精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区某校2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试卷

凤翔中学2025-2026学年度第一学期高二年级 第三次质量检测数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 九棱柱的棱数为（ ） A. 10 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱的特征得到答案. 【详解】九棱柱上下底面均为九边形，侧棱有9条，故棱数为． 故选：D 2. 已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（ ） A. B. C. －3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】圆心，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直关系可得答案． 【详解】因为圆的方程为：，化为标准方程得：， 所以圆心为，半径， 直线恒过定点， 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大， 由斜率公式得直线的斜率为：， 由垂直关系的斜率公式得：，解得， 故选：B． 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程. 【详解】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为． 故选：C． 4. 若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 5. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 6. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合的关系可得，即可求解离心率. 【详解】椭圆的短轴长是焦距的倍， ，即， 则，即，则， 椭圆的离心率为. 故选：B. 7. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数的值. 【详解】因为共面，所以存在实数对,使得, 即， 所以解得 故选：D． 8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当E为的中点时，平面 D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，，不垂直，A错误； 对于B，三棱锥的体积，B正确； 对于C，，，而， 即不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误； 对于D，，设平面的法向量，则， 取，得，与平面所成角的正弦值，D正确. 故选：BD 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积. 【详解】由已知，得， 则，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为. 故答案为：. 14. 已知实数，满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：表示圆上的点与原点所在直线的斜率，求出过原点与圆相切的切线的斜率，即可得解． 法二：设，利用直线与圆的位置关系得解. 【详解】法一：方程表示圆心为，半径为的圆， 表示圆上的点与原点所在直线的斜率， 设其为，故此圆的切线方程为， 再根据圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 所以的取值范围为． 法二：设，即，所以点既在直线上，又在圆上， 所以直线与圆有交点，故，解得， 故答案为：． 15. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线方程为，利用双曲线过点，求出，即可得出双曲线方程． 【详解】设双曲线方程为， 双曲线过点，， ， 故所求双曲线方程为：，即， 故答案为： 16. 已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则______ 【答案】32 【解析】 【分析】由题意可得直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，，最后利用焦半径公式求解即可. 【详解】因为，即， 所以， 又因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 由，得， 设， 则， 所以， 由焦半径公式可得. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共66分．17，18，19每题12分，20，21每题15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线所过点求得抛物线的标准方程. （2）写出直线的方程，并与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得. 【小问1详解】 抛物线经过点， 设抛物线的方程为，则， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，消去并化简得， ，所以. 18. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 19. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知椭圆的焦点在轴上，且，，进而可得以及椭圆方程； （2）设椭圆方程为，代入点运算求解即可. 【小问1详解】 根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 20. 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程； （2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为， 又因为在双曲线上，所以 ，所以， 所以双曲线的方程为：，渐近线方程为； （2）设，所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以弦所在直线的方程为：，即. 【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则. 21. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明线面垂直，进而得到面面垂直. （2）在底面上建立平面直角坐标系，利用得到的边长，结合底面，得到四棱锥的外接球与以、、为长、宽、高的长方体的外接球相同，求出长方体外接圆半径，进而求出表面积. （3）结合底面，采用等体积法计算即可. 【小问1详解】 因为底面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知平面，因为平面，所以， 在底面上建立如图所示的平面直角坐标系，所以． 设，又，为的中点，所以，，，． 从而． 所以，即. 因为四棱锥的底面是矩形，底面，所以四棱锥的外接球就是长、宽、高分别为、2、2的长方体的外接球， 所以四棱锥外接球的半径， 所以四棱锥外接球的表面积； 【小问3详解】 三棱锥的体积为:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年度第一学期高二年级 第三次质量检测数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 九棱柱的棱数为（ ） A. 10 B. 18 C. 24 D. 27 2. 已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（ ） A. B. C. －3 D. 3 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 6. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 11. 已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当E为的中点时，平面 D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 14. 已知实数，满足，则的取值范围是________． 15. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______． 16. 已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则______ 四、解答题：（本题共5小题，共66分．17，18，19每题12分，20，21每题15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长. 18. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 19. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 20. 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 21. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $