精品解析：安徽芜湖市2025-2026学年度第二学期期末教学质量测评八年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末教学质量测评 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，4， C. 3，4，6 D. 1，3，4 3. 现有甲、乙、丙、丁四种机器人在性能测试中的平均成绩都是128分，方差分别是，，，，这四种机器人测试成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ ） A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B. 当AC=BD时，四边形EFGH是矩形 C. 当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形 D. 以上说法都不对 6. 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（ ） A. 38.4元 B. 48元 C. 39.6元 D. 57.6元 7. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的第一四分位数 B. 29是这20人年龄的第三四分位数 C. 31是这20人年龄的中位数 D. 这20人年龄的众数是5 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（ ）． A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 10. 下面有四个命题： （1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形； （2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； （3） 一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； （4）一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形. 其中正确命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 样本数据2，8，4，5，16的中位数是__________． 12. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 13. 如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，，则的最小值为__________． 14. 已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是______； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是______． 三、解答题：（本大题共9小题，共90分） 15. 计算： （1）； （2） 16. 已知与成正比例，且当时，． （1）求出与之间的函数解析式； （2）求当时的函数值． 17. 如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 18. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 19. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个苹果并编号为号到号，测得它们的直径（单位：）并制作统计图如图： 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果个，那么大果约有多少个？ 20. 如图，矩形中，，，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，连接，，，设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 21. 直线与轴、轴分别交于点和点，已知点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，为线段上一个动点，若，求此时点的坐标； （3）如图2，点是的中点，为直线上的一个动点，过作轴交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 22. 已知：四边形是平行四边形，点是边的中点，连接，过点作，垂足为点，交边于点，点是线段上一点，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交边于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点，连接、，若，，，请直接写出的长． 23. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末教学质量测评 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可． 【详解】二次根式有意义的条件是被开方数． 解得． 故选：B． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，4， C. 3，4，6 D. 1，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴1，4，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴3，4，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，3，4不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 现有甲、乙、丙、丁四种机器人在性能测试中的平均成绩都是128分，方差分别是，，，，这四种机器人测试成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】当各组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：∵四种机器人的平均成绩相同，方差越小，测试成绩越稳定， ， ∴甲的方差最小，甲的测试成绩最稳定． 4. 下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数． 【详解】（1）、（2）满足对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义； （3），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （4），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （5），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的定义，知晓函数的定义并且准确的判断出结论是解决本题的关键． 5. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ ） A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B. 当AC=BD时，四边形EFGH是矩形 C. 当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误； 当AC=BD时，EH=EF， ∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误； 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键． 6. 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（ ） A. 38.4元 B. 48元 C. 39.6元 D. 57.6元 【答案】C 【解析】 【分析】当时，设直线的解析式为，利用待定系数法求出，再求出当时的值即可． 【详解】解：当时，设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴， 当时，， ∴若该用户本月用水16吨，则应交水费39.6元． 7. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的第一四分位数 B. 29是这20人年龄的第三四分位数 C. 31是这20人年龄的中位数 D. 这20人年龄的众数是5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与性质，解答的关键是熟知一次函数的图象有四种情况： 当，，函数的图象经过第一、二、三象限； 当，，函数的图象经过第一、三、四象限； 当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 【详解】解：因为与， 所以时，两函数的值都是， 所以两直线的交点的横坐标为，故选项A、C不符合题意； 若，则一次函数与的图象都是随的增大而增大，且都交轴的正半轴； 若，则一次函数的图象中随的增大而减小，交轴的正半轴，的图象中随的增大而增大，交轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为； 故选项D符合题意，选项A不符合题意． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（ ）． A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据折叠的性质得到、、，设，用表示出、，最后在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：由四边形是矩形，， 则，，， 在中，由勾股定理得，， 由折叠性质可得：，，，， 设，则，故， 在中，根据勾股定理， 代入得：， 解得， ． 10. 下面有四个命题： （1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形； （2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； （3） 一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； （4）一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形. 其中正确命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的每一个命题进行推导，看是否符合平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即可选出答案． 【详解】解：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故错误； （2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故错误； （3）一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，能证明另一组对角也相等，故正确； 如图，∠ABC=∠ADC，对角线BD平分对角线AC， 证明：四边形ABCD是平行四边形． 证明：过点C作CE∥AB交BD于E，连接AE；如图所示： ∵CE∥AB， ∴∠BAC=∠ACE，∠ABE=∠BEC， 在△AOB和△COE中， ∴△AOB≌△COE（ASA）， ∴OB=OE， 在△AOE和△COB中， ∴∠AEO=∠CBO， ∴∠ABC=∠AEC， ∵∠ABC=∠ADC， ∴D、E共点， ∴OB=OD， 又∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． （4）一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，不能证明另一组对角也相等，故错误． 其中正确命题的个数有1个． 故选：A． 【点睛】考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键. 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 样本数据2，8，4，5，16的中位数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再确定最中间的数据即可得到中位数． 【详解】解：将样本数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，该组数据的个数为，是奇数， ∴中位数为排序后第个数据，即为． 12. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 13. 如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，作关于的对称点，连接，根据菱形对角线互相平分且垂直的性质，利用勾股定理得到，根据菱形的对称性得到，继而得到当三点共线且时，的值最小，即边上的高的长度，根据菱形的面积公式计算得到． 【详解】解：如图，设与相交于点，作关于的对称点，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，． ∵菱形的对角线是菱形的对称轴， ∴在上， 根据对称的性质，，则， 当三点共线且时，的值最小，即的长度， ∵， ∴的长度等于边上的高， ∵， ，， ∴， ∴的最小值为． 14. 已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是______； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由，即可求得定点的坐标； （2）求得直线与直线的交点，可知点所在的直线为，由点到直线的距离是定值可知，解直角三角形即可求得点到直线的距离． 【详解】解：（1）∵， 当时，得， 即不论为何值，当时，都有， ∴定点， 故答案为：； （2）由， 解得：， ∴， ∴点所在的直线为，且点到坐标轴的距离相等， ∴直线在第一、三象限的平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， ∵点到直线的距离是定值， ∴点所在的直线与直线互相平行， 即直线平移后得到直线， ∴， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过定点， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点坐标，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，确定定点的坐标是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9小题，共90分） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 已知与成正比例，且当时，． （1）求出与之间的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将代入，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 17. 如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明为的中位线，，得出，结合，得出四边形为平行四边形，再证明出，即可得证； （2）由菱形的性质可得，连接，证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 如图，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， ∴． 18. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件 （2）商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元 【解析】 【分析】（1）设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件，根据花费钱数和总件数列二元一次方程组，求出x、y的值； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元，列出一次函数，确定自变量a的取值范围，根据一次函数增减性确定a的值和最大利润． 【小问1详解】 解：设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件； 【小问2详解】 设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ，， w随a的增大而增大． 当时，利润最大，最大值为（元）． 故商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 19. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个苹果并编号为号到号，测得它们的直径（单位：）并制作统计图如图： 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果个，那么大果约有多少个？ 【答案】（1），， （2）甲 （3）个 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、方差、样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）先求出甲、乙的方差，然后根据方差越小，苹果大小越整齐求解即可； （3）用样本估计整体即可解答． 【小问1详解】 解：通过观察甲的数据可知出现的次数最多，故众数； 对乙的个数据进行排序为：，，，，，，，，，，出现最多的次数为76， 所以，中位数为，众数． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：， ， ，， ∵， ∴甲的方差比乙的方差小． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：（个）． 答：大果约个． 20. 如图，矩形中，，，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，连接，，，设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2）， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得到，当时，根据，，运用三角形面积公式得到；当时，根据，，运用梯形面积公式和三角形面积公式得到； (2)在线段与线段中，计算出端点， ，，描点、连线即可画出图象，再观察图象，可以写出函数的增减性； (3)当时，在中，得到，在中，得到，综合得到． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，． ， ． 当时， ， ， ． 当时， ，． 【小问2详解】 解：在中， 令，得， 令，得， 描出并连接点和点，即得函数在时的图象； 在中， 令，得， 描出，连接点和点，即得函数在时的图象． 函数图象、性质见答案． 【小问3详解】 解：当时， 在中， ， 解得； 在中，， 解得， ． 21. 直线与轴、轴分别交于点和点，已知点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，为线段上一个动点，若，求此时点的坐标； （3）如图2，点是的中点，为直线上的一个动点，过作轴交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出点的坐标，结合点坐标，再利用待定系数法求出的直线解析式． （2）根据、、三点的坐标求出的面积，结合已知条件即可求出的面积，从而求出的面积，观察图形，设，利用面积公式即可求出点坐标． （3）先根据中点求出长度，利用平行四边形的性质求出，结合平行的性质推出横坐标相等，利用纵坐标之差的绝对值为长度，设参数，列关于的关系式，即可求出横坐标，从而求出所有坐标情况． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， 时，， ． ， 设的解析式为，则，解得， 的解析式为． 【小问2详解】 解：直线与轴交于点， ， ， ． ，， ，， ． ， ， ． 在线段上，的解析式为， 设， ， ． ， ． 【小问3详解】 解：是中点，， ． 轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，和的横坐标相等． 在直线解析式上，在直线解析式上， 设， ， ， ， 或， 或， 或． 22. 已知：四边形是平行四边形，点是边的中点，连接，过点作，垂足为点，交边于点，点是线段上一点，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交边于点，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点，连接、，若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴是的中点， 又∵点是边的中点， ∴是的中位线，且与在同一直线上， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形， ∴为的垂直平分线， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，利用等量关系得，根据等腰三角形的性质可得是的中点，则可得是的中位线，进而可求证结论； （2）根据平行四边形的性质得，进而可根据平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质结合平行线的性质可得，，根据三角形内角和可得，可得为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质即可求证结论； （3）连接，作，垂足为点，作交的延长线于点，根据平行四边形的判定及性质可得，设，则，利用勾股定理的逆定理得为直角三角形，且，则可得，进而可得，利用可得，进而可得，根据，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接，作，垂足为点，作交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1） （2）①1；②1； （3）是， 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等知识，解题的关键是： （1），，则； （2）①先求出点、的坐标分别为：、，将点的坐标，，代入一次函数表达式得：，然后代入计算可； ②由①知，，，，则； （3）待定系数法求出直线的表达式为，设直线的表达式为：，联立方程组求出点，求出，，代入，整理得，即可求解． 即可求解． 【小问1详解】 解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 则； 【小问2详解】 解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 则， 解得 ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $