1.5等腰三角形 专题训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以等腰三角形概念为起点，通过性质判定应用逻辑链整合等边三角形、含30°角直角三角形，覆盖分类讨论、几何直观等核心素养 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形|28题|定义应用、等边对等角、三线合一、等角对等边、格点作图|从概念到性质判定，递进至动态几何与实际情境| |等边三角形|24题|性质计算、证明、折叠、动点问题|特殊化等腰三角形，强化旋转与全等推理| |含30°角直角三角形|28题|长度角度计算、证明、最值、翻折、实际应用|结合特殊直角三角形性质，深化空间观念与应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形专题训练~1.5等腰三角形 第一课时 等腰三角形 【题型1   等腰三角形的定义】 1．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：当为腰或者当为底边长． 【详解】解：当是腰时，底边是，即另外两边是，，能构成三角形； 当底边是时，腰长是，即另外两边是，，能构成三角形． 故选：D． 2．等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论腰为5或腰为两种情况讨论，利用两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和， ∴可能情况为：①腰为5，底为；②腰为，底为， 对于情况①：三边为， ∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形． 对于情况②：三边为， ∵，均成立， ∴能构成三角形． ∴周长为． 故选：B． 3．等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为（    ） A．3 B．7 C．3或7 D．13或17 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件，根据等腰三角形的定义，分两种情况，再根据三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：当腰长为3时，第三边的长为3，，不能构成三角形，不满足题意； 当腰长为7时，第三边的长为7，，能构成三角形，满足题意， ∴第三边为7， 故选：B． 4．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为_________ ． 【答案】 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组． 先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长． 【详解】解：方程组，解得：， ∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长， ∴当腰长为2时， 三边长为2，2，4，，不能构成三角形； 当腰长为4时， 三边长为4，4，2，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 故答案为：． 【题型2   等边对等角】 5．如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，结合，利用三角形内角和定理求出，由得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出，再利用三角形内角和定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时_____． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得出，，，从而可求出，进而得出即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ∴， 故答案为：． 7．如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、三角形的外角的定义及性质、根据等边对等角证明 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组，以及三角形的外角性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到与之间的关系，从而不难求解． 【详解】解：，，，， ，，，， ， 要使得这样的钢条恰好焊上根， ， 由题意得：， ， 故答案为：． 8．如图，，点在上． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）根据即可证明； （2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出． 【详解】（1）证明： （2）解：平分 ， 【题型3   三线合一】 9．如图，在中，，是的高，，求的度数． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的高平分顶角，结合已知的的度数即可求出的度数 【详解】解：∵在中，，是的高， ∴平分， ∵， ∴ ． 10．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点、、都在格点上） (1)作的边上的中线； (2)作的边上的高线； (3)作射线平分． 【答案】(1)中线如图所示： (2)高线如图所示： (3)射线如图所示： 【知识点】画三角形的高、格点图中画等腰三角形、根据三角形中线求长度、三线合一 【分析】（1）根据三角形中线的定义画出中线即可； （2）根据三角形的高线定义画出高线即可； （3）作，利用等腰三角形的性质，即可得到的平分线． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 【答案】 （答案不唯一） 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三线合一 【分析】要得到，即点为的中点，结合图形可考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质.已知，若添加，可利用等边对等角及角的和差关系推出，进而证明，得到，最后利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质即可得证． 【详解】解：添加条件：； 理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 即平分， 在中，因为，平分， 所以． 12．如图，在中，，平分，如果的面积为2，那么的面积为________． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】由等腰三角形的性质可得是的中线，再利用三角形中线的性质求得，进而求得的面积即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴是的中线， ∵， ∴， ∵， ∴是的中线， ∴． 【题型4   等角对等边】 13．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等 【分析】先由角平分线定义及平行线性质得到，，然后由等角对等边确定，再由的周长为，得到，进而求的周长即可． 【详解】解：在中，平分、平分， ，， ， ，， ，， 则， 的周长为， ， ， 的周长是． 14．如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 15．如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点B与点C重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定，掌握这两个知识点是关键；由平移的性质得；由得，进而可证明结论成立． 【详解】证明：∵沿直线平移到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，得到∠B＝∠AED，然后根据三角形的外角的性质得到，∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，又因为∠B+∠C＝60°，得到20°+∠C+∠C＝60°，即可求解． 【详解】 解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE． ∴∠B＝∠AED， ∵∠AED＝∠EDC+∠C， ∴∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， 即20°+∠C+∠C＝60°， ∴∠C＝20°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了折叠的性质以，三角形内角和定理及三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质是解决问题的关键． 【题型5   找出图中的等腰三角形】 17．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 18．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 19．如图，在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=  ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】根据已知的角利用两直线平行的性质求出一些角的大小，即可得到等腰三角形的个数. 【详解】解：在△ ABC中，∠ A=  ∠ C=   ∠ABC= BD平分∠ABC ∠ABD=∠CBD= DE//BC ∠EDB=∠CBD= ∠CDB=∠BCD= 等腰三角形的个数有5个，分别是∆ABC,∆AED,∆EBD,∆BDC,∆DAB. 故选D. 【点睛】此题重点考查学生对等腰三角形的认识，理解等腰三角形的性质是解题的关键. 20．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】根据等边对等角求出∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠ADE，∠AED，∠BAD的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAD，∠CAE的度数，从而得到相等的角，根据相等的角找出等腰三角形即可得解． 【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝36°， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠ADE＝∠AED＝2∠BAD， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠BAD＝36°， ∴∠ADE＝∠AED＝72°， ∴∠DAE＝36°， ∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°， ∴∠BAE＝∠CAD＝36°+36°＝72°， 等腰三角形有：△ABD、△ADE、△ACE、△ABE、△ACD、△ABC共6个． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，根据等边对等角和三角形外角性质求出图中的角度是解决本题的关键. 【题型6   格点中画等腰三角形】 21．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 22．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、格点图中画等腰三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 23．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 24．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图1中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图2中画出一个以为腰的等腰三角形 (3)在图 3中画出的角平分线BE（的三个顶点都在格点上）．按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形、画三角形的高 【分析】（1）根据三角形面积公式，由底为6、高为4，作出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，以及，作出图形即可； （3）取格点F，连接交格点O，作射线交于E，则即为所求． 【详解】（1）∵， ∴边上的高， 如图，即为所求作； （2）由勾股定理可得， 如图，，即为所求作； （3）如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【题型7   直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】 25．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______． 【答案】10 【知识点】坐标与图形、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案． 【详解】∵A（8，0）， ∴OA=8， 设△AOP的边OA上的高是h， 则×8×h=16， 解得：h=4， 在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图： ①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合， ②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合， ③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合， 其中，没有重复的点， ∴4+4+1+1=10． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 26．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有___个． 【答案】4 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案． 【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点； 同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点； 作AB的垂直平分线与BC有一个交点， 即有1+2+1＝4个， 故答案为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 27．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 28．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 · 第二课时 等边三角形 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 1．如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 【答案】12 【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质、两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进而根据等角对等边证得，，最后将的周长转化为进行计算． 【详解】解：是等边三角形， ， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长 ． 2．如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 3．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B．2 C．9 D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：A． 4．如图，等边中，，与交于，，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质，，得到，可得，，根据三角形的外角，则，根据，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得到，最后根据，即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【题型2   根据等边三角形的性质求角度】  5．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 6．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 7．如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定与应用．证明即可求解． 【详解】在等边中，， 又∵， ， ， 而， ． 故选：C． 8．如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】由等边三角形的性质得，，，再结合角的转换可证明，得．结合，推出，再由内角和得，最终由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵ ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“”全等实现角度转化，将已知角与目标角建立关联，再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用． 【题型3   根据等边三角形的性质证明】 9．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在与中， ， 所以； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 10．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：，图③：； （3）10或18 【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积、等边三角形的判定和性质、等边三角形的判定 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 12．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、判断三边能否构成直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【题型4   证明是等边三角形】 13．如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 14．在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【详解】（1）， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 15．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、利用平移的性质求解 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）略 16．如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型5   与等边三角形有关的折叠问题】   17．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝1，AC＝3，△OCD周长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】折叠问题、最短路径问题、等边三角形的性质 【分析】连接，，由折叠的性质得出是的对称轴，故得，由，求出，当三点共线时周长最小，计算即可． 【详解】 如图，连接，， 将等边折叠，使得点恰好落在边上的点处， 是的对称轴， ， ，， ，， ， 当三点共线时周长最小， 最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和折叠的性质，掌握“将军饮马”问题的解法是解题的关键． 18．如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为_______，的值为________ 【答案】 10 /0.8 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再证明，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴，即周长为10， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 19．如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则________°． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又， ∴， ∴， 故答案为： 20．如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积、折叠问题 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积得到，，再由折叠的性质得到点O为的中点，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，∵点D是的中点，点F是的中点， ∴，， ∴； 根据题意可得点O为的中点， ∴， ∴ 【题型6   等边三角形中的动点问题】 21．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以秒的速度从点A出发沿方向运动一次后停止．设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为________秒． 【答案】2或6/6或2 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．先求出的长，，可得为等边三角形，，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为，点Q是的中点， ∴， ∵是等腰三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵动点P的速度为秒， ∴当P从时，； 当P从时，． 故答案为：2或6． 22．如图，在△ABC中，∠A=90º，∠B=30º，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF//AC交AB于点F； （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？ （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？ （3）求证：DC=EF； 【答案】（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；（3）见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC，列方程得到t=2； (2)根据直角三角形的性质得到CE=DC，列方程得到t=1.2，根据直角三角形的性质还可得到CE＝DC，列方程得到t=3； (3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm，于是得到DC=(6-t)cm，BE=(12-2t)cm，根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性质得到EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm，即可得到结论； 【详解】解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm. (1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC， ∴2t＝6－t，解得t＝2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形． (2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时， ∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°， ∴CE＝DC，∴2t＝(6－t)，解得t＝1.2； 当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°， ∴CE＝DC， ∴×2t＝6－t，∴t＝3， ∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形． (3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm， ∴BC＝12 cm， ∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm. ∵， ∴∠BFE＝∠A＝90°. ∵∠B＝30°， ∴EF＝BE＝(12－2t)＝(6－t)cm， ∴DC＝EF. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质. 23．如图，等边三角形的边长为，电子蚂蚁从点A以秒的速度沿等边三角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点A以/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2023次相遇在_____________． 【答案】的中点处 【知识点】图形类规律探索、等边三角形的性质 【分析】根据题意可得当电子蚂蚁和第1次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第2次相遇时，相遇点在点C处，当电子蚂蚁和第3次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第4次相遇时，相遇点在点B处，当电子蚂蚁和第5次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第6次相遇时，相遇点在点A处，当电子蚂蚁和第7次相遇时，相遇点在的中点处，……，由此可得每六个一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：每间隔1秒，电子蚂蚁和相遇， 当电子蚂蚁和第1次相遇时，相遇点在的中点处， 当电子蚂蚁和第2次相遇时，相遇点在点C处， 当电子蚂蚁和第3次相遇时，相遇点在的中点处， 当电子蚂蚁和第4次相遇时，相遇点在点B处， 当电子蚂蚁和第5次相遇时，相遇点在的中点处， 当电子蚂蚁和第6次相遇时，相遇点在点A处， 当电子蚂蚁和第7次相遇时，相遇点在的中点处， ……， ∴每六个一循环， ∵， ∴电子蚂蚁和第2023次相遇在的中点处． 故答案为：的中点处 24．如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为______秒时，是等边三角形． 【答案】2 【知识点】等边三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，，则 ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴当运动时间为2秒时，是等边三角形． 故答案为：2． 第三课时含30°角的直角三角形的性质 【题型1   利用含30°的直角三角形的性质求长度】 1．如图，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点，，，在同一直线上，，，，若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和所对的直角边等于斜边的一半，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先得出的长，再证明，得出，根据，得出的长度，最后运用所对的直角边等于斜边的一半即可求解出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 2．如图，是边长为的等边三角形，，Q为射线边上一点，当是直角三角形时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 根据题意分和两种情况讨论，先根据所对的直角边等于斜边的一半求得，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：是边长为等边三角形， ，， 如图1，当时， 则， ∴， ∴； 如图2，当时， 则， ∴， ∴． 综上，当的长为或时，是直角三角形． 故选：D． 3．如图，等边中，，与交于，，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质，，得到，可得，，根据三角形的外角，则，根据，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得到，最后根据，即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 4．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ，， ，， ， ，，， 以此类推，的边长为， 的边长为， 故选：D． 【题型2   利用含30°的直角三角形的性质求角度】 5．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接、，与交于点F，过点B作于点G．若，则的度数为___． 【答案】/30度 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 由全等三角形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，在矩形ABCD中，，将矩形 ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形，若点落在边 CD上，则的度数为（ ） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、利用矩形的性质求角度、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据旋转的性质可得=90°，，进而可证得 =30°，求解=60°，即可求解的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠DAB=90°，AB=2AD， ∵将矩形 ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形， ∴=90°，， ∴ =30°， ∴=90°﹣30°=60°， ∴=90°﹣60°=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解答的关键． 7．如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为___________． 【答案】/30度 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，根据全等三角形的判定得出，确定．过点M作于点N，再由角平分线的性质确定，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：解：根据题意得：． ∵， ∴． ∴． 过点M作于点N， ∵， ∴． ∴， ∴在中，． 故答案为：． 8．在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ______． 【答案】或/或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【题型3   利用含30°的直角三角形的性质证明】 9．如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)2 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； （2）先证明，再由可得，再求解即可． 【详解】（1）解：等边三角形，理由如下： 在等边中，，， ，， ， 又为边上的中线， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ， ∴． 10．已知：如图，在中，，是的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质． 根据等边对等角可知，根据中点的定义可知，根据垂直的定义可知，利用可证； 根据、可知，又因为，可得，根据直角三角形的性质可知，根据中点的定义可得． 【详解】（1）证明：在中，， ， 点是的中点， ， ，， ， 在和中， ； （2）解：由可知， 又， ， , ， ， 又是的中点， ． 11．如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证明，得到． （2）由含30度直角三角形的性质得出，由可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：略． （2）解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）连接，证明，根据直角三角形的性质，得，等量代换证明即可； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 因为是的垂直平分线， 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． （2）解：是等边三角形．理由如下： 因为是的垂直平分线， 所以． 因为，， 所以． 所以． 又因为， 所以是等边三角形． 【题型4   利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 13．如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 分两种情况讨论为直角三角形的情况，再结合路程公式求解即可． 【详解】解：点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，，， ，， 当时， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， 点M从B到A所需时间为，点N从C到B所需时间为， ； 和均满足， 的值为1或， 故选B． 14．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长； （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由． 【答案】（1）2（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【详解】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°． ∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°． 设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x． ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2． ∴当∠BQD=30°时，AP=2． （2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF． ∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°． ∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ． ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°． ∴在△APE和△BQF中， ∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）． ∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF．∴四边形PEQF是平行四边形． ∴DE=EF． ∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB． 又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3． ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． （1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可． （2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 15．如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形． 【答案】3或12/12或3 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可． 【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时， ∵∠MAN＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AC=， ∴运动时间 t=秒， 当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时， ∵∠MAN＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴AC=， ∴运动时间 t=秒， 当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形． 故答案为：3或12 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键． 16．如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．    (1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】(1)；； (2)或或； (3)6cm． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． 故答案为：；； （2）解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时，                     图1 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； （3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点，    则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 【题型5   利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】 17．如图，在中，，，，P是上的任意一点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转至，使，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】如图所示，在上取点E使，证明出，得到，当时，最短，即最短，如图所示，求出，进而利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，在上取点E使 ∵ ∴，即 ∵将绕点A按顺时针方向旋转至 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵P是上的任意一点 ∴当时，最短，即最短，如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为2，即的最小值为2． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．如图，边长为12的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点B逆时针旋转得到，连结．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是(   ) A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图， 取的中点，连接， ∵线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时，， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 19．如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 20．如图，OE是等边的中线，，点C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边，连接ED，下列说法正确的是（   ） A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1 C．ED有最大值 D．ED没有最大值也没有最小值 【答案】B 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等边三角形的性质可得，从而可得点D的运动轨迹，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质即可得． 【详解】如图，连接BD，过点E作，交BD延长线于点F， 和都是等边三角形，， ， ，即， 在和中，， ， ， OE是等边的中线， ， ， 即直线BD的位置是固定的， 当点C在直线OE上运动时，点D在直线BD上运动， 由垂线段最短得：当点D与点F重合时，ED取得最小值，最小值为EF， 在中，， 即ED的最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，确定出点D的运动轨迹是解题关键． 【题型6   利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】 21．如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则______．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】先证明是等边三角形，则可得，则，根据翻折的性质，可得，和的长．在中，根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”即可求出的长． 【详解】， ． 中，， 是等边三角形， ， ． 根据翻折的性质可得，， ． 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，及直角三角形的性质．熟练掌握以上知识，证明是解题的关键． 22．如图，在中，，，D为上一点，将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，则折痕的长为___． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】方法一：根据折叠的性质可得，，，从而得到，，进而得到，可得到，再由锐角三角函数可得的长；方法二：由勾股定理求出的长，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：方法一：∵将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处， ∴，，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． 方法二：在中， ， 设，则， ∴． 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理和折叠的性质． 23．如图，在中，，，，，点D是的中点，点E是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F．若时，量得的长为时，则此时的面积为__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作交延长线于点，连接，可证明，则，求出，则，那么，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， ∵折叠， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 24．如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为_____． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题 【分析】由翻折得到，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案． 【详解】解：由翻折得，， 在长方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【题型7   含30°的直角三角形的实际应用】 25．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)见详解 (2)池塘宽度为 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为等边三角形，可得，进而可解得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， 答：池塘宽度为． 26．“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元．    【答案】元 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】如图，过点作交的延长线于点，则，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则，    ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵这种草皮每平方米售价是元， ∴购买这种草皮需要元． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握构造辅助线，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 27．厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，垂直于横梁，，D是斜梁的中点，，______． 【答案】/2米 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握相关的知识是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，． 故答案为：． 28．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向． (1)求从B岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离． 【答案】(1) (2)B岛和C岛间的距离为25海里 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，平行线的性质，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据方向角和平行线的性质，求出进而求出即可； （2）根据平行线的性质可得，求出，在中根据海里求出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， ， ； （2）解：过点C作，则， ，， ， 在中，，海里， ∴ （海里）． 答：B岛和C岛间的距离为25海里． 试卷第24页，共66页 试卷第23页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形专题训练1.5等腰三角形 一课时等腰三角形 【题型1等腰三角形的定义】 1.已知等腰三角形的一边长为8cm,周长为20Cm,则另两边长为() A.8cm,4cm B.6cm,4cm C.6cm,6cm D.4cm,8cm或6cm,6cm 2.等腰三角形的两边长分别为5和10，则此三角形的周长为() A.20 B.25 C.26 D.20或25 3.等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为() A.3 B.7 C.3或7 D.13或17 2x-y=6 4.若方程组x+3y=10的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 【题型2等边对等角】 5.如图，在三角形ABC中，点D是AB上一点，且AC=CD=DB (1)若∠ACD=32°，求∠B的度数. (2)若AB=BC,求∠B的度数. 6、如图，将△16C绕点A逆时针旋转(0<a<55 得到△ADE,DE交AC于F.当 Q=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠FDC=一 试卷第1页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 7.如图，钢架中，∠A=“,焊上等长的钢条 BBBB BR.BB来加周钢架.若 PA=PP 且恰好用了4根钢条，则“的取值范围是 P A工0 P2 P 8.如图，AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD,点C在DE上. (I)求证：△BAC≌△EAD: (2)若AE平分∠BAC,∠EAC=42°，求∠BCE的度数. 【题型3三线合一】 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的高，∠BAC=108°，求∠BAD的度数. D 10.如图，是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点 上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点D、E、F都在格点上） 试卷第2页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (1)作△ABC的BC边上的中线AD: (2)作△ABC的BC边上的高线AE; (3)作射线CF平分∠ACB 11.如图，在△ABC中，点E在边BC上，点D在线段AE上，且∠ABD=∠ACD,请添加 一个条件 作为已知条件，通过推理能得到BE=CE(只需填写一个满足的条件)， 12.如图，在△ABC中，AB=AE=EC,AD平分∠BAC,如果△ADE的面积为2，那么 △ABC的面积为 E D 【题型4等角对等边】 l3.如图，在△ABC中，BC=7,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,过点D作BC的平 行线交AB于点E,交AC于点F,若△AEF的周长为l4,则△ABC的周长是() A.14 B.19 C.21 D.23 14.如图，△ABC的周长为27，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC 交AB于点D,交AC于点E,若BC=8,BF=6,CF=4,那么△ADE的周长是() 试卷第3页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 D A.18 B.19 C.21 D.23 15.如图，△ABC中，∠A=∠BCA,将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置（使点B与 点C重合，点B、C、E在一条直线上)，连接BD,求证：BC=CD D 16.如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为 点E,若∠BAC=120°，∠EDC=20°，那么∠C等于（) A.15 B.20° C.30° D.40° 【题型5找出图中的等腰三角形】 17.如图，己知△ABC中，AB=6,AC=10,BC=14,若过△ABC的顶点的一条直线将 △ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画 () B A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 18.如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从 左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不 动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等 腰三角形的时刻共有()个. 试卷第4页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 之L A A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 19.如图，在△ABC中，∠A=36°∠C=72°，BD平分∠ABC,DEBC,则图中等腰三 角形的个数为() E D B A.2 B.3 C.4 D.5 20.如图所示，△ABC中，AB=AC,∠B=36°，D、E是BC上两点，且∠ADE=∠AED =2∠BAD,则图中等腰三角形共有() D E A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【题型6格点中画等腰三角形】 21.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知线段AB是等腰三角形△ABC 的一边，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 B 22.在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已知A,B是两格点，使得△ABC为 等腰三角形的格点C的个数是() 试卷第5页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B A.3 B.5 C.6 D.8 23.如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4方格纸中， 找出格点P使△MWP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是() M A.3 B.4 c.5 D.6 24.如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位， B 图1 图2 图3 (1)在图1中画出一个以BC为一边，面积为12的三角形： (2)在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形 (3)在图3中画出△ABC的角平分线BE(△ABC的三个顶点都在格点上)，按要求完成作图： ①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角：②保留作图痕迹；③标注相关字母. 【题型7直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】 25.平面直角坐标系中，已知A(8,0),△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16， 则满足条件的P点个数是 26.Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角 形，则符合条件的点P有一个. 试卷第6页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 27.如图，在△ABC中，AB=AC=BC,△ABC所在的平面上有一点P(如图中所画的点 乃)，使△PAB,△PBC,△P1C都是等腰三角形，间：具有这样性质的点有几个（包 P 括点)？在图中画出来. 、 B 28.如图，点O在直线I上，点A在直线I外.若直线I上有一点P使得△APO为等腰三角 形，则满足条件的点P位置有一个. 。A 第二课时等边三角形 【题型1根据等边三角形的性质求长度】 1.如图，等边△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点H,过点H作 DE∥BC,分别交边AB、AC于点D、E.如果AB=6cm,那么△ADE的周长= cm 2.如图，在等边△ABC中，三个内角的角平分线相交于点P,过点P作BC的平行线分别 交AB,AC于点M,N.若AB=8,则△AMN的周长为() 试卷第7页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.12 B.8 C.16 D.15 3.如图，在△ABC中，AC=2,AB=4,分别以AC,BC为边向外作正△ACD和正 △BCE,连结AE,在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为() A.2 B.2 C.9 D.25 4.如图，等边△ABC中，BD=CE,AD与BE交于P,AQ⊥BE,垂足为O,PD=2, PO=6 ,则BE的长为《) P A.14 B.13 C.12 D.11 【题型2根据等边三角形的性质求角度】 5.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在AB,BC上，且BD=CE,AE与CD相交于点 F,则∠AFD的度数为() 试卷第8页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 D A.30° B.60° C.45° D.50 6.如图，等边三角形ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是 () A.45° B.55° C.60° D.75 7.如图，等边△ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P,则I+∠2的度数是() E B D C A.45° B.55° C.60° D.75° 8.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，∠BEC=40°，则∠DBE的度数为() B A A.90° B.100° C.120° D160 试卷第9页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 【题型3根据等边三角形的性质证明】 9.如图，点C在线段AD上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. D (I)求证：△ABC≌△ADE: (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数. 10.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠BAC=30° BC AD 60° 点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转 得到线段 AE,过点E作EF∥BC,交直线AB于点F. D B 图① 图② 图③ (I)当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB; 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上 截取AM=EF,连接DM,通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题： (2)当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③， 请判断并直接写出线段BD,EF,AB之间的数量关系； 拓展思考： (3)在(1)(2)的条件下，若 C=6N5,CD=2BD,则EF= I1.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE,CD,点M,N分别是BE,CD 的中点，连接AM,AW,MN, 试卷第10页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 D D M 图1 图2 (I)求证：BE=CD: (2)求证：△AMN是等边三角形： (3)如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE,CD,点M,N分别是BE, CD的中点，连接AM,AN.若点N恰好也是AE的中点，且AE=2,求△ABE的面积。 12.如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD,连接CD, AD,BO,CO,AD. (I)求证：△BCO≌aBAD: (2)若0A=10,OB=6,OC=8,请直接写出∠B0C的度数. 【题型4证明是等边三角形】 13.如图，△ABC和△CDE是等边三角形，连接BD、AE交于点P,BD,AC交于点O. 点F为线段BD上一点，且FP=AP 求证： 试卷第11页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (I)△BCD≌△ACE: (2)△AFP是等边三角形. 14.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB, ∠EDF=60° AB,AC ,其两边分别交边 于点E,F G B D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：BE=AF I5.如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿 CE方向平移得到的.己知EF过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形. 16.如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M,AE=BF, AC=BD,CE=DF,若∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形. D M F E 【题型5与等边三角形有关的折叠问题】 I7.如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF,O为折 试卷第12页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 痕EF上一动点，若AD=1,AC=3,△OCD周长的最小值是() A E B A.4 B.5 C.6 D.7 18.如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF,点E、F分 CE 别在AC、BC边上.若AC=6,AD=2,则ABDF周长为一，CF的值为 D B 19.如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A 落在BC边上的点D位置，若此时∠BFD=80°，则∠DEF=. 20.如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部 分的面积是整个图形面积的() 试卷第13页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 1 A.4 B.3 C.3 D.8 【题型6等边三角形中的动点问题】 21.如图，等边△ABC的边长为8cm,点Q是AC的中点，若动点P以2Cm/秒的速度从点 A出发沿A→B→A方向运动一次后停止.设运动时间为t秒，连接PO,当△APQ是等腰 三角形时，则t的值为 秒 22.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的 速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停 止，运动时间为t秒：过点E作EFAC交AB于点F; (1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？ (2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？ (3)求证：DC-EF B 23.如图，等边三角形ABC的边长为2cm,电子蚂蚁P从点A以lcm/秒的速度沿等边三 角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁Q从点A以5Cm/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运 动，则电子蚂蚁P和Q第2023次相遇在 试卷第14页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B 24.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的 速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米秒的速度向点B运动，两点同时运动，当运动 时间为. 秒时，△DEC是等边三角形. B 第三课时含30°角的直角三角形的性质 【题型1利用含30的直角三角形的性质求长度】 1.如图，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A,C,F,D在同一直线 上，∠CAB=∠FDE=90°，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE,若AD=6CF=120cm,则BC 的长为(). 闸 机 E tItttttttttttttttttttttttttltt A.100cm B.80cm C.60cm D.40cm 2.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，BP=4cm,0为射线BC边上一点，当 试卷第15页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 △PBQ CO 是直角三角形时，的长为() A.4cm B.3cm C.2cm或3cm D.2cm或4cm 3.如图，等边△ABC中，BD=CE,AD与BE交于P,AQ⊥BE,垂足为O,PD=2, PO=6 BE ,则的长为() A.14 B.13 C.12 D.11 4.如图，已知：∠M0N=30° 点4 、4,在射线ON上，点8、品、品、，在 射线OM上，1A4、△44、△48、“均为等边三角形，若 A=1△4B6A ,则 的 边长为() B3一M B O A A2 W A3 A A.80 B.64 C.48 D.32 【题型2利用含30的直角三角形的性质求角度】 试卷第16页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 5.如图，在△ABC中，∠C=60°，点D,E分别在边AC,BC上，连接BD、AE,BD 与AE交于点F,过点B作BG⊥AE于点G.若△ABD≌△CAE,则∠FBG的度数为一 A D E AD 1 6.如图，在矩形ABCD中，AB2,将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩 形AB'CD',若点B落在边CD上，则∠DAD的度数为（) B D B A.30° B.40° C.45° D.60° 7.如图，在△ABC中，中线CM与高线CD三等分∠ACB,则∠B的度数为」 B M 8在Rt△BC中，∠C=90,∠A=30,D是直线B上的一点，且满足BD 则∠CDB的度数为一 【题型3：利用含30的直角三角形的性质证明】 9.如图，△ABC是等边三角形，BDLAC于D,AE为BC边中线，AE、BD相交于点O, 连接DE. 试卷第17页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (1)判断△CDE的形状，并说明理由. (2)若OB=4,求OD的长 I0.己知：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别为E,F. B D (I)求证：△BDE≌ACDF (2)若∠A=60°，BE=3,求BC的长. 11.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD相交于点O,AD=BC, D B (1)求证：OD=0C (2)若∠A=30°，AC=4,求OD的长. 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB,AC于 点D,E D B 试卷第18页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (1)求证：AE=2CE: (2)连接CD,请判断△BCD的形状，并说明理由. 【题型4利用含30的直角三角形的性质解决动点问题】 13.如图，在△ABC中，AB=6cm,BC=5Cm,∠B=60°，动点M、V分别从点B、C 同时出发，其中点M以2cms的速度沿BA向点A匀速运动，点N以1cm/s的速度沿CB向 点B匀速运动，当M、N其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s, 当△BMN为直角三角形时，t的值为() A.1 B.1或2 C.1或2 D.2或2 14.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与 A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向 运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D. (1)当∠BQD=30°时，求AP的长： (2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化 请说明理由. ←QF 15.如图∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=6,动点C从点A出发， 以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，△ABC是直角三角形， 试卷第19页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先乡笔 60° A B M l6.如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，点P,卫分别从顶点A,B同时出发，点P沿 射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为lcm/s,当点Q到达点A时， 点P随之停止运动，连接P吧，PC,设点P的运动时间为) B B 备用图 (I)当点Q在线段BC上运动时，BO的长为一(cm)，BP的长为一(cm)(用含 t的式子表示)· (2)当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值. (3)当点Q从点C运动到点A的过程中，连接P№，直接写出P№中点O经过的路径长， 【题型5利用含30的直角三角形的性质解决最值问题】 17.如图，在△ABC中，AB=6,AC=10,∠C=30°，P是BC上的任意一点，连接AP, 将AP绕点A按顺时针方向旋转至Ag,使∠PAQ=∠BAC,连接B0.则线段B0长度的最 小值为() 试卷第20页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A B.2 C.3 D.4 18.如图，边长为I2的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB, 将线段BM绕点B逆时针旋转6O°得到BV,连结HN,则在点M运动过程中，线段HN长 度的最小值是() H A.6 B.3 c.1 D.0.5 19.如图，RteABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2,D为BC上一动点，EF垂直 平分AD分别交AC于E、交AB于F,则BF的最大值为() B D 4 3 8 A.3 B.2 c.3 D.2 20.如图，OE是等边△AOB的中线，OB=4,点C是直线OE上一动点，以AC为边在直 线AC下方作等边△ACD,连接ED,下列说法正确的是() 试卷第21页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A. ED的最小值是2 B.ED的最小值是1 C.ED有最大值 D.ED没有最大值也没有最小值 【题型6利用含30的直角三角形的性质解决翻折问题】 21.如图，在△ABC中，AB=5,BC=8,∠B=60°，点D在边BC上，CD=3,连接AD. 将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E,作EF⊥BC,垂足为F,则FD= 22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后， 点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为一· A E D C 23.如图，在R△ABC中∠C=90°，2B=30,BC=25,4C=2,点D是BC的中 试卷第22页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 点，点B是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△BDE的位置，BD交B于 点P,若∠ABF=90时，量得BE的长为5时，则此时△4BE的面积为 B 24.如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，BE交AD于点H,若 ∠CBD=30°，EH=2,则BC的长度为一· E H 【题型7含30的直角三角形的实际应用】 25.小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先 在池塘外的空地上任取一点O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点D,使OB=OA, OD=OC,连接BD F ▣可 图1 图2E 备用图 (I)如图1，求证：AC=BD: (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点 D,使OC=OD,过点D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得 试卷第23页，共66页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 LDEF=120°，∠OFE=120°，DE=9m,EF=2m,请求出池塘宽度AC 26.“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境， 已知AC=30m,AB=20m,∠BAC=150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种 草皮需要多少元， A 20m 30m 150° B C 27.厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=BM,立柱BC,DE垂直于横梁AM, ∠ABM=120°，D是斜梁AB的中点，AB=8m,DE=一 B M 28.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东 80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 北 个E 北 D (I)求从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？ (2)已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离. 试卷第24页，共66页