专题突破(九) 三角形中的线段、角与全等三角形 专项练习 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题突破(九) 三角形中的线段、角与全等三角形 考试时间:120分钟 满分:100分 成绩: 一、选择题(每题2分，共16分) 1. 如图,已知∠C=∠D=90°,给出下列条件:① AC=BD;② BC=AD;③∠CAB=∠DBA;④∠CBA=∠DAB.从以上条件中任选一个,其中能使△ABC≌△BAD 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图,已知AC,BD 相交于点P,AB∥CD,P 为BD 的中点,E 为线段AB上一点.若CD=7 cm,AE=3cm,则 BE 的长为 ( ) A. 5cm B. 4 cm C. 3c m D.3.5cm 3. 如图,在△ABC中,AD 是高,AD=BD,点E 在边AC上,BE交AD 于点F,且BF=AC.若∠C=63°,则∠AFB 的度数为 ( ) A. 127° B. 137° C. 107° D. 117° 4. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠DAB=∠DCB=90°.若四边形ABCD 的面积为50，则AC 的长为 ( ) A. 7.5 B. 10 C. 10.5 D. 15 5. 如图,在△ABC中,AD 是角平分线,∠B=2∠ADB.若AB=4,CD=7,则AC的长为( ) A. 3 B. 11 C.15 D. 9 6.(2025·江苏南京期末)如图,已知AD∥BC,E为AB 的中点,DE平分∠ADC,BC-AD=2,CD=7,则 BC 的长为 ( ) A. 2.5 B. 3.5 C.4.5 D. 5.5 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 7.如图,AD 是△ABC 外角的平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点,连接PB,PC.设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则m+n与b+c之间的大小关系是 ( ) A. m+n>b+c B. m+n<b+c C. m+n=b+c D.无法确定 8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,OC 是中线,点 D,E 分别在直角边AC,BC上,且∠DOE=90°，连接DE.给出下列结论：① 图中全等的三角形只有2对；②△ABC的面积等于四边形CDOE 面积的2倍;③ OD=OE;④ CE+CD=BC.其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(每题2分，共20分) 9. 如图,在△ABC中,高AD,BE 相交于点F.若AD=BD=8,则A 。 10.定义：如果一个三角形的一边长是另一边长的2倍，那么这样的三角形叫作“亮点倍长三角形”.若△ABC 是“亮点倍长三角形”，且有两条边的长分别为2 024，2025，则第三条边的长最大为 ，最小为 . 11.如图，在2×3的正方形网格中，与△ABC 有一条公共边且全等(不与△ABC 重合)的格点三角形(顶点在格点上的三角形)有 个. 12. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,DE∥AB,交 BC 于点E,交 AC 于点 F.若∠CDE=∠ACB=30°,CB=DE,则∠ADF 的度数为 . 13. 如图,已知△A'BC'≌△ABC,AA'∥BC,∠ABC=70°,则 14.(2025·江苏苏州期末)如图,在四边形ABCD 中,AC⊥BC,AD∥BC,M 为BD 的中点.若BC=3,AC=4,AD=6,则CM 的长为 . 15. 已知AD 是△ABC 的中线,AB=16,AC=10,则AD 长的取值范围是 . 16.如图,在△ABC中,角平分线AD,CE 相交于点O.若 则OE 的长为 . 17. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=BC,将边 DA 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE,过点 E 作EF⊥BC,垂足为F.若EF=2,BF=3,则CD 的长是 . 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 18. 如图,在△ABC 和△DBC 中, ，以D 为顶点作 ,两边分别交AB,AC 于点M,N,连接MN,则△AMN 的周长为 . 三、解答题(共64分) 19. (5分)新趋势 开放探究(2023·浙江衢州)如图,在△ABC 和 中,点B,E,C,F 在同一条直线上.给出下面四个条件:①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF. (1)请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF；(写出一种情况即可) (2) 在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF. 20.(6分)(2024·湖南长沙)如图,点C 在线段AD 上, (1) 求证:△ABC≌△ADE; (2) 若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数. 21.(4分)如图,点E,F 在线段BC上,点 A,D 在线段BC 的异侧,且满足AB=DC,AE=DF,BF=CE,连接AF.若∠B=40°,∠DFC=30°,则当AF 平分∠BAE 时,求∠BAF 的度数. 22.(6分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E 是AB 的中点,连接DE 并延长,交CB 的延长线于点F,点 G 在边BC上,且∠GDF=∠ADF. (1)求证:△ADE≌△BFE; (2)连接EG，判断EG与DF 之间的位置关系，并说明理由. 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 23. (5分) 【教材回顾】筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.几何图形的定义通常可以作为图形的性质，也可以作为图形的判定方法.也就是说：如图，若四边形ABCD 是筝形，则AB=AD,BC=DC;若AB=AD,BC=DC,则四边形ABCD 是筝形. 【解决问题】如图，四边形ABCD 是筝形，其中AB=AD,BC=DC,，对角线AC，BD 相交于点O,过点O作OM⊥AB,ON⊥AD,垂足分别是M,N.求证:四边形AMON 是筝形. 24. (6分)如图,在△ABC中, ,CD 是角平分线,点 E,F 分别在AC,BC 上,且∠EDF=108°. (1) 求∠ADC 的度数; (2)求证:AE+BF=BC. 25.(8分)如图，点A，B，C在同一条直线上，分别以AB，AC为腰，在 BC 的同侧作等腰三角形，使AD=AB,AE=AC,BE,DC交于点P,BE与AD交于点M,DC与AE 交于点N. (1) 如图①,∠BAD=∠CAE=60°. ①求证:△ABE≌△ADC; ②求∠BPD 的度数; (2)如图②,若∠BAD=∠CAE=α,则BE与DC 之间的数量关系为 ,∠BPD的度数为 (用含α的代数式表示). 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 26.(8分)【感知】如图①,点 B,A,C 在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE=90°,DA=AE,易证△DBA≌△ACE.(不必证明) 【探究】如图②,在△DBA 和△ACE 中,DA=AE.若∠DAE=α(0°<α<90°),∠BAC=2α,∠B=∠C=180°-α,求证:△DBA≌△ACE. 【应用】如图②,在△DBA 和△ACE 中,DA=AE.若∠DAE=70°,∠BAC=140°,∠B=∠C=110°,则当∠D 为多少度时,∠DAC 的度数是∠E 的3倍? 27.(8分)(2025·江苏无锡期末)如图,在长方形ABCD 中,AD=6cm,AB=4cm,E 为AD 的中点.点P 在线段AB 上以1cm/s的速度由点A 向点B 运动，到点 B 时停止；同时点Q 在线段 BC 上由点B 向点C 运动，到点 C 时停止. (1)若点Q 与点 P 的速度相同，则经过1s后，△AEP 与△BPQ 是否全等?请说明理由，并判断此时线段 PE 和PQ 之间的位置关系； (2)若点 Q 与点 P 的速度相同,设运动的时间为t s,△PEQ的面积为S cm²,请用含 t 的代数式表示S； (3)若点 Q 与点P 的速度不相同，则当点 Q 的速度为多少时，能够使△AEP 与△BPQ全等? 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 28.(8分)【问题背景】如图①，在四边形ABCD 中， E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且 探究线段BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法如下：延长FD 到点G，使 DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得到正确结论.他的结论是 . 【探索延伸】如图②,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,E,F 分别是边BC,CD上的点,且 上述结论是否仍然成立?并说明理由. 【结论应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 n mile/h的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 n mile/h的速度前进，1.5h后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离. 【能力提高】如图④,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N 在边BC 上,且∠MAN=45°.若 BM=1,CN=3,则 MN 的长为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 1. D 2. B3. D 4. B 5. B 6. C参考答案 7. A解析：如图，在BA 的延长线上取点E，使AE=AC,连接PE.因为 AD 是△ABC 外角的平分线,所以∠PAC=∠PAE.在△PAC 和 △PAE 中, 所以△PAC≌PAE(SAS),所以 PC=PE.因为 PB+ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 PE>BE,所以 PB+PC>AE+AB,所以PB+PC>AC+AB,即m+n>b+c. 8. C 解析：题图中全等的三角形有△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE,共 3 对,故①错误;因为△AOD≌△COE,所以S△AOD=S△COE,所以S四边形CDOE =S△COD + 即S△ABC=2S四边形CDOE,故②正确;因为△AOD≌△COE,所以OD=OE,故③正确;因为△AOD≌△COE,所以 AD =CE,所以 CE+CD=AD+CD=AC=BC,故④正确.综上所述,其中正确的结论有3个. 9. 8 10. 4 048 1 012 11. 3 12. 45°13. 40°14. 2.5 15. 3<AD<13 16. 3 解析:在边AC 上截取AF=AE,连接OF.因为 AD,CE 为△ABC 的角平分线,所以 因为∠B=60°,所以 所以 60°, 所以 ∠OCF)= 120°, 所以∠AOE =∠COD = .在△AOF 和△AOE 中, 所 以 △AOF ≌△AOE (SAS),所以OF=OE,∠AOF=∠AOE=60°,所以∠COF=∠AOC-∠AOF=60°,所以 ∠COD=∠COF.在△OCD 和△OCF 中, 所以△OCD ≌△OCF (ASA),所以OD=OF,所以OE=OD=3. 解析:连接AE,BE,AC.因为 EF⊥BC,所以∠BFE=90°.因为 EF=2,BF=3,所以 因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC 是等边三角形,所以 AC=AB,∠BAC=60°.由旋转的性质,得AD=ED,∠ADE=60°,所以△ADE是等边三角形,所以 AD=AE,∠DAE=60°,所以∠DAE=∠BAC,所以∠DAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE,所以∠DAC=∠EAB.在△DAC 和△EAB 中, 所以△DAC≌△EAB(SAS),所以 CD= 18. 4 解析:如图,延长 AC 至点E,使 CE=BM,连接 DE.因为∠BDC=140°,BD =CD,所以 ∠BDC)=20°.因为∠A =40°,AB=AC=2，所以 70°,所以∠MBD =∠ABC +∠DBC = 90°,∠NCD=∠ACB+∠DCB=90°,所以∠ECD= ,所以∠MBD=∠ECD.在△BDM 和△CDE 中, 所以△BDM≌△CDE(SAS),所以 MD=ED,∠MDB = ∠EDC, 所以∠EDC +∠MDC=∠MDB+∠MDC,所以∠MDE=∠BDC= 140°. 因为∠MDN = 70°,所以∠EDN = ∠MDE-∠MDN = 70°, 所以∠MDN=∠EDN.在△MDN 和△EDN 中, 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 所以△MDN ≌△EDN (SAS), 所以 MN=EN=CE+CN,所以C△AMN= AM+MN+AN = AM+CE +CN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=4.故△AMN 的周长为4. 19.(答案不唯一) (1) ①②③ (2) 因为 BE=CF,所以 BE+CE=CF+CE,所以 BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, 所以△ABC≌△DEF(SSS). 20. (1) 在△ABC 和△ADE 中 所以△ABC≌△ADE(SAS). (2) 因为△ABC≌△ADE,所以∠DAE=∠BAC = 60°,AC = AE,所以∠ACE = 21. 因为 BF=CE,所以 BF+EF=CE+EF,所以 BE = CF.在△ABE 和△DCF 中, 所以△ABE≌△DCF(SSS),所 以∠AEB=∠DFC=30°.因为∠B=40°,所以. 因为AF 平分∠BAE,所以 22. (1) 因为 AD∥BC,所以∠ADE=∠BFE.因为 E 是 AB 的中点,所以 AE=BE.在 △ADE 和△BFE 中, 所以△ADE≌△BFE(AAS). (2) EG⊥DF.理由如下:因为∠GDF =∠ADE,∠ADE=∠BFE,所以∠GDF =∠BFE,所以 GD = GF. 因为△ADE ≌△BFE,所以 DE=FE,所以 EG⊥DF. 23. 在△ABC 和△ADC 中, 所以△ABC ≌ △ADC (SSS), 所 以 ∠BAC =∠DAC.因为 OM⊥AB,ON⊥AD,所以∠OMA=∠ONA=90°.在△AOM 和△AON 中， 所以△AOM≌△AON (AAS),所以AM=AN,OM=ON,所以四边形 AMON 是筝形. 24. (1) 因为 AB=AC,∠A =36°,所以∠B = 因为 CD 是△ABC 的角平分线,所以∠ACD=∠BCD= 所以∠ADC=∠B+∠BCD=108°. (2) 因为∠A=36°,∠ACD=∠DCF=36°,所以∠A =∠ACD=∠DCF,所以 AD=CD.因为∠ADC=108°,∠EDF=108°,所以∠ADC=∠EDF,所以∠ADC-∠CDE=∠EDF - ∠CDE,所以∠ADE = ∠CDF. 在△ADE 和△CDF 中, 所以△ADE≌△CDF(ASA),所以 AE=CF. 因为CF+BF=BC,所以AE+BF=BC. 25. (1) ① 因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,所以∠BAE= 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∠DAC. 在 △ABE 和 △ADC 中, 所 以 △ABE≌ △ADC (SAS). ② 因为△ABE≌△ADC,所以∠ABE=∠ADC.因为∠BPD=∠PCB+∠ABE,∠BAD=∠PCB +∠ADC,所以∠BPD =∠BAD=60°. (2) BE=DC α 解析:因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,所以∠BAE=∠DAC.在△ABE 和△ADC 中. 所以△ABE≌ △ADC(SAS),所以 BE= DC,∠ABE =∠ADC.因为∠BPD=∠PCB+∠ABE,∠BAD= ∠PCB+∠ADC,所以∠BPD=∠BAD=α. 26.【探究】因为∠BAC=2α,∠DAE=α,所以∠DAB+∠EAC=∠BAC-∠DAE=α.因为 ,所以∠DAB+∠D=180°-∠B =α,所以∠D = ∠EAC. 在△DBA 和△ACE 中, 所以△DBA≌△ACE(AAS). 【应用】设∠EAC=∠D=x°.因为∠DAE=70°,所以∠DAC = ∠DAE +∠EAC =(70+x)°.因为∠C=110°,所以. ∠C-∠EAC = (70-x)°. 因为∠DAC =3∠E,所以70+x=3(70-x),解得x=35,即∠D=35°.故当∠D=35°时,∠DAC 的度数是∠E 的3倍. 27. (1)△AEP≌△BPQ,PE⊥PQ.理由如下:因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠A =∠B=90°.因为 E 为 AD 的中点,AD=6 cm,所以 因为点 Q 与点 P 的速度相同,所以 BQ=AP =1 cm.因为AB=4 cm,所以 BP=AB-AP=3cm,所以AE=BP.在△AEP 和△BPQ 中. 所以△AEP≌△BPQ(SAS),所以∠AEP =∠BPQ.因为∠AEP +∠APE=90°,所以∠BPQ+∠APE=90°,所以. (∠BPQ+∠APE)=90°,所以 PE⊥PQ. (2)因为4÷1=4(s),6÷1=6(s),所以点 P运动4s 时停止，点 Q运动6s 时停止.分类讨论如下:① 当0≤t<4 时,因为 AE =3c m,AP =t cm,∠A =90°,所以 S△APE = 因为AB=4 cm,所以BP=AB-AP =(4-t) cm.因为 BQ=t cm,∠B=90°,所以 因为 BQ)·AB=(2t+6)cm²,所以 S△PEQ = 6)cm²,即 ② 当4≤t≤6时,点 P 与点B 重合,PQ=BQ=t cm,所以 即 S=2t.综上所述， (3)因为 ,所以 AP≠BQ,所以若△AEP 与△BPQ 全等,则只能是△AEP≌△BQP,所以AP=BP 且AE=BQ.设点Q的速度为 x cm/s,运动的时间为 y s,则 解得 所以当点Q 的速度为 时,能够使△AEP 与△BPQ 全等. 28.【问题背景】EF=BE+FD 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 【探索延伸】EF=BE+FD 仍然成立.理由如下:如图①,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG.因为∠ABC+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,所以∠B=∠ADG. 在△ABE 和△ADG 中, 所以△ABE≌△ADG(SAS),所以 AE=AG, ∠BAE=∠DAG.因为 所 以∠GAF=∠FAD+∠DAG=∠FAD+ 所 以∠EAF =∠GAF. 在△AEF 和△AGF 中： 所以△AEF≌△AGF (SAS),所以 EF =GF.因为 GF =DG+FD=BE+FD,所以EF=BE+FD. 【结论应用】如图②，连接 EF，分别延长AE,BF 相交于点 C.在四边形 AOBC 中,因为 ∠EOF=70°,所以 又OA =OB,∠OAC+∠OBC=90°-30°+ ，符合【探索延伸】中的条件，所以结论 EF=AE+BF 成立.因为AE=60×1.5 =90(n mile),BF=80×1.5 = 120(n mile),所以EF=210 n mile. 故此时两舰艇之间的距离为 210 n mile. 【能力提高 解析:如图③,在△ABC 外侧作∠CAD=∠BAM,截取 AD=AM, 连接CD,DN.因为∠BAC=90°,AB=AC, 所以 在△ACD 和△ABM 中, 所以△ACD≌△ABM(SAS),所以 CD=BM=1,∠ACD=∠B=45°,所以∠NCD=∠ACB+∠ACD=90°.因为 CN=3,所以 因为∠MAN=45°,所以∠BAM +∠CAN = ∠BAC -∠MAN=45°,所以∠CAD+∠CAN=45°,所以∠DAN=45°,所以∠MAN=∠DAN. 在△MAN 和△DAN 中 所以△MAN≌△DAN(SAS),所以 MN= 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $