$$ 5. 6 三、解答题 1. 解：设长方形的宽为$$x$$ cm，则长为$$2x$$ cm。 根据长方形周长公式，得：$$2(x+2x)=36$$ 合并化简：$$6x=36$$，解得$$x=6$$。 长：$$2\times6=12\mathrm{cm}$$。 答：长方形长为12cm，宽为6cm。 2. 解：铁丝总长不变，即正方形周长为80cm。 设正方形边长为$$x$$ cm，得：$$4x=80$$ 解得：$$x=20$$。 答：正方形的边长为20cm。 3. 解：锻造前后体积不变，设新圆柱高为$$x$$ cm。 圆柱体积$$V=\pi r^2h$$，列方程：$$\pi\times4^2\times9=\pi\times6^2\times x$$ 两边同时约去$$\pi$$，得：$$16\times9=36x$$ 计算得：$$144=36x$$，解得$$x=4$$。 答：新圆柱的高为4cm。 探究点　利用一元一次方程解决几何图形问题 1.图形的等积变化 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 活动引入，合作探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 容积不变，但直径(半径)和高有变 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 解得 x=14.52 答：新包装的高度为14.52cm 1.列方程的关键 找出问题中的等量关系 2.解决实际问题的基本步骤 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答. 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 2.图形的等长变化 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? ②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化? 长方形的周长(或长与宽的和)不变 ①本题涉及哪些量? 铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积. 例题分析 ④如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为 x m，则长方形的长可怎么表示? 试用含 x 的代数式在下面图中表示出来. ③题中有怎样的等量关系? 等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度) x m (x+1.4)m x m (x+0.8)m (1) (2) 解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m. 根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10 解得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? x m (x+1.4)m 解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m. 根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10 解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m， 长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2) (1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2) 此时(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积增大0.33m2 (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? x m (x+0.8)m (3)设正方形的边长为x m 根据题意，得 4x=10 解得 x=2.5 正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)， 比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2) (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 所列方程的两边分别表示 长方形的周长和铁丝的长度 列方程的思路 先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程. 思考　 在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量? 列方程的思路是什么? 　总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大. 知识点1 周长、面积问题 （第1题） 1. 如图，正方形的一边长减少 后，得 到一个长方形（图中阴影部分）.若长方形 的周长为 ，求正方形的边长.设正方 形的边长为 ，可列方程为( ) D A. B. C. D. 中考考法 13 （第2题） 2. 如图，一块长、宽 的长方形纸 板和一块长、宽 的长方形纸板、一 块正方形纸板以及另两块长方形纸板恰好拼 成一个大正方形，则大正方形的面积是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 14 （第2题） 【点拨】设正方形纸板的边长为 ，则大 正方形的边长为 或 , 由题意，得 ，解得 ，所以大正方形的边长为 ，所以拼成的大正方形的 面积是 . 中考考法 15 3. 用 的篱笆围成一个长方形场地. （1）如果宽是长的 ，则这个长方形场地的长为______，宽 为______. 【点拨】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根据 题意,得，解得，此时 .所以 这个长方形场地的长为，宽为 . 中考考法 16 （2）如果长比宽多 ，求这个长方形场地的面积. 【解】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根 据题意,得 , 解得.此时 . 所以这个长方形场地的面积为 . 中考考法 17 （3）如果长方形场地的一边靠墙，墙长 ，长比宽多 （长边与墙平行），这样设计是否可行？请说明理由. 不可行.理由如下: 设长方形场地的长为，则宽为 , 根据题意,得，解得 . 因为 ，所以这样设计是不可行的. 中考考法 18 知识点2 等积变形问题 4. 有一位工人师傅将底面直径为10，高为80的“瘦长”形圆柱， 锻造成底面直径为40的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高 为( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 中考考法 19 （第5题） 5. 如图，一个瓶子的容积是 ，瓶内装着一些水.当 瓶子正放时，瓶内水的高度为 ，倒放 时，空余部分的高度为 ，则瓶子的底 面积为( ) B A. B. C. D. 【点拨】设瓶子的底面积为 根据题意, 得，解得 .因此瓶子的底面积为 . 中考考法 20 （第6题） 6. 如图，在长方形 中放 置9个形状、大小都相同的小长方形 （空白部分），部分数据如图所示，则每个 小长方形的面积为_____. 270 【点拨】设小长方形的宽为，则小长方形的长为 ， 依题意，得，解得 ，所以小长 方形的长为 ，所以每个小长方形的面积为 . 中考考法 21 7. 如图①，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为 的 正方形后，剩余部分可剪拼成如图②所示的长方形 （不重叠无缝隙），若拼成的长方形的宽为3，请解答下列 问题： 中考考法 22 （1）用含 的代数式表示剪拼后所得长方形的周长为________ ___；用含 的代数式表示剪拼后所得长方形的面积为________； 中考考法 23 【点拨】根据题图可知，拼成的长方形的长为 ，宽为3，因此剪拼后所得长方形的周长 为 ，面积为 . 中考考法 24 （2）若剪拼后所得长方形的周长为20，则 的值是___； 2 【点拨】由题意得，解得 . 中考考法 25 （3）若将剪拼后的长方形的长减少2，宽增加1，所得的新 长方形的面积恰好等于原长方形的面积，则 的值是_ _. 【点拨】由题意得 , 解得 . 中考考法 26 8. 如图是由九个等边三角形组成的一个六 边形，当最小的等边三角形的边长为2时，求 这个六边形的周长. 中考考法 27 【解】设 ，则易得 ， ， ， , 所以这个六边形的周长 . 由题图易得，即，所以 . 所以这个六边形的周长 . 中考考法 28 9. 有一 个盛水的圆柱体玻璃容器，它 的底面直径为 （容器厚度忽略不计），容器 内水的高度为 . （1）如图①，容器内水的体积为______（结果保留 ）. 中考考法 29 （2）如图②，若把一根底面 直径为，高为 的实 心玻璃棒插入水中（玻璃棒完 全淹没于水中），则水面上升 的高度是多少？ 【解】设水面上升的高度为 ，根据题意，得 , 解得.所以水面上升的高度是 . 中考考法 30 （3）如图③，若把一根底面 直径为 ，足够长的实心玻 璃棒插入水中，则水面上升的 高度是多少？ 设水面上升的高度为 , 根据题意，得 ，解得 .所以水面上升的高度是 . 中考考法 31 10. 如图，甲、乙两个长方体容器 放置在同一水平桌面上，容器甲的底面 积为，高为 ；容器乙的底 面积为，高为 .容器甲中盛 满水，容器乙中没有水，容器乙的最下方装有一只处在关闭 状态的水龙头.现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水 . 中考考法 32 （1）容器甲中水位的高度每分钟下降 _____ ，容器乙中水位的高度每分钟 上升____ . 0.25 0.5 （2）当容器乙注满水时，求此时容器 甲中水位的高度. 【解】当容器乙注满水时，容器甲中水位的高度为 . 中考考法 33 （3）在容器乙注满水的同时，打开水龙头开始放水，水龙 头每分钟放水 .从容器甲开始向容器乙注水起，经过多 长时间，两个容器中水位的高度相差 ？ 中考考法 34 ①在容器乙未注满水时，设开始注水 ，容器甲的水位比容器乙的水位 高 , 由题意得 ，解得 ; ②在容器乙未注满水时，设开始注水 ，容器乙的水位比 容器甲的水位高 , 由题意得，解得 ; 中考考法 35 ③在容器乙注满水后，设开始注水 ，容器乙的水位比容 器甲的水位高 , 由题意得 ，解得 . 中考考法 36 综上所述，从容器甲开始注水起，经过或 或 ，两个容器中水位的高度相差 . 中考考法 课堂小结 利用一元一次方程解决一般几何图形问题 一般几何图形问题的大致类别 解决方案 等体积变形 以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解 等面积变形 以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解 等周长变形 以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解 $