精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末素质测试数学试题

绝密★启用前 玉溪一中2024—2025学年下学期高二期末素质测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（ ） A. 10.5 B. 10.6 C. 10.65 D. 10.7 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 一个函数的极大值一定大于极小值 B. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C. 函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D. 若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 11. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，则________. 13. 函数的单调递增区间是________． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则________旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）当，求异面直线与所成角正弦值． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 17. 设，是抛物线：上异于原点的两点，且，直线与x轴相交于E. （1）若P，Q到x轴的距离的积为4，求抛物线的准线方程； （2）F是x轴上的点，直线与抛物线交于另一点，直线与轴相交于，若，求. 18. 2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况. （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 19. 设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列． （1）求证：； （2）求证：； （3）把用表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网组卷网 绝密★启用前 玉溪一中2024一2025学年下学期高二期末素质测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条 形码， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答 题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若复数2满足1-i)=3+i(4是虚数单位)，则z=《) 2+i A. B.2-i c1+2i D.1-2i 【答案】C 【解析】 第1页/共24页 6学科网命组卷网 【分析】由复数除法运算即可求解。 3+i3+i01+0_2+41=1+2i 【详解】由题意2=1-i1-11+2 故选：C. 2.某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9,10.7,10.4,10.0， 10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6,则这10枪成绩的上四分位数是() A.10.5 B.10.6 C.10.65 D.10.7 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的计算步骤求解即可. 【详解】将这10次成绩从小到大的顺序排列如下：9.8,9.9,10.0,10.4,10.5,10.5,10.6,10.7,10.7， 10.9, 因为10×75%=7.5，所以该组成绩的上四分位数为排序后的第8个数字10.7. 故选：D 3.若A={x1≤x≤3头，B={>,则4nB=（) A{1<x≤3} B.{x1<x< c.{x≤x≤3} D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算知识即可求解 【详解】由B={>={x>1或x<-} 所以4nB=I≤x≤3到n{<-l或r>={<x≤3.放A正疏 故选：A 4.己知数列a}满足4=1,01=20，+1，则4，=（) 第2页/共24页 6学科网命组卷网 A.31 B.32 C.63 D.64 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意构造等比数列，利用等比数列的定义得到0，=2”一1 再代入求出即可 【详解】因为0,1=2a,+1,所以设9，+×=70+X 则01+x=2a,+2x,即01=2a,+ ,解得x=1, 得到0+1=2，+0，而4=1， 故首项为4+1=1+1=2 可得《a+1是首项为2，公比为2的等比数列， 放0，+1=2x2=2,即0，=2”-1，则4，=2°-1=31，放A正确 故选：A C: 5.已知椭圆C:4+3=1的左、右焦点分别为F,5,设O为坐标原点，A为C上一点，若△AF5的 面积为2，则0A=() 13 W17 19 2 B. 2 C.2 D.2N2 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积求出点A的纵坐标，代入椭圆可出A的坐标. 【详解】c2=a2-b2=4-3=1.F(-1,0)E(1,0),EE=2 段4u,则5s号FH川-x2x川=月 第3页/共24页 6学科网列组卷网 .m2,n2 =1, 43 9 - ,9_13 0A=Vm2+n2=1+ 42￥ 故选：A 6.函数f(x)=10(x+1e+1的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负得出函数的单调性结合零点存在定理得出零点个数 【详解】函数f(=10(x+1)e+1.f'(x)=10e+10(x+1)e=10(x+2)e 当x∈(-0，-2)，f'(x<0,(x)单调递减： 当x∈(-2，o),f'(☒>0，f()单调递增， f8以-f-2)-=0(-2+0e+1=-9+1<0, →/闭→-3)-2010 所以∈(3-2)，f()=0,3x∈(-2，+∞)，fx)=0 所以函数f)=10(x+1e*+1的零点个数为2 故选：C. 第4页/共24页 6学科网 命组卷网 7.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在一个球面上且PA⊥平面ABC,AB=AC=PA, ∠B4C=120,且底面4ABC的面积为2V5 则此三棱锥外接球的表面积是() 40W10元 A.16元 B.3 C.40元 D.64π 【答案】C 【解析】 【分析】利用△ABC AB,AC 的面积计算边 ，利用正弦定理得△ABC 外接圆的半径，最后利用勾股定理 求得外接球的半径R，进而得球队表面积 【详解】设 AB=AC=PA=m,因为 ∠BAC=120° 1 所以2 ×m×m×sin◆120°=2V3 ,m=2V2, 2W2 而∠ACB=30°，所以sin30° =2r(,于是是△4BC外接圆的半径)，r=22, 如图所示 记点0为△1BC的外接圆的圆心.且OA=2V2 过点O作OD⊥平面ABC,作PA的中垂线交于点D, 故点D为三棱锥P-ABC的外接球的球心， 第5页/共24页 学科网命组卷网 所以R2=DA2=A02+0D2=(22+(V2=10 所以S=4π(N10=40m, 故选：C 8.在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？() 小网丝系法 蝴蝶结系法 B 爱心串系法 小蜜蜂系法 【答案】C 【解析】 【分析】根据数学知识在生活中的应用，可得答案 【详解】在保证鞋带系紧的前提下，我们需要考虑的是每种系法中鞋带的交叉和打结方式，以及这些方式 如何影响所需鞋带的总长度， A.小网丝系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成多个交叉点，每个交叉点都需要一定的鞋带长度来完 成此外，最后还需要打一个结来固定，这也会消耗额外的鞋带. B.蝴蝶结系法：这种系法在鞋面上形成了一个明显的蝴蝶结形状，这需要鞋带在鞋面上进行多次交叉和缠 绕虽然蝴蝶结看起来美观，但这种复杂的交叉方式会使得所需鞋带长度增加 C.爱心串系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成了一个心形图案，但交叉点相对较少，且心形图案的 构造相对简单，不需要过多的鞋带进行缠绕此外，这种系法在完成心形图案后，可以直接打结固定，不需 要额外的鞋带长度 D.小蜜蜂系法：这种系法在鞋面上形成了一个类似蜜蜂翅膀的图案，需要鞋带进行多次交叉和缠绕虽然 这种系法也很美观，但与爱心串系法相比，它需要更多的鞋带来完成图案的构造 故选；C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 第6页/共24页 学科网命组卷网 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法错误的是() A.一个函数的极大值一定大于极小值 B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C.函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D若函数(~)在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足f'(:>0 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断。 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如f()=x+ ,在x=-1处有极大值-2，在x=1处有极小值2，极大值小于极小值，故A错误： X= 对B选项：函数y=sinx在2处的切线为y=1,与y=sinx有无数个公共点，故B正确： 对C选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C 错误： 对D选项：函数（☒）在菜个区间上单调递增，则它的导西数在该区间上满足了()20，故D错误 故选：ACD 10.下列说法正确的是() A若l同=2,162，则a>i B.在△MBC中，若AB=AC,BC=4,则BABC=8 C已如向量a=2-),6=x小，a与6的夹角为t角，则实数：的取监范胆是0，-2U(2) D.已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边，则“sinA>sinB”的充要条件是“A>B” 第7页/共24页 命学科网组卷网 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,向量不能比较大小；对于B,利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断： 对于C,利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D,由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断 【详解】对于A,因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误： 对于B, osx2-8 故B正确： ab<0, 2x-1<0, 对于C,由ā6≠-6，即2x-1≠-5xVx2+1, 解得x(0，-2U 故C正确： b 对于D,由正弦定理sin A sin B,可知sinA>sinB台a>b台A>B,故D正确， 故选：BCD 11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过 2√3 线的另二个焦点已知双曲线C:石-久=11>0的离心率为3，左、右焦点分别为E,E,点 4≥0)在c上0 6 点D0,)在直线4B上，则下列说法正确的是（） x2 y xx0_y0=1 附：双曲线a。=1(a>0,b>0)在其上一点(，)处的切线方程为-广 A.FF=2V2 B.Yol=-2 第8页/共24页 命学科网命组卷网 C作FH LAB于点H,则lOA=V6(0为坐标原点) D若45的延长线交C于点G,则△1C 的内心在定直线上 【答案】BCD 【解析】 【分折】设点A在第一象限，根据离心率求出Q=25,可得选项A销误：根据k6=k加得 -1+6:=6%,结合双曲线方程可得B正确：分析得直线1B与双曲线C相切，A是切点，结合等腰三 Al,GI A,G 角形性质及双曲线定义可得选项C正确：分析得直线 是双曲线的切线，切点分别为点，联立 两切线方程表示点I坐标可得选项D正确 【详解】设双曲线C的半焦距为c(©>0)，根据双曲线的对称性，不妨设点A在第一象限， 对于4，由题意得0=6，e=-25 a3,解得c=2v2, 故F=2c=4W2,元=c2-a2=8-6=2,A错误 对T,可和网有有m坐为小k6可.成56，号5， .直线AB的斜率存在， 点D(0,)在直线AB上，：k8=k0, y。-0_0-t 66-0,则-+6=6% :.0x00 各空=.63-6，放方+6+6=6，得解对=-2.做8路 第9页/共24页 6学科网列组卷网 少必=1，切线斜率为3，： Xo 对于C,由题意得，点A(x,%)处的切线方程为62 kB=h-0=%-⅓= _6号-633%，故直线，n与双曲线。相切，4是切点 X0- AB A 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则AD平分F45,延长FH,与1S的延长线交于点E,连接OH, 则△AE为等腰三角形，A=AE,F川=H :0为F5的中点，H为FE的中点。 0mE-F)-(4F5I-4EI)-a-/6 故C正确 对于D,记△1G的内心为1，则A!是1的平分线，G1是FG邵的平分线， 由选项C可得，直线，G1是双曲线的切线，切点分别为点4，G,设G(:,片)， 第10页/供24页 6学科网命组卷网 xox_Yoy=1 xx_yy=1 则直线A1的方程为62，直线G1的方程为62， 联立两式。解得 6y-()】 Xoyi-XYo 由c=22得，F(2V2,0),设直线45：x=mw+2W2, 6(y-) 3W2 则(9式可化为(，+22-+22)，即点，在定直线x 32上，故D正确， 2 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若向量a=(2,-),b=(,),且ā16，则2= 【答案】-2 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算即可求解 【详解】因为向量a=(2,-),b=(亿，)，且ā/6， 可得-九=2×1，解得入=-2 故答案为：一2 13.函数y=3sin2r-V5c0s2x的单调递增区间是 【答案】 ，km+ 6 ,k∈Z 3 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简，再应用正弦函数的增区间计算求解. 【f解1两数=3in2x-V5cos2r=25n（2x- 第11页/共24页 学科网命组卷网 +2kmS2x-Z≤T+2km,k∈Z -T+kmsx≤T+km,k∈Z 所以2 62 ,所以6 3 所以函数∫(x)的单调递增区间是6 [+a+ke乙， 故答案为： 14在平面直角坐标系x0中，将函数(x的图象绕坐标原点逆时针旋转a(0<a<180)后，所得曲 线仍然是某个函数的图象，则称()为“：旋转函数”，则y=2” 90° 旋转函数（填：“是” 或者“不是”)：若)= x是45°旋转函数，则a的取值范围是」 【答案】 ①是 ②[-2e3,0] 【解析】 【分析】求出旋转后所得图象对应的解析式，结合题中定义判断即可：对任意的b∈R,方程 x+b=alnx b=alnx-x alnx -x x至多一解，即x“至多一解，且函数 8(x)= 为单调递减函数，可知 g()0恒成立，结合参变分离可求出实数的取值范围 【详解】在旋转后所曲线上任取一点P(x）,旋转前点P对应的点为P'(父)， 不妨设lOP=r,设点P'(rcos8,rsin0)）,即x=rcos0,y=rsin0 将函数f()的图象绕坐标原点逆时针旋转a(0<α<180)后， 可rmo引》 即点P(-rsin0,r cos 0), 第12页/供24页 命学科网命组卷网 x=-rsin=-y'y=rcos=x' 即 因为广=2，可得-x=2'变形可得y=10g2(←)，曲线y=1g,()为函数， 所以，y=2▣90° 是 旋转函数； 若函数/(x)al血r x是45°旋转函数，将函数 (x)=al x的图象绕着原点逆时针旋转45°后， 不存在与x轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象1个以上的交点， 政不存在直线y=x+b与函数(x) x的图象有两个交点， +b=alnx b=alnx-x 即对任意的b∈R,方程 x至多一解，即x 至多一解， 四三a数，时3-咖 x2 因为8'（©）=-1<0，故8()≤0对任意的x>0恒成立， 即+alnx-a≥0 对任意的x>0恒成立， 当4=0时，则≥0对任意的>0恒成立，合乎题意： 1-nxs1 当a>0时，则x2a, 令()=1 r,我中r>0,则)=21nx-3 x3, 由h(x)<0可得0<x<e2,由h(x)>0可得x>e2, (3 所以，函数h(x)的减区间为 0,e2 增区间为 2,+0 第13页/供24页 6学科网命组卷网 2e,且函数h(x)无最大值，所以此时不合乎题意： 11-Inx 当a<0时，则a ,时，a≤2元，解得-2c≤a<0 综上所述，实数a的取值范围是[-2e',0] 故答案为： [-2e3,0] 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15如图，在三棱柱MBC-4B,C中，侧棱垂直于底面，ABLBC,E,F分别是4C,BC的中点. E B B 1)求证：AB上平面BBCC. (2)当MB=BC=B8=2,求异面直线AE与FC所成角正弦值 【答案】(1)证明见解析 6 (2)6 【解析】 【分析】(1)依题意可 B8上AB.结合AB⊥BC,即可得证， (2)取AB的中点M,连接MF、EM,即可证明 MEFC,从而得到∠AEM为异面直线AE与 第14页/共24页 6学科网列组卷网 FC 所成角，再由锐角三角函数计算可得 【小问1详解】 E C M B 在三枝柱18C-4BG中，侧楼垂直于底面， 即BB1平面ABC,ABC平面ABC,所UBB上AB 又AB⊥BC,BBOBC=B,BB,BCC平面B,BCC AB上平面 B BCC 【小问2详解】 取AB的中点M,连接MF、EM, 因为E,F分别是4G,BC的中点， 所以MF∥AC且 MF-AC FCUACNEG-TC MFEC且MF=BC,所以四边 故得 MFCE为平行四边形， ME/FC,放∠AEM为异面直线AE与FC所成角， 所 又1B=BC=BB=2,则AM=1, 由1)AB⊥平面BBCC.FGC平面BBCC,故AB LFC, 第15页/供24页 命学科网列组卷网 园MEIFC,则AB⊥EM. 又c=2+(2-6,所以sin∠AEM=4h-2-6 AE6 6, √6 故异面直线AE与FC,所成角的正弦值为6. 16已知函数/(=号+2-6r+4 2 1)求(？)的单调区间： 2)求()在区间[0,3]上的最大值 【答案】(1)答案见解析 17 (2)2 【解析】 【分析】(I)利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间： (2)利用()的结论，可判断函数()在区间[0,3习]上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即 得函数最大值， 【小问1详解】 由号-6+4 求导得：f'(x)=2x2+x-6=(x+22x-3). 3 3 由f()0可得2<x<2.由f()>0可得r<-2或> > 故函数∫(x)的单调递减区间为 2, 单调递增区间为(-0，-2)和气+0） 【小问2详解】 第16页/供24页 6学科网 命组卷网 3 3 由山已得数了()在2宁上单调道诚，在行+四) 上单调递增， 因e收四e0号：政.号 3 上单调递增， z0=4f3)号x3+x-6x3+4- 2 17 故当x=3时，函数f(x)取得最大值为2. 17.设P(,）,(,)是抛物线C:y广=2px(p>0)上异于原点0的两点，且 P@PO-POP-O0,直线P吧与x轴相交于E (1)若P,Q到x轴的距离的积为4，求抛物线C的准线方程： (2)F是x轴上的点，直线PF与抛物线交于另一点R,直线R与x轴相交于T,若R=3D,求 OF (2)3 【解析】 第17页/供24页 命学科网 命组卷网 【分析】(1)利用数量积的坐标表示可得+少一0，再结合抛物线方程求出P即可 P吧、PR与抛物线的方程，结合已知求出 E,F (2)联立直 的横坐标关系即可得解， 【小问1详解】 由P而P-00,得-x,y-)(-)=G-x+--(+) ∫2=2px 煞理得X+y,=0:又=2，’则4之+=0 而水 0,因此=4p,由P,Q到轴的距离的积为4，得上4，则P=1 X=一 所以抛物线C的准线方程为： 2 【小问2详解】 i设T,0),Rs).E(e,0).Ff,0) 由欣=30，得为=3y, [x=my+e 设直线PQ方程为：x=my+e,由y2=2px消去x得y2-2mpy-2pe=0,则y2=-2pe, 设直线PR的方程为：x=w+∫，同理得5=-2p旷，则34=-2旷 loF_If1=3 所以f=3e,lOE|el 18.2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封 神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛 的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”根据已报名的学生资料统计，有5 的学生学过围棋，将频率视为概率 第18页/供24页 6学科网 命组卷网 (1)从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为X,求X的分布列与数学期望E(X): (2)经过海选，最终决定2、Q,、0,、Q、Q,、L。、L,、0八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预 赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜 的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠车，负者为亚军。已知巴巴这7位棋手互相对弈时。 3 获胜概率均为2,9棋手与其他棋手对奔时，马获胜的概率为4，每局对弈结果相互独立，无和棋情况 冠军 决赛 半决赛 预赛之凸 ①②③④⑤⑥⑦⑧ 《1)求棋手0最终夺冠的概率： (i)求棋手，与巴 有过对弈且最终 获得亚军的概率 【答案】(1)分布列： X 0 1 2 3 8 36 54 27 125 125 125 125 9 E(X)= 5 37 37 (2)(1)448:(ii)448 【解析】 【分析】(1)首先根据题意得到X的可能取值为0,1,2,3，，再分别求出概率，列出分布列求出数学 期望即可， 第19页/供24页 6学科网列组卷网 (2)(1)由题意可得Q夺冠的概率为4， 再求棋手Q,最终夺冠的概率： （i)记事件M=.获得亚军”，事件N=.巴与巴对弈过”，事件N,=.巴与巴在第轮对 弈”，(=l2,3),则P(N)=P(N,)+P(,)+P(MW,)进行计算即可 【小问1详解】 3 2 由题意得，每位报名选手中学过围棋的概率为5，则没有学过围棋的概率为5， 随机抽取3人，用随机变量X表示3人中学过围棋的学生人数，则X可能的取值为0,1,2,3， Px-0-c[g-s.Ptx--c图- Px-2-c得〔-.Px=)-c 所以，X的分布列为 X 0 3 8 36 54 27 125 125 125 125 8 36 54 279 E(X)=0 +1· +2. +3 125 125 125 1255. 【小问2详解】 (i)由题意得： 2八名运动员各自夺冠的概率之和为L, 02Q夺冠概率相同， 33 27 37 2夺冠的概率为 4 64， 即,最终夺冠的概率为7× 27 6 448 第20页/共24页 6学科网命组卷网 （i)记事件M=.巴获得亚军”，事件V=.巴与2对弈过”， 事件N=0与9在第轮对弈”，(=1,2,3) (MN)=P(MN)+P(MN:)+P(MN,) 不妨设巴在①号位，则 aL,在第1轮能与巴对弈的位置编号为0， b.L在第2轮能与巴对弈的位置编号为③或④， cL:在第3轮能与巴对弈的位置编号为⑤或⑥或⑦或⑧， 43131327 P(MN)=7×4X2x42*448: 1,3.2737 综上所述： P(MN)-1i2+22444848 19.设等比数列： a,PP,,Pb,9,9,,9,C的公比为g,其中8‘都为正奇数，ab,C构成单调递 增的正项等差数列。 (1)求证： la>1 (2)求证：S>t: （3)把BPP,4…9用4Cs,表示. 【答案】(1)证明见解析 第21页/供24页 命学科网命组卷网 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【解析】 【分析】(1)将公比用a,b表示出来，再结合a,b,c构成单调递增的正项等差数列，可以证明： a+d a+2d d2 (②)设等差数列a.6c的公差为d,进而推导出a-a+daa+d之0，从而g1g, 再由4>1，能证明s>1: （3)设+1+3个数所构成的等比数列为a,}.则4=a,a:=b= 2,043=c ,由 a0+4-k=aa+3=aC(k=2,3,4,,S+t+2) 可 得 a4aa=(o.0w.)o.z)-(aaa)aea,）=ay.g-合0，g=g0 a b,由 S,t 都为正奇数，则既可为正数，也可为负数，由此能求出结果 【小问1详解】 由题意知 a,又b>a>0,可得 a, 所以4”>1，又5+1是正偶数，所以4>1 【小问2详解】 m=b-atd g=￡=a+24 设等差数列a,b,c的公差为d,由题意得 aa, b a+d, a+d a+2d d2 >0 又a>0,d>0,故aa+da(a+d), a+d、a+2da+2d >0 可得aa+d,又a+d,又s+l,t+l都为正偶数， 第22页/共24页 命学科网命组卷网 故q>g>0,即4”>g” 又由(1)的结论得， 4>1,故有s+1>1+1,即s>t. 【小问3详解】 设5+1+3个数所构成的等比数列为a,}, 则4=a,a+2=b=a+c 2,0+143=C, 由40,4=a0,3=ac=23,45++2),可得， (a,a…a,+2)P=(a20+2a3a4i）…(a4143)-(a+2a）=(ac)1 x9名0.g=80 a b,由S,t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数. 2 S+1+1 s+1+1 若9为正数，则a,a…a,+2=(ac)2,插入的s+t个数的乘积为a+c (ac）2 S+t +1 若q为负数，2，a3,…,Q+2中a2,a4,…,a+2为负数，即共有2个负数， + ++ 3+1+ 故a,4,…a+2=(-l)2(ac)2,所插入的s+t个数的乘积为a+ 2（'(ac)2 2 8+1+1 综上所述，当9为正数时，PP2…P,992…9,为a+ -(ac）2 s+1+1 4为负数时，B2,…p.g4,…9为可212二ac更 a+c 【点睛】易错点睛：本题主要考查等差数列、等比数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事 项： (1)根据所要证明问题的结构，通过变形等手段将题意正确的表示出来： (2)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点，由此要注意角标的范围： 第23页/共24页 6学科网6组卷网 (3)有多种情况时，应逐一讨论，做到不重不漏 第24页/共24页