山西长治市上党区第一中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷涵盖集合、函数、立体几何等核心知识，以征文活动统计、四棱锥与球等真实情境为载体，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，适配高一学段综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数、函数奇偶性|基础概念辨析，如第5题以下四分位数考查统计直观| |多选题|3/18|函数图像、概率独立性|选项分层设计，如第10题辨析独立事件与抽样公平性| |填空题|3/15|直线平行、最值、几何体体积|第14题结合正三棱柱转动考查空间体积转化| |解答题|5/77|统计图表、三角函数、立体几何、概率|第15题以建党105周年征文为情境，第17题用空间直角坐标系求球心坐标，体现应用与探究|

上党区一中高一2025-２０２６学年第二学期期末考试 数学学科试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2． 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则复数为（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A. B. C． D． 5．从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（   ） A．123 B．90 C．126 D．88 6．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（    ）    A． B． C． D． 7．已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列图象中可以作为函数图象的是（    ） A． B．   C．   D．   10．下列说法正确的是（   ） A．小付同学本学期参与了次数学考试，则事件“至少有次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件 B．若，，，则事件与事件相互独立 C．高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、，则 D．若，，则 11．在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．存在，其面积为1 C．的取值范围是 D．边上的中线长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线：与直线：平行，则实数________. 13．若，则的最大值是______． 14．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___； _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； (3)根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 16．（15分）设． （1）求的最大值及取到最值时的取值集合； （2）求的单调区间； （3）若锐角满足，求的值. 17．（15分）如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系. (1)求球心的坐标； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 18．（17分）抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为号和号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率： (1)“两个点数之和是5”； (2)“两个点数相等”； (3)“号骰子的点数大于号骰子的点数”． 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，. (1)求证：平面PAD： (2)设点G是的重心. （i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值； （ii）设平面，求。 试卷第1页，共3页 高一数学第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学期末》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B D B C A ACD BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】，， ， 故选：A. 2．B 【详解】. 故选：B. 3． D 【详解】由，则， 所以. 故选：B 4．B 5．C 【详解】由题意， 所以下四分位数为， 故选：C 6．B 【详解】由题意得 , 结合可得， 故， 故选：B 7．D 【详解】设直线的倾斜角为，则， 故角的取值范围是. 故选：D. 8．A 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选A. 9．ACD 【详解】根据函数的定义，对于B中存在一个的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象， ACD符合函数定义． 故选：ACD. 10．BC 【详解】对于B选项，因为，，则， 因为，则事件与事件相互独立， 故事件与事件相互独立，B对； 对于A选项，小付同学本学期参与了次数学考试， 则事件“至少有次及格”包含的事件有“次及格”、“次及格”、“次及格”， 其对立的事件为“次及格或次全不及格”， 因此，事件“至少有次及格”的对立事件为“至多有次及格”，A错； 对于C选项，高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建， 采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、， 则每个班级被抽中的概率相等，故，C对； 对于D选项，若，， 则，D错. 故选：BC. 11．ABD 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于C，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于B，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 12． 13． 14． 【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为， 所以， 由题意可得， 又由得， ∴，∴ ∵，∴，∴ 在等边中，边上的高为 因为，∴ 故答案为． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用锥体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题． 15．(1) (2)人 (3)，第百分位数为 【详解】（1），....................3分 （2）应从选出参加座谈会的人数为：人..............8分 （3）由题意得：； ........................13分 16．（1），；（2）单调增区间为，，减区间为，；（3）． 【详解】（1）由题意，可得当且仅当，，即，时， 取到最大值为；...............................3分 此时的集合为；...........................5分 （2）由得； 由得； 所以的单调增区间为，，.........................8分 减区间为，； ...........................10分 （3）由题意，可得， ∴， ∴， ∴， .........................13分 ∴． ..................15分 【点睛】本题主要考查求余弦型三角函数的最值，以及余弦型三角函数的单调区间，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意得，， ................................2分 设球心，若在同一个球面上， 则，得： ..............................3分 .................................5分 解得，即， .................................8分 （2）由题意得， ................................10分 设直线与直线所成角为， ∴ ........................14分 故直线与直线所成角的余弦值为. .......................15分 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）用表示号出现的点数为，用表示号出现的点数为， 则用表示这个实验的一个样本点， 样本空间，共有36个样本点． ....................2分 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型． ， ......................3分 ， ； .......................5分 （2）， ， ........................8分 ； ..........................10分 （3） ....................................15分 ． ...................................17分 19．(1)证明见解析 (2)（i）（ii）6 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，则，可知， ...........................1分 因为平面ABCD，平面ABCD，则， .............................2分 且，平面PAD，平面PAD， ...............................3分 所以平面PAD. ..............................4分 （2） （ⅰ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，........................5分 可得，，，， 因为G是的重心，则， ............................6分 可得，， 设平面PBD的法向量为，则， 令，则，，可得， ..............................8分 则， 所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为； ........................10分 （ⅱ）设，则， ...............................12分 法一：因为平面PBD，且，不共线， 所以存在实数m，n，使得， ...............................14分 可得，解得，所以； ......................17分 法二：由（ⅰ）知平面PBD的法向量为， ......................14分 则，解得， 所以. ...............................17分 学科网（北京）股份有限公司 $