云南楚雄州2025-2026学年下学期期末教育学业质量监测高二数学试卷

**基本信息** 以楚雄“四张世界级名片”“野生菌王国”等地方文化为情境，融合函数、几何、概率等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算（1题）、双曲线离心率（7题）、概率应用（4题地方情境）|基础巩固与概念辨析结合，多选第11题数列综合考查推理能力| |填空题|3题15分|向量数量积（12题）、二项式系数（13题）、条件概率（14题野生菌情境）|分层设问，14题结合生活实际考查数据意识| |解答题|5题77分|解三角形（15题）、椭圆综合（16题）、立体几何证明与二面角（17题）、统计概率（18题质点移动）、导数应用（19题）|综合性强，18题通过质点移动模型考查数学建模，19题导数多问设计体现思维进阶|

【考试时间：7月3日7:45~9:45】 2025–2026学年下学期期末教育学业质量监测 高二数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.若，则 A. B. C. D. 3.圆 与圆 的位置关系为 A.外切 B.内切 C.相交 D.相离 4.楚雄州拥有“世界恐龙之乡”“东方人类故乡”“世界野生菌王国”“中国绿孔雀之乡”四张世界级名片。已知有6位外地游客准备在四张名片对应的景点中各选1个进行参观，每张名片所选人数不限，则他们不都选同一张名片的参观方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.已知 ， ， ，则 的值为 A. B. C. D. 6.已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是 A.10 B.20 C.30 D.40 7.已知 是双曲线 的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8.已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥 外接球的表面积是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知 是函数的极大值点，则 A. B. C.有两个零点 D.是奇函数 10.设抛物线 的焦点为，过点 的直线与相交于两点，且， ，则 A.的焦点坐标为 B.的准线方程为 C. D.的面积为2（O为坐标原点） 11.已知数列 的前项和为 ，，，则下列结论正确的有 A.数列 是等比数列 B. C.数列 是等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量 ， ，则 的值为 ______. 13. 的展开式中， 的系数是 ______.（用数字作答） 14.楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称。某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）。若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为 ；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为 ；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为 。但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家。该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______（2分）；已知第一次没捡到，则第二次捡到乙山的概率为 ______（3分）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知的三个内角 所对的边分别为，。 （1）求； （2）设，，求的面积。 16. （本小题满分15分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为。 （1）求的标准方程； （2）过点的直线 与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求 的面积。 17. （本小题满分15分） 如图1， ，平面， 平面，平面平面。 （1）求证： ； （2）求证： ； （3）当时，求二面角的余弦值。 图一 18.（本小题满分17分） 如图2，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位， 次移动后到达的位置记为 。 图二 （1）写出时，的分布； （2）当时，求质点位于4的概率； （3）有47个质点从原点出发，6次移动后，有个质点到达位置4，当为多少时到达位置4的概率最大。 19.（本小题满分17分） 已知函数。 （1）当 时，求曲线在点 处的切线方程； （2）当 时，求 在区间 的最大值与最小值； （3）当 时，判断 是否有极大值与极小值，并说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $