精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区某校2025-2026学年第二学期高二第三次质量检测数学试卷

凤翔中学2025-2026学年度第二学期高二年级第三次质量检测数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案. 【详解】按工厂接收的女生人数分类， 第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择， 再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择， 故有种分配方法； 第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列， 有种分配方法． 综上，不同的分配方法有种． 故选： 2. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；  由正态分布的对称性：，，C正确；  ，而，所以，因此，D错误 3. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x是负相关关系 C. 该回归直线必过点 D. x增加1个单位，y一定增加2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定数据及回归方程求出样本中心点，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，， 由，解得，A错误； 回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误； 由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确； 由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误. 故选：C 4. 设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 解得. 所以. 5. 在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为，.假设每次信号的传输相互独立.当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析事件包含的所有情况，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的乘法公式即可求得. 【详解】时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000. 则. 6. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两类： ①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法； ②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有种方法， 由分类计数原理得，共有种不同的差法. 故选：C. 7. 下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解. 【详解】由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以； 由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现不相关，所以； 由散点图（3）可得，变量与变量之间负相关，所以，所以. 8. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 解得，所以， 则． 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第8行所有数字之和为256 C. D. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 【答案】AB 【解析】 【详解】， 所以，A正确； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，B正确； ，C错误； 第行数字的最大值为，第行数字的最大值为， 则，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量，则 B. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C. 设随机变量服从正态分布，则 D. 从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项 A，二项分布概率公式求解；选项 B，服从超几何分布求解；选项 C，正态曲线求解；选项 D利用期望的线性性质求解. 【详解】选项 A，因为，则， ，故，A 正确； 选项 B，服从超几何分布，总球数 8 个，取 2 个，则， ，，即，B 错误； 选项 C，，正态曲线关于对称，因此， ，C 正确； 选项 D，集合为，共 6 个元素，任取 3 个的总组合数为， 利用期望的线性性质：每个元素被选中的概率均为，因此 ，D 正确. 11. 下面关于的说法错误的是（ ）． A. 在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B. 的值越大，两个事件的相关性就越大 C. 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推定两类变量不相关 D. 的计算公式是 【答案】ACD 【解析】 【分析】只适用于2×2型列联表问题，且只能推定两个分类变量相关，但不能推定两个变量不相关． 【详解】解：只适用于型列联表问题，A选项错， 的值越大，两个事件的相关性就越大，B选项对， 只能推定两个分类变量相关，但不能推定两个变量不相关，C选项错， 的计算公式是，D选项错， 故选：ACD． 12. 一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ） A. 若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B. 若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C. 若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D. 若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断. 【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故A正确； 对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列，符合超几何分布，故B正确； 对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误； 对D，取出的白球为3和4，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 【答案】11.6 【解析】 【详解】由题意，经验回归方程经过点， 则得，解得，所以． 当时，， 则． 14. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由回归直线方程可得：，解出即可求解． 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 15. (x+1)(x+2)⁶展开式中x³的系数是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘法分配律将 拆分为两项 ，结合二项式定理分别计算两项中对应的系数，即可求得的系数. 【详解】 , 设 展开式通项为，那么 , 令,得 ,,即 展开式中的项， 令,得 ,，故 展开式中项为， 所以，的系数为. 【点睛】 16. 现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，对四棱锥的个面进行着色. 可先给底面选一种颜色，有种选择， 再对侧面和侧面进行着色， 若侧面和侧面同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面各有两种选择， 因此，有种着色方法； 若侧面和侧面不同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面只有一种选择， 因此，有种着色方法. 综上所述，共有种着色方法. 四、解答题：（本题共5小题，共66分．17，18，19每题12分，20，21每题15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】（1）480 （2）360 （3）540 【解析】 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【小问1详解】 第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 18. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】（1）； （2）kg. 【解析】 【分析】（1）直接根据最小二乘法估计求回归方程； （2）直接根据回归方程计算预测值. 【小问1详解】 由题知，， ， . ，. 综上，y关于x的线性回归方程为：. 【小问2详解】 由（1）知回归方程为. 所以当时，. 故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为kg. 19. 近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ （2）现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为经常使用AI技术与年龄有关联； （2）的分布列为： 1 2 3 数学期望； 【解析】 【分析】（1）利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取超过40岁、不超过40岁人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 零假设为：是否经常使用AI技术与年龄无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常使用AI技术与年龄有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 超过40岁抽取人数为，不超过40岁抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以. 20. 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大； （2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差. 【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，. 【解析】 【分析】（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可； （2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得解. 【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个， 甲通过自主招生初试的概率 参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试. 在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为， 乙通过自主招生初试的概率 ，甲通过自主招生初试的可能性更大. （2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4. 且 的概率分布列为： 0 5 10 15 20 . 【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 21. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）5 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和的公式求； （2）利用赋值法求各项系数的和； （3）根据通项公式，求有理项． 【小问1详解】 由题意有，解得； 【小问2详解】 时，， 则展开式中各项系数的和为； 【小问3详解】 二项式展开式的通项为 ，当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年度第二学期高二年级第三次质量检测数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 2. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x是负相关关系 C. 该回归直线必过点 D. x增加1个单位，y一定增加2个单位 4. 设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为，.假设每次信号的传输相互独立.当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 7. 下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第8行所有数字之和为256 C. D. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量，则 B. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C. 设随机变量服从正态分布，则 D. 从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 11. 下面关于的说法错误的是（ ）． A. 在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B. 的值越大，两个事件的相关性就越大 C. 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推定两类变量不相关 D. 的计算公式是 12. 一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ） A. 若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B. 若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C. 若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D. 若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 14. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________． 15. (x+1)(x+2)⁶展开式中x³的系数是____________________. 16. 现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 四、解答题：（本题共5小题，共66分．17，18，19每题12分，20，21每题15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 18. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 19. 近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ （2）现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大； （2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差. 21. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）求展开式中所有的有理项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $