精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高二期末考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（　　） A. B. 4 C. 5 D. 4. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 180 B. 216 C. 326 D. 415 5. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 6. 已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 10. 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的方程为 C. D. 双曲线的渐近线方程为 11. 某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（ ） A. 若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B. 若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为 C. 若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为 D. 若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 13. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 14. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人． （1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关． 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 户外活动时间超过2小时 55 合计 60 （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，已知. （1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围; （2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为. （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点的坐标. 19. 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高二期末考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】， 得，故的虚部为3. 3. 已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（　　） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出x的值，再利用向量的运算求出的坐标，最后利用模长公式即可求出答案． 【详解】因为，所以 解得， 所以，因此，故选C． 【点睛】本题主要考查向量的坐标预算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质． 4. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 180 B. 216 C. 326 D. 415 【答案】A 【解析】 【分析】因为“每个社团至少1人、甲不参加围棋苑”，所以人数分配形式为2,1,1,1，可通过排除法或特殊元素优先法计数求解. 【详解】∵ 5名同学分配到4个社团，每个社团至少1人，每人仅参加1个社团，故人数分布为1个社团2人，其余3个社团各1人. 采用排除法计算： 无甲的约束时，总分配方法数为 . 当甲参加“围棋苑”时，需安排剩余4名同学到4个社团，满足所有社团至少1人，分两类计数： 剩余4人中无人加入围棋苑：4人分配到其余3个社团，方法数为 . 剩余4人中有1人加入围棋苑：剩余3人分别加入其余3个社团，方法数为 . ∴ 甲参加围棋苑的合法方法数为 . 故满足甲不参加“围棋苑”的总方法数为 . 综上，本题选A. 5. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：D. 6. 已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为是弦中点问题,可以用点差法,找到长半轴长和短半轴长之间关系,再根据焦距求出椭圆方程即可. 【详解】解:由题设,若椭圆方程为, 令直线与椭圆交点分别为,, 则有①,②, 两式作差可得：, 即, 易知,弦的中点,所以,, 因为直线：,所以, 故,所以, 又,, 解得,, 故的方程为. 故选:C 7. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 所以 ，选D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】两边取倒数，可得，可得是等差数列，逐项计算可判断其正误. 【详解】由，可得， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，则，故AB正确,C错误； 又， 则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的方程为 C. D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可. 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即. ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 11. 某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（ ） A. 若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B. 若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为 C. 若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为 D. 若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可解决；选项B，根据条件，利用条件概率公式，即可解决；选项C，根据条件，利用古典概率公式，即可解决；选项D，利用条件概率公式，即可解决，从而求出结果. 【详解】A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为， 所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故选项A的错误； B，第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为， 所以所求概率为，故选项B正确； C，因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为， 所以第2次取到党参的概率为，故选项C正确； D，至少取出一袋党参的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为， 所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 13. 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】通过判断函数在上单调递增、奇函数，脱掉“”，转化为恒成立问题，分离参数求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，故为奇函数， 若对任意的，不等式恒成立， 对任意的，不等式恒成立， 对任意的，恒成立， ， ，当且仅当时取等号， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了利用函数的单调性、奇偶性解不等式，同时考查了基本不等式求最值，属于中档题. 14. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解． 【详解】 点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人． （1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关． 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 户外活动时间超过2小时 55 合计 60 （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 10 45 户外活动时间超过2小时 25 30 55 合计 60 40 100 有关 （2）【解析】 【分析】（1）根据题意可得列联表，根据计算，与临界值表比较可得结论； （2）应用全概率公式计算求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 近视人数 未近视人数 合计 户外活动时间不足2小时 35 10 45 户外活动时间超过2小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． 【小问2详解】 设事件“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则 ，，且，， 则， 所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为． 16. 在中，已知. （1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围; （2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切的和角公式可得C，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可； （2）设中点为，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可. 【小问1详解】 由题意， 所以， 所以，所以， 易知，所以，则， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以 ， 由知，所以， 即的取值范围为； 【小问2详解】 设中点为，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 因为线段的中垂线交边于点，可知，所以， 则，解之得，此时，正切不存在，舍去； 或，解之得； 综上. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形得到线线平行，结合线面平行的判定定理即可完成证明. （2）结合直三棱柱的垂直特性建立空间直角坐标系，先由的垂直条件求出侧棱长，再求解平面的法向量，最后利用线面角的向量计算公式求解正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故 ，设 ． 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，且 ． 因为 ，故 即 ，故舍去， 故，，又． 设平面 的法向量为，则 所以，取 ， 故与平面 所成角的正弦值为 18. 如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为. （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）2，；（2），. 【解析】 【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可； (2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标. 【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为. (2)设，，，重心，令，，则. 由于直线过，故直线方程为，代入，得， 故，即，所以. 又由于，， 重心在轴上，故， 得， .所以，直线方程为，得. 由于在焦点的右侧，故.从而 . 令，则，. 当时，取得最小值，此时. 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 【答案】（1）当时，无零点； 当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； （2）（i）由（1）知，当时，仅有一个零点； 由的唯一零点为，则， 两边取自然对数得：， 即，两式相减得：， 可得， 设，则，因为，所以， 即是在上单调递增， 所以有，即数列是递增数列； （ii）先证明：时，， 构造，求导得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即，所以，即， 又因为，结合上面不等式有， 所以，又因为， 所以有， 即 再由可得：，当且仅当时取等号； 再由，得， 结合上式可得：，整理得：， 当且仅当时取等号， 当时，， 再由，得：， 所以有， 则， 当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用分离参变量，再构造函数求导研究单调性，然后结合取值规律，可得到零点个数的判断； （2）（i）利用递推及放缩思想，可得到，然后再利用函数的单调性可得到数列的单调性； （ii）利用，结合零点的条件进行放缩，，再利用裂项相消求和，从而原不等式可得证. 【小问1详解】 令，可得，设， 因为， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即， 又因为，，， 所以当时，无零点； 当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：（i）利用，再结合赋值相减可得递推关系，然后放缩，可得简化的递推关系，再结合函数的单调即可得证； （ii）关键是两个放缩思想，，,这两个式子都需要借助常用函数不等式来进行证明，最后利用求和思想即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $